D0I:10.13374/1.issnl00103.2008.0L.016 第30卷第1期 北京科技大学学报 Vol.30 No.1 2008年1月 Journal of University of Science and Technology Beijing Jan.2008 基追踪在齿轮损伤识别中的应用 冯志鹏)朱萍玉)刘立)张文明) 1)北京科技大学车辆工程研究所，北京1000832)湖南科技大学机械设备健康维护省重点实验室，湘潭411201 摘要针对齿轮的振动特点，设计了复合过完备时频字典，利用基追踪方法在匹配信号特征结构、直接提取特征信息方面 的优势分析了齿轮箱的现场测试振动信号.根据基追踪分解结果，在时频联合域内提取了齿轮局部损伤的周期性冲击特征， 识别了齿轮点蚀缺陷·与短时Fourier变换和小波变换等时频分析方法进行了对比分析，验证了基追踪检测齿轮损伤的有效 性 关键词齿轮；故障诊断；基追踪：时频分析 分类号TH165+.3 Application of basis pursuit to gear damage detection FENG Zhipeng.ZHU Pingyu,LIU Li),ZHANG Wenming 1)Institute of Vehicular Engineering.University of Science and Technology Beijing.Beijing 100083.China 2)Laboratory of Hunan Province Key Lab for Machinery Health Maintenance.Hunan University of Science and Techrology Xiangtan 411201.China ABSTRACI Regarding the characteristics of gear vibration,a compound over-complete time-frequency dictionary was designed.Ba- sis pursuit.which is effective in matching the characteristic structure of signals globally and extracting the time-frequency information directly,was employed to analyze the vibration signals of both a healthy gearbox and a faulty one.Periodic impacts characterizing the vibration of localized damaged gears were extracted in the joint time-frequency domain.and gear tooth pitting was identified.In com- parison with traditional time-frequency analysis methods,such as short time Fourier transform and wavelet transform,basis pursuit is effective in detecting gear damage. KEY WORDS gear:fault diagnosis:basis pursuit:time-frequency analysis 齿轮是传递动力和旋转运动的关键部件，广泛 击特征，对于齿轮故障诊断而言是非常值得研究的 应用于各种机械设备之中，在振动监测诊断的工程 重要问题， 实践中，一般在齿轮变速箱的箱体（包括轴承座）上 虽然基于正交基函数展开（如Fourier变换）的 检测齿轮振动信号，齿轮振动经过轴传递到轴承， 传统信号处理方法在齿轮故障诊断中已经得到了广 再经过轴承座传递到箱体，由于其间经过的传递路 泛应用]，但是该类方法需要使用无数基函数对 径长，齿轮振动的特征信息衰减损耗大；而且在轴、 频谱结构近似白噪声的脉冲信号进行逼近，可能会 轴承和轴承座等多种零部件振动的复杂作用下，信 使齿轮损伤的冲击特征淹没在过多的基函数中，增 号中的干扰激励多。