为g3(A)的JMVUE. 例设X=(X1,·,Xn)为从指数分布EP(A)中抽取的简单随机样本，求g(A)=A的JMVUE, 由TX)=合X的充分完全统计量，以及TX)~Tn,即参数为n和入的Gamna分 解 布，故有 分)== n-1 因此g(T(X)=(n-1)/T(X)为入的无偏估计，由L-S定理可知它是λ的JMVUE 例设X=(X1,…,Xn)为从正态分布N(a,σ)中抽取的简单随机样本，记9=(a,o2): (1)求a和a2的JMVUE,(2)求g(0)=σ的UMVUE. 解由T(X)=(伍(X),12(X),其中T(X)=,12(X)=(K:-)2,为充分完全统计 1 量 (1)由于g,(X)==T和2(X)=T2/(n-1)分别为a和σ2的无偏估计，它们又是充分完全 统计量，故由L-S定理可知它们分别是a和o的UMVUE. (2)由于T2/a2心X品-1，故σ的无偏估计与T2的幂函数有关.先计算下式： (周=(-广 2r2T() () Kn-1.r 由上式可知 E(Kn-1r·T)=a 因此估计量 aTX》=K-1w5-2r2TT Tr/2 是的无偏估计，又是充分完全统计量T=(T,T2)的函数，故由LS定理可知它是g()= r的UMVUE. 例用Lehmann-Scheffe定理再考虑均匀分布U(0,0),0>0,中的参数e的JMVUE. 解由T(X)=max(X1,…,Xn)-Xm为充分完全统计量，和gT(X)="+出T(X) 为的无偏估计，故由L-S定理立得(T(X)为的JMVUE.可见此处证明要简单的多. 例考虑均匀分布U(0,),0>1,中的参数0的UMVUE. 解由因子分解定理知道T(X)=max(X1,…,Xn)=X(m为充分统计量，但它并不为完 全统计量。实际上对任意满足E(T)=0,即 -t+ l(t)tn-1dt=0(*) 因此可取 了(n+1)t-n,0<t<1 0,1<t<0 8èg3(λ)UMVUE. ~ X = (X1, · · · , Xn)èlçÍ©ŸEP(λ)•ƒ{¸ëÅ, ¶g(λ) = λUMVUE. ) dT(X) = Pn i=1 Xiø©⁄O˛, ±9T(X) ∼ Γ(n, λ),=ÎÍèn⁄λGamma© Ÿ, k E  1 T  = Z ∞ 0 1 t · λ n (n − 1)!t n−1 e −λtdt = λ n − 1 . œdgˆ(T(X)) = (n − 1)/T(X) èλÆO, dL-S½nåߥλUMVUE. ~ X = (X1, · · · , Xn)èl©ŸN(a, σ2 )•ƒ{¸ëÅ, Pθ = (a, σ2 ). (1)¶a⁄σ 2UMVUE, (2)¶g(θ) = σ rUMVUE. ) dT(X) = (T1(X), T2(X)), Ÿ•T1(X) = X, T ¯ 2(X) = Pn i=1 (Xi − X¯) 2 ,èø©⁄O ˛. (1)dugˆ1 (X) = X¯ = T1⁄gˆ2(X) = T2  (n − 1)©Oèa⁄σ 2ÆO, ßÇq¥ø© ⁄O˛, dL-S½nåßÇ©O¥a⁄σ 2UMVUE. (2)duT2/σ2 ∼ χ 2 n−1 ,σ rÆOÜT2òºÍk'. kOée™: E  T2 σ 2 r/2 = 1 σ r E  T r 2 2  = Z ∞ 0 t r 2 · 1 2 n−1 2 Γ ￾ n−1 2
t n−1 2 −1 e − t 2 dt = 2 r/2Γ ￾ n+r−1 2
Γ ￾ n−1 2
, 1 Kn−1,r . d˛™å E(Kn−1,r · T r 2 2 ) = σ r . œdO˛ gˆ3 (T(X)) = Kn−1,r T r/2 2 = Γ ￾ n−1 2
2 r/2Γ ￾ n+r−1 2
T r/2 ¥σ rÆO, q¥ø©⁄O˛T = (T1, T2)ºÍ, dL-S½nåߥg(θ) = θ rUMVUE. ~ ^Lehmann-Schef fe½n2ƒ˛!©ŸU(0, θ), θ > 0, •ÎÍθUMVUE. ) dT(X) = max(X1, · · · , Xn) = X(n) èø©⁄O˛, ⁄gˆ(T(X)) = n+1 n T(X) èθÆO, dL-S½n·gˆ(T(X)) èθUMVUE.åÑd?y²á{¸ı. ~ ƒ˛!©ŸU(0, θ), θ > 1, •ÎÍθUMVUE. ) dœf©)½nT(X) = max(X1, · · · , Xn) = X(n)èø©⁄O˛ßßøÿè ⁄O˛"¢S˛È?ø˜vEl(T) = 0,= Z 1 0 l(t)t n−1 dt + Z θ 1 l(t)t n−1 dt = 0 (∗) œdå l0(t) = ( (n + 1)t − n, 0 < t < 1 0, 1 < t < θ 8