为9p)=(1-p)的无偏估计，它又是充分完全统计量T=∑1X,的函数，由L-S定理可 知6(T)为g(p)的JMVUE. 例设X=(X1,·,Xn)为从Poisson分布P()中抽取的简单随机样本，求(1)91()=X (2)92()=X',r>0为自然数：(3)g3(A)=P(X1=x)的JMVUE. 解由$2.7和2.8可知T(X)=∑1X,为关于Poisson分布的充分完全统计量. (1)令1(T)=T(X)/n,E(g1(T)=E()=入，故©1(T)是分完全统计量T的函数，且 是入的无偏估计，故由L-S定理可知g1(T)是入的JMVUE. (2)由于T(X)=∑=1X:~P(n),令6(T)为92()=r的无偏估计，故有E6T)= 92(A),即 gy=x t=0 t! 此式等价于 阳g=e 人0 将上式右边作展开得 将其代入上式右边得 如管-含 1=0 上述等式两边是入的幂级数，比较其系数得 6(t)=0,当t=0,1,…,r-1, nc=-1)…t-r+山 i()=-r)m 当t=r,r+1,… 综合上述两式得 6m）=TT-…(T-r+1, T=0,1,2,… n 为g2()=入'的无偏估计，6(T)是充分完全统计量T的函数，故由L-S定理可知6(T)为g2()的UMVUE. (3)由P(X1=x)=e-入入/x!,可见它是参数入的函数，故可用g3()表示.令(X1)= x=则E(X】=乃(X1=x).因此(X)为g(A)的无偏估计，注意到T=∑=1X:~ P(n)和∑=2X:~P(n-1)),故有 6i(T)=61(T(X))=E((X1)IT=t)=P(X1=.T=t) P(T=t) =B(X1=)P(X2++Xn=t-四=n-1-利 P(X1+…+Xn=t) nt(t-x)!x! -(份a-(0）-.2 d1(T)为g(A)的无偏估计，它又是充分完全统计量T(X)的函数，所以 ax》=(因）（周）(-)èg(p) = p(1 − p)ÆO, ßq¥ø©⁄O˛T = Pn i=1 XiºÍ, dL-S½nå δ(T)èg(p)UMVUE. ~ X = (X1, · · · , Xn)èlPoisson©ŸP(λ) •ƒ{¸ëÅ, ¶ (1) g1(λ) = λ; (2) g2(λ) = λ r , r > 0 èg,Í; (3) g3(λ) = Pλ(X1 = x)UMVUE. ) d§2.7⁄§2.8åT(X) = Pn i=1 Xi è'uPoisson©Ÿø©⁄O˛. (1) -gˆ1(T) = T(X)/n, E(ˆg1(T)) = E(X¯) = λ, gˆ1(T)¥©⁄O˛TºÍßÖ ¥λÆO,dL-S½någˆ1(T)¥λUMVUE. (2) duT(X) = Pn i=1 Xi ∼ P(nλ),-δ(T)èg2(λ) = λ rÆO, kEλδ(T) = g2(λ),= X∞ t=0 δ(t) e −nλ(nλ) t t! = λ r . d™du X∞ t=0 δ(t) n tλ t t! = λ r e nλ . Ú˛™m>ä–m λ r e nλ = X∞ l=0 n lλ l+r l! = X∞ t=r n t−rλ t (t − r)!. ÚŸì\˛™m> X∞ t=0 δ(t) n tλ t t! = X∞ t=r n t−rλ t (t − r)!. ˛„™¸>¥λò?Í, 'ŸXÍ δ(t) = 0,  t = 0, 1, · · · , r − 1, δ(t) = t! n t−r (t − r)!nt = t(t − 1)· · ·(t − r + 1) nr ,  t = r, r + 1, · · · n‹˛„¸™ δ(T) = T(T − 1)· · ·(T − r + 1) nr , T = 0, 1, 2, · · · èg2(λ) = λ rÆO, δ(T)¥ø©⁄O˛TºÍ, dL-S½nåδ(T)èg2(λ)UMVUE. (3) dPλ(X1 = x) = e −λλ x  x! ,åÑߥÎÍλºÍ,å^g3(λ)L´. -ϕ(X1) = I[X1=x] , KEλ[ϕ(X1)] = Pλ(X1 = x).œdϕ(X1) èg3(λ)ÆO, 5øT = Pn i=1 Xi ∼ P(nλ)⁄ Pn i=2 Xi ∼ P((n − 1)λ),k δ1(T) = δ1(T(X)) = E(ϕ(X1)|T = t) = Pλ(X1 = x, T = t) Pλ(T = t) = Pλ(X1 = x)Pλ(X2 + · · · + Xn = t − x) Pλ(X1 + · · · + Xn = t) = (n − 1)t−x t! nt(t − x)!x! =  t x  (n − 1)t−x nt =  t x  1 n x 1 − 1 n t−x , t ≥ x δ1(T)èg3 (λ)ÆO, ßq¥ø©⁄O˛T(X)ºÍ, §± δ1(T(X)) =  T x   1 n  1 − 1 n T −x 7