因此，现场测试振动信号成分 加监测诊断的难度，基追踪是近年来提出的一种基 复杂，噪声干扰强，反映齿轮运行状态的特征信息相 于过完备信号表示的原子分解方法，在针对信号特 对微弱，理论上，振动信号中的周期性或准周期性 征结构特别设计的过完备波形字典的基础上，该方 冲击是判断齿轮局部损伤的关键特征信息，如何从 法选择波形原子对信号的特征结构进行最佳匹配分 成分复杂背景噪声强的现场测试信号中有效提取冲 解，可以直接提取信号中的冲击、简谐波以及其他瞬 态信息，与传统的基函数展开相比，该方法直接提 收稿日期：2007-02-12修回日期：2007-11-09 取信号的特征信息，没有任何冗余中间变换环节，尽 基金项目：国家自然科学基金资助项目(N。.50705007):湖南省机 可能地减少了信息损失，能够保持信号表示的稀疏 械设备健康维护重点实验室开放基金资助项目(No~KFJJO505) 作者简介：冯志鹏(1973一)，男，博士研究生：张文明(1955一)男， 性，并且具有良好的时频分辨率).目前，已经有基 教授，博士生导师 追踪方法在机械设备振动监测诊断领域中应用的相
基追踪在齿轮损伤识别中的应用 冯志鹏1） 朱萍玉2） 刘 立1） 张文明1） 1） 北京科技大学车辆工程研究所北京100083 2） 湖南科技大学机械设备健康维护省重点实验室湘潭411201 摘 要 针对齿轮的振动特点设计了复合过完备时频字典利用基追踪方法在匹配信号特征结构、直接提取特征信息方面 的优势分析了齿轮箱的现场测试振动信号．根据基追踪分解结果在时频联合域内提取了齿轮局部损伤的周期性冲击特征 识别了齿轮点蚀缺陷．与短时 Fourier 变换和小波变换等时频分析方法进行了对比分析验证了基追踪检测齿轮损伤的有效 性． 关键词 齿轮；故障诊断；基追踪；时频分析 分类号 T H165＋∙3 Application of basis pursuit to gear damage detection FENG Zhipeng 1）ZHU Pingyu 2）LIU Li 1）ZHA NG Wenming 1） 1） Institute of Vehicular EngineeringUniversity of Science and Technology BeijingBeijing100083China 2） Laboratory of Hunan Province Key Lab for Machinery Health MaintenanceHunan University of Science and Technology Xiangtan411201China ABSTRACT Regarding the characteristics of gear vibrationa compound over-complete time-frequency dictionary was designed．Basis pursuitwhich is effective in matching the characteristic structure of signals globally and extracting the time-frequency information directlywas employed to analyze the vibration signals of both a healthy gearbox and a faulty one．Periodic impacts characterizing the vibration of localized damaged gears were extracted in the joint time-frequency domainand gear tooth pitting was identified．In comparison with traditional time-frequency analysis methodssuch as short time Fourier transform and wavelet transformbasis pursuit is effective in detecting gear damage． KEY WORDS gear；fault diagnosis；basis pursuit；time-frequency analysis 收稿日期：2007-02-12 修回日期：2007-11-09 基金项目：国家自然科学基金资助项目（No．