第1期 冯志鹏等：基追踪在齿轮损伤识别中的应用 .85. 关报道：Yang等应用基追踪方法在时频联合域内 都可以通过具有一定物理意义的一系列原子的迭加 提取缺陷滚动轴承的振动特征；郑海波等6]应用基 来表示，信号的特征通过原子性质来解释，例如，在 追踪降噪方法消除噪声干扰，在时域内提取齿轮振 信号的时频分析中，信号的时频特征通过原子的 动的冲击特征， Heisenberg时频铺砌网格来表示，时间、频率和幅值 1基追踪 等信息通过原子的时频参数来获得 为了匹配信号的结构特征，需要根据信号性质 基追踪是实现信号过完备表示的一种准则，在 或先验知识设计字典，目前，已经构造了多种过完 全局意义上将信号分解为最优参数化基本波形函数 备字典.例如，Dirac字典是一系列Dirac函数的集 线性迭加的形式，该方法能够保持信号表示的稀疏 合，适合分析冲击信号；Fourier字典是典型的频率 性，具有良好的时频分辨率[ 字典，是频率过离散的简谐三角函数集合，适合分析 1.1原子分解 简谐信号；小波字典是典型的时间一尺度字典，是小 在基函数展开（如Fourier变换和正交小波变 波基函数经过尺度伸缩和平移变化之后的波形函数 换)中，基函数形式固定单一，而且需要满足正交条 集合，适合分析具有等比例带宽性质的信号，为了 件，信号分解结果唯一，信号表示缺乏自适应性，不 分析时变信号的各种性质，目前己经构造了多种时 利于工程实践中面临的复杂多分量信号分析，例 频字典，如小波包和余弦包字典、Chirplet字典、 如，Fourier分析对于时域聚集性强的信号表示效果 FMmlet字典和Dopplerlet字典.其中，小波包字典 不佳；小波分析不适合表示高频窄带信号 是比较常用的时频字典，该字典是标准的小波字典、 原子分解是基函数展开的推广，在过完备基本 Dirac字典以及持续一定时间长度覆盖一定频率带 波形函数库的基础上，将信号表示为基本波形函数 宽的波形函数的组合， 9迭加的形式： 1.3基追踪 s=9,=u (1) 理论上，在过完备字典中寻找最佳信号分解的 YEr 或表达为信号逼近形式： 过程比较复杂，首先，计算信号与全部字典原子之 间的内积系数：然后，根据内积系数的大小对原子进 。-会tw (2) 行排序；最后，应用前个原子逼近原信号，虽然 式中，a为分解系数；Y为基本波形函数的参数；T 原子分解在信号表示方面具有自适应性，能够保持 为基本波形函数参数的集合；Φ为基本波形函数”， 信号表示的稀疏性，但是寻找最优分解的过程是NP 构成的矩阵：a为分解系数ay构成的向量；tm为信 had问题，计算量非常大，在工程实践中，通过优 号残余 化方法得到的次优解通常可以满足要求 原子分解从波形字典中选择基本波形函数对信 基追踪[是实现原子分解的方法之一，对于信 号的特征结构进行最佳匹配，由于波形字典是过完 号分解表达式(1)，该方法在字典中寻找最佳原子， 备的，信号分解结果不唯一，可以根据各种准则选择 使信号分解系数的1范数达到最小，即： 最优的信号表示形式，因此原子分解在信号分析方 minl‖all1 subject toΦa=s (3) 面具有自适应性；只要波形字典中包含足够完备的 基追踪是一种非二次型凸优化准则，而不是一 与信号特征结构相匹配的基本波形函数，原子分解 种算法，其中最小1范数优化问题在本质上等价于 就能够以稀疏紧凑的形式表示任意复杂多分量信 线性规划问题，因此，基追踪问题可以应用线性规 号，提取其中包含的特征信息 划中的各种优化算法来计算求解，如单纯形法和内 1.2字典和原子 点法，该方法不仅能够保持信号表示的稀疏性，而 字典是基函数的扩展，是参数化波形函数的集 且具有较高的分辨率；但是该方法计算速度较慢，其 合，即参数化波形函数库.这些参数化波形函数可 计算量为CNIn N(N为信号长度，C为选择的原子 能不满足基函数的正交条件要求.通常，原子分解 数目) 中应用的字典是过完备的，即字典中元素数量大于 根据基于过完备时频字典的基追踪分解结果， 信号长度，而且还可能是冗余的，即其中一些元素可 在时频平面上绘制各个最优时频原子的Heisenberg 以通过其他元素来表示 网格，可以得到基追踪时频分布，通过各原子的时频 字典中的参数化波形函数称为原子，任意信号 结构研究信号中包含的时变特征信息·关报道：Yang 等［5］应用基追踪方法在时频联合域内 提取缺陷滚动轴承的振动特征；郑海波等［6］应用基 追踪降噪方法消除噪声干扰‚在时域内提取齿轮振 动的冲击特征． 