50705007）；湖南省机 械设备健康维护重点实验室开放基金资助项目（No．KFJJ0505） 作者简介：冯志鹏（1973—）男博士研究生；张文明（1955—）男 教授博士生导师 齿轮是传递动力和旋转运动的关键部件广泛 应用于各种机械设备之中．在振动监测诊断的工程 实践中一般在齿轮变速箱的箱体（包括轴承座）上 检测齿轮振动信号．齿轮振动经过轴传递到轴承 再经过轴承座传递到箱体由于其间经过的传递路 径长齿轮振动的特征信息衰减损耗大；而且在轴、 轴承和轴承座等多种零部件振动的复杂作用下信 号中的干扰激励多．因此现场测试振动信号成分 复杂噪声干扰强反映齿轮运行状态的特征信息相 对微弱．理论上振动信号中的周期性或准周期性 冲击是判断齿轮局部损伤的关键特征信息如何从 成分复杂背景噪声强的现场测试信号中有效提取冲 击特征对于齿轮故障诊断而言是非常值得研究的 重要问题． 虽然基于正交基函数展开（如 Fourier 变换）的 传统信号处理方法在齿轮故障诊断中已经得到了广 泛应用［1—3］但是该类方法需要使用无数基函数对 频谱结构近似白噪声的脉冲信号进行逼近可能会 使齿轮损伤的冲击特征淹没在过多的基函数中增 加监测诊断的难度．基追踪是近年来提出的一种基 于过完备信号表示的原子分解方法在针对信号特 征结构特别设计的过完备波形字典的基础上该方 法选择波形原子对信号的特征结构进行最佳匹配分 解可以直接提取信号中的冲击、简谐波以及其他瞬 态信息．与传统的基函数展开相比该方法直接提 取信号的特征信息没有任何冗余中间变换环节尽 可能地减少了信息损失能够保持信号表示的稀疏 性并且具有良好的时频分辨率［4］．目前已经有基 追踪方法在机械设备振动监测诊断领域中应用的相 第30卷 第1期 2008年 1月 北 京 科 技 大 学 学 报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol．30No．1 Jan．2008 DOI:10．13374／j．issn1001－053x．2008．01．016
第1期 冯志鹏等：基追踪在齿轮损伤识别中的应用 .85. 关报道：Yang等应用基追踪方法在时频联合域内 都可以通过具有一定物理意义的一系列原子的迭加 提取缺陷滚动轴承的振动特征；郑海波等6]应用基 来表示，信号的特征通过原子性质来解释，例如，在 追踪降噪方法消除噪声干扰，在时域内提取齿轮振 信号的时频分析中，信号的时频特征通过原子的 动的冲击特征， Heisenberg时频铺砌网格来表示，时间、频率和幅值 1基追踪 等信息通过原子的时频参数来获得 为了匹配信号的结构特征，需要根据信号性质 基追踪是实现信号过完备表示的一种准则，在 或先验知识设计字典，目前，已经构造了多种过完 全局意义上将信号分解为最优参数化基本波形函数 备字典.例如，Dirac字典是一系列Dirac函数的集 线性迭加的形式，该方法能够保持信号表示的稀疏 合，适合分析冲击信号；Fourier字典是典型的频率 性，具有良好的时频分辨率[ 字典，是频率过离散的简谐三角函数集合，适合分析 1.1原子分解 简谐信号；小波字典是典型的时间一尺度字典，是小 在基函数展开（如Fourier变换和正交小波变 波基函数经过尺度伸缩和平移变化之后的波形函数 换)中，基函数形式固定单一，而且需要满足正交条 集合，适合分析具有等比例带宽性质的信号，为了 件，信号分解结果唯一，信号表示缺乏自适应性，不 分析时变信号的各种性质，目前己经构造了多种时 利于工程实践中面临的复杂多分量信号分析，例 频字典，如小波包和余弦包字典、Chirplet字典、 如，Fourier分析对于时域聚集性强的信号表示效果 FMmlet字典和Dopplerlet字典.其中，小波包字典 不佳；小波分析不适合表示高频窄带信号 是比较常用的时频字典，该字典是标准的小波字典、 原子分解是基函数展开的推广，在过完备基本 Dirac字典以及持续一定时间长度覆盖一定频率带 波形函数库的基础上，将信号表示为基本波形函数 宽的波形函数的组合， 9迭加的形式： 1.3基追踪 s=9,=u (1) 理论上，在过完备字典中寻找最佳信号分解的 YEr 或表达为信号逼近形式： 过程比较复杂，首先，计算信号与全部字典原子之 间的内积系数：然后，根据内积系数的大小对原子进 。-会tw (2) 行排序；最后，应用前个原子逼近原信号，虽然 式中，a为分解系数；Y为基本波形函数的参数；T 原子分解在信号表示方面具有自适应性，能够保持 为基本波形函数参数的集合；Φ为基本波形函数”， 信号表示的稀疏性，但是寻找最优分解的过程是NP 构成的矩阵：a为分解系数ay构成的向量；tm为信 had问题，计算量非常大，在工程实践中，通过优 号残余 化方法得到的次优解通常可以满足要求 原子分解从波形字典中选择基本波形函数对信 基追踪[是实现原子分解的方法之一，对于信 号的特征结构进行最佳匹配，由于波形字典是过完 号分解表达式(1)，该方法在字典中寻找最佳原子， 备的，信号分解结果不唯一，可以根据各种准则选择 使信号分解系数的1范数达到最小，即： 最优的信号表示形式，因此原子分解在信号分析方 minl‖all1 subject toΦa=s (3) 面具有自适应性；只要波形字典中包含足够完备的 基追踪是一种非二次型凸优化准则，而不是一 与信号特征结构相匹配的基本波形函数，原子分解 种算法，其中最小1范数优化问题在本质上等价于 就能够以稀疏紧凑的形式表示任意复杂多分量信 线性规划问题，因此，基追踪问题可以应用线性规 号，提取其中包含的特征信息 划中的各种优化算法来计算求解，如单纯形法和内 1.2字典和原子 点法，该方法不仅能够保持信号表示的稀疏性，而 字典是基函数的扩展，是参数化波形函数的集 且具有较高的分辨率；但是该方法计算速度较慢，其 合，即参数化波形函数库.这些参数化波形函数可 计算量为CNIn N(N为信号长度，C为选择的原子 能不满足基函数的正交条件要求.通常，原子分解 数目) 中应用的字典是过完备的，即字典中元素数量大于 根据基于过完备时频字典的基追踪分解结果， 信号长度，而且还可能是冗余的，即其中一些元素可 在时频平面上绘制各个最优时频原子的Heisenberg 以通过其他元素来表示 网格，可以得到基追踪时频分布，通过各原子的时频 字典中的参数化波形函数称为原子，任意信号 结构研究信号中包含的时变特征信息·
关报道：Yang 等［5］应用基追踪方法在时频联合域内 提取缺陷滚动轴承的振动特征；郑海波等［6］应用基 追踪降噪方法消除噪声干扰在时域内提取齿轮振 动的冲击特征． 1 基追踪 基追踪是实现信号过完备表示的一种准则在 全局意义上将信号分解为最优参数化基本波形函数 线性迭加的形式．该方法能够保持信号表示的稀疏 性具有良好的时频分辨率［4］． 1∙1 原子分解 在基函数展开（如 Fourier 变换和正交小波变 换）中基函数形式固定单一而且需要满足正交条 件信号分解结果唯一信号表示缺乏自适应性不 利于工程实践中面临的复杂多分量信号分析．例 如Fourier 分析对于时域聚集性强的信号表示效果 不佳；小波分析不适合表示高频窄带信号． 原子分解是基函数展开的推广在过完备基本 波形函数库的基础上将信号表示为基本波形函数 φγ迭加的形式： s＝ ∑γ∈Γ αγφγ＝Φα （1） 或表达为信号逼近形式： s＝ ∑ m i＝1 αγiφγi＋ rm （2） 式中αγ 为分解系数；γ为基本波形函数的参数；Γ 为基本波形函数参数的集合；Φ为基本波形函数φγ 构成的矩阵；α为分解系数αγ 构成的向量；rm 为信 号残余． 原子分解从波形字典中选择基本波形函数对信 号的特征结构进行最佳匹配．由于波形字典是过完 备的信号分解结果不唯一可以根据各种准则选择 最优的信号表示形式因此原子分解在信号分析方 面具有自适应性；只要波形字典中包含足够完备的 与信号特征结构相匹配的基本波形函数原子分解 就能够以稀疏紧凑的形式表示任意复杂多分量信 号提取其中包含的特征信息． 1∙2 字典和原子 字典是基函数的扩展是参数化波形函数的集 合即参数化波形函数库．这些参数化波形函数可 能不满足基函数的正交条件要求．通常原子分解 中应用的字典是过完备的即字典中元素数量大于 信号长度而且还可能是冗余的即其中一些元素可 以通过其他元素来表示． 字典中的参数化波形函数称为原子．任意信号 都可以通过具有一定物理意义的一系列原子的迭加 来表示信号的特征通过原子性质来解释．例如在 信号的时频分析中信号的时频特征通过原子的 Heisenberg 时频铺砌网格来表示时间、频率和幅值 等信息通过原子的时频参数来获得． 为了匹配信号的结构特征需要根据信号性质 或先验知识设计字典．目前已经构造了多种过完 备字典．