1 基追踪 基追踪是实现信号过完备表示的一种准则‚在 全局意义上将信号分解为最优参数化基本波形函数 线性迭加的形式．该方法能够保持信号表示的稀疏 性‚具有良好的时频分辨率［4］． 1∙1 原子分解 在基函数展开（如 Fourier 变换和正交小波变 换）中‚基函数形式固定单一‚而且需要满足正交条 件‚信号分解结果唯一‚信号表示缺乏自适应性‚不 利于工程实践中面临的复杂多分量信号分析．例 如‚Fourier 分析对于时域聚集性强的信号表示效果 不佳；小波分析不适合表示高频窄带信号． 原子分解是基函数展开的推广‚在过完备基本 波形函数库的基础上‚将信号表示为基本波形函数 φγ迭加的形式： s＝ ∑γ∈Γ αγφγ＝Φα （1） 或表达为信号逼近形式： s＝ ∑ m i＝1 αγiφγi＋ rm （2） 式中‚αγ 为分解系数；γ为基本波形函数的参数；Γ 为基本波形函数参数的集合；Φ为基本波形函数φγ 构成的矩阵；α为分解系数αγ 构成的向量；rm 为信 号残余． 原子分解从波形字典中选择基本波形函数对信 号的特征结构进行最佳匹配．由于波形字典是过完 备的‚信号分解结果不唯一‚可以根据各种准则选择 最优的信号表示形式‚因此原子分解在信号分析方 面具有自适应性；只要波形字典中包含足够完备的 与信号特征结构相匹配的基本波形函数‚原子分解 就能够以稀疏紧凑的形式表示任意复杂多分量信 号‚提取其中包含的特征信息． 1∙2 字典和原子 字典是基函数的扩展‚是参数化波形函数的集 合‚即参数化波形函数库．这些参数化波形函数可 能不满足基函数的正交条件要求．通常‚原子分解 中应用的字典是过完备的‚即字典中元素数量大于 信号长度‚而且还可能是冗余的‚即其中一些元素可 以通过其他元素来表示． 字典中的参数化波形函数称为原子．任意信号 都可以通过具有一定物理意义的一系列原子的迭加 来表示‚信号的特征通过原子性质来解释．例如‚在 信号的时频分析中‚信号的时频特征通过原子的 Heisenberg 时频铺砌网格来表示‚时间、频率和幅值 等信息通过原子的时频参数来获得． 为了匹配信号的结构特征‚需要根据信号性质 或先验知识设计字典．目前‚已经构造了多种过完 备字典．例如‚Dirac 字典是一系列 Dirac 函数的集 合‚适合分析冲击信号；Fourier 字典是典型的频率 字典‚是频率过离散的简谐三角函数集合‚适合分析 简谐信号；小波字典是典型的时间—尺度字典‚是小 波基函数经过尺度伸缩和平移变化之后的波形函数 集合‚适合分析具有等比例带宽性质的信号．为了 分析时变信号的各种性质‚目前已经构造了多种时 频字典‚如小波包和余弦包字典、Chirplet 字典、 FM m let 字典和 Dopplerlet 字典．其中‚小波包字典 是比较常用的时频字典‚该字典是标准的小波字典、 Dirac 字典以及持续一定时间长度覆盖一定频率带 宽的波形函数的组合． 1∙3 基追踪 理论上‚在过完备字典中寻找最佳信号分解的 过程比较复杂．首先‚计算信号与全部字典原子之 间的内积系数；然后‚根据内积系数的大小对原子进 行排序；最后‚应用前 m 个原子逼近原信号．虽然 原子分解在信号表示方面具有自适应性‚能够保持 信号表示的稀疏性‚但是寻找最优分解的过程是 NP —hard 问题‚计算量非常大．在工程实践中‚通过优 化方法得到的次优解通常可以满足要求． 基追踪［4］是实现原子分解的方法之一．对于信 号分解表达式（1）‚该方法在字典中寻找最佳原子‚ 使信号分解系数的 l1 范数达到最小‚即： min‖α‖1subject to Φα＝s （3） 基追踪是一种非二次型凸优化准则‚而不是一 种算法‚其中最小 l1 范数优化问题在本质上等价于 线性规划问题．因此‚基追踪问题可以应用线性规 划中的各种优化算法来计算求解‚如单纯形法和内 点法．该方法不仅能够保持信号表示的稀疏性‚而 且具有较高的分辨率；但是该方法计算速度较慢‚其 计算量为 CNln N（ N 为信号长度‚C 为选择的原子 数目）． 根据基于过完备时频字典的基追踪分解结果‚ 在时频平面上绘制各个最优时频原子的 Heisenberg 网格‚可以得到基追踪时频分布‚通过各原子的时频 结构研究信号中包含的时变特征信息． 第1期 冯志鹏等： 基追踪在齿轮损伤识别中的应用 ·85·