例如Dirac 字典是一系列 Dirac 函数的集 合适合分析冲击信号；Fourier 字典是典型的频率 字典是频率过离散的简谐三角函数集合适合分析 简谐信号；小波字典是典型的时间—尺度字典是小 波基函数经过尺度伸缩和平移变化之后的波形函数 集合适合分析具有等比例带宽性质的信号．为了 分析时变信号的各种性质目前已经构造了多种时 频字典如小波包和余弦包字典、Chirplet 字典、 FM m let 字典和 Dopplerlet 字典．其中小波包字典 是比较常用的时频字典该字典是标准的小波字典、 Dirac 字典以及持续一定时间长度覆盖一定频率带 宽的波形函数的组合． 1∙3 基追踪 理论上在过完备字典中寻找最佳信号分解的 过程比较复杂．首先计算信号与全部字典原子之 间的内积系数；然后根据内积系数的大小对原子进 行排序；最后应用前 m 个原子逼近原信号．虽然 原子分解在信号表示方面具有自适应性能够保持 信号表示的稀疏性但是寻找最优分解的过程是 NP —hard 问题计算量非常大．在工程实践中通过优 化方法得到的次优解通常可以满足要求． 基追踪［4］是实现原子分解的方法之一．对于信 号分解表达式（1）该方法在字典中寻找最佳原子 使信号分解系数的 l1 范数达到最小即： min‖α‖1subject to Φα＝s （3） 基追踪是一种非二次型凸优化准则而不是一 种算法其中最小 l1 范数优化问题在本质上等价于 线性规划问题．因此基追踪问题可以应用线性规 划中的各种优化算法来计算求解如单纯形法和内 点法．该方法不仅能够保持信号表示的稀疏性而 且具有较高的分辨率；但是该方法计算速度较慢其 计算量为 CNln N（ N 为信号长度C 为选择的原子 数目）． 根据基于过完备时频字典的基追踪分解结果 在时频平面上绘制各个最优时频原子的 Heisenberg 网格可以得到基追踪时频分布通过各原子的时频 结构研究信号中包含的时变特征信息． 第1期 冯志鹏等： 基追踪在齿轮损伤识别中的应用 ·85·
86 北京科技大学学报 第30卷 隔规律重复出现 2齿轮振动信号分析 齿轮振动的现场测试信号成分复杂，背景噪声 齿轮振动主要由齿轮的啮合效应和旋转运动引 强，在基于正交基函数展开的传统信号处理方法（如 起，在时域内可能表现为幅值调制和相位调制过程； Fourier变换和正交小波变换)中，需要使用许多基 在频域内，齿轮啮合频率及其谐频、大小齿轮的旋转 函数对频谱结构近似于白噪声的脉冲信号进行逼 频率及其谐频、分布在谐频附近的边带频率，以及其 近，经过正交变换之后，信号中的微弱冲击成分可 他一些频率成分都可能会出现在频谱中.齿轮各类 能会淹没在过多的基函数中，不利于冲击征兆的有 典型故障振动信号之间的频谱结构差异明显：轮齿 效提取分析，在基追踪原子分解方法中，只要过完 在载荷作用下的变形、加工误差和磨损等通过齿轮 备字典中包括与冲击成分匹配的波形原子，即可以 啮合频率及其谐频表现出来；齿面的点蚀、脱落和裂 直接提取信号中的冲击特征，避免中间变换环节导 纹等局部损伤表现为分布频带较宽的谐频及其边带 致的信息损失，因此，该方法为提取齿轮振动的冲 结构；由偏心和变形引起的缺陷表现为零频率附近 击特征、识别齿轮局部损伤提供了一种有效手段 的谐频成分以及啮合频率及其谐频附近的边带结 2.1参数说明 构.在许多研究中，将边带结构作为齿轮缺陷的主 所分析的齿轮振动信号为两台水泵机组中齿轮 要征兆，并且通过边带结构与啮合频率之间的频率 箱的现场测试信号叮，机组中，水泵由电机通过齿 间隔来确定缺陷位置，但是，由于制造误差、安装偏 轮箱驱动，两台机组的结构型号和运行条件相同， 心和弹性变形的影响，即使正常齿轮振动信号的频 其中，一台机组的齿轮箱状态正常，而另一台机组的 谱中也存在边带结构，而且现场测试信号经过轴一 齿轮箱由于不平衡载荷和磨损等原因，出现了点蚀 轴承一轴承座传递之后，齿轮振动的特征信息衰减 损伤，均匀地分布在每个轮齿表面的中心，齿轮箱 损耗较大，其中还会混杂多种其他零部件振动产生 第一级齿轮的轮齿数目为13，驱动轴转速为997r· 的噪声干扰，因此，除非齿轮出现严重故障，否则通 min,齿轮啮合频率为216Hz,在转轴、齿轮和轴 过常规的频谱分析识别齿轮的异常原因存在一定 承等各结构部件附近，通过七个加速度传感器测试 难度 了振动信号，测试系统中模拟低通滤波器截止频率 工程实践中，齿轮的局部损伤在各种齿轮故障 为5000z,采样频率为12800 中占有很大比例，典型的局部损伤包括齿面的点 2.2时频分析 蚀、脱落和裂纹等类型.在齿轮运行过程中，当带有 齿轮振动的现场测试信号具有较强的非平稳性 局部损伤的轮齿与其他轮齿啮合接触时，将导致轮 和复杂性，例如，运行条件变化导致的时变性，齿轮 齿滑动接触表面之间的润滑油膜破裂，产生冲击现 损伤引起的瞬态冲击，源于复杂激励、零部件动力学 象.在齿轮的旋转运动效应作用下，冲击将按照一 耦合和传播过程的多种信号成分，在过完备时频字 定的时间间隔规律重复出现.因此，周期性或准周 典的基础上，基追踪方法可以对齿轮振动信号中的 期性冲击是齿轮局部损伤的一个关键特征，其中连 特征结构和瞬态分量进行最佳匹配，直接提取各个 续性冲击之间的时间间隔是识别局部损伤的关键指 信号分量，在基追踪分解的基础上，可以在时频联 标。例如，在齿轮载荷和转速严格平稳的条件下，若 合域内研究信号的结构特征，解释其中蕴含的丰富 一对齿轮副中一个齿轮的某个轮齿上出现局部损 物理意义， 伤，而其他轮齿和另一个齿轮正常，则振动信号中会 正常齿轮箱和故障齿轮箱振动信号的时域波形 出现周期性冲击，而且连续冲击之间的时间间隔为 和功率谱分别如图1和图2所示，其中信号长度为 损伤齿轮的旋转周期；若局部损伤均匀地分布在某 2048点，在时域内，正常和故障齿轮箱振动信号的 个齿轮的全部轮齿上，而另一个齿轮正常，则周期性 波形之间没有明显的差异，在频域内，虽然正常和 冲击之间的时间间隔为齿轮副的啮合周期；若局部 故障齿轮箱振动信号的功率谱在各峰值频率处的幅 损伤随机无规律地分布在齿轮副中某一个或者两个 值存在较大差异，但是它们的频率成分基本相似，两 齿轮的轮齿上，则振动信号中会出现准周期性冲击， 个信号中都出现了啮合频率及其谐频和边带成分， 从相邻两个冲击的局部角度观察，连续冲击之间的 故障齿轮箱振动信号的频谱结构没有体现任何典型 时间间隔可能没有规律，从整个冲击序列的全局角 齿轮故障的征兆特征 度观察，冲击序列会按照与齿轮旋转周期相关的间 为了有效匹配分析齿轮箱振动信号的特征结
2 齿轮振动信号分析 齿轮振动主要由齿轮的啮合效应和旋转运动引 起在时域内可能表现为幅值调制和相位调制过程； 在频域内齿轮啮合频率及其谐频、大小齿轮的旋转 频率及其谐频、分布在谐频附近的边带频率以及其 他一些频率成分都可能会出现在频谱中．齿轮各类 典型故障振动信号之间的频谱结构差异明显：轮齿 在载荷作用下的变形、加工误差和磨损等通过齿轮 啮合频率及其谐频表现出来；齿面的点蚀、脱落和裂 纹等局部损伤表现为分布频带较宽的谐频及其边带 结构；由偏心和变形引起的缺陷表现为零频率附近 的谐频成分以及啮合频率及其谐频附近的边带结 构．在许多研究中将边带结构作为齿轮缺陷的主 要征兆并且通过边带结构与啮合频率之间的频率 间隔来确定缺陷位置．但是由于制造误差、安装偏 心和弹性变形的影响即使正常齿轮振动信号的频 谱中也存在边带结构而且现场测试信号经过轴— 轴承—轴承座传递之后齿轮振动的特征信息衰减 损耗较大其中还会混杂多种其他零部件振动产生 的噪声干扰．因此除非齿轮出现严重故障否则通 过常规的频谱分析识别齿轮的异常原因存在一定 难度． 工程实践中齿轮的局部损伤在各种齿轮故障 中占有很大比例．典型的局部损伤包括齿面的点 蚀、脱落和裂纹等类型．在齿轮运行过程中当带有 局部损伤的轮齿与其他轮齿啮合接触时将导致轮 齿滑动接触表面之间的润滑油膜破裂产生冲击现 象．在齿轮的旋转运动效应作用下冲击将按照一 定的时间间隔规律重复出现．因此周期性或准周 期性冲击是齿轮局部损伤的一个关键特征其中连 续性冲击之间的时间间隔是识别局部损伤的关键指 标．例如在齿轮载荷和转速严格平稳的条件下若 一对齿轮副中一个齿轮的某个轮齿上出现局部损 伤而其他轮齿和另一个齿轮正常则振动信号中会 出现周期性冲击而且连续冲击之间的时间间隔为 损伤齿轮的旋转周期；若局部损伤均匀地分布在某 个齿轮的全部轮齿上而另一个齿轮正常则周期性 冲击之间的时间间隔为齿轮副的啮合周期；若局部 损伤随机无规律地分布在齿轮副中某一个或者两个 齿轮的轮齿上则振动信号中会出现准周期性冲击 从相邻两个冲击的局部角度观察连续冲击之间的 时间间隔可能没有规律从整个冲击序列的全局角 度观察冲击序列会按照与齿轮旋转周期相关的间 隔规律重复出现． 齿轮振动的现场测试信号成分复杂背景噪声 强在基于正交基函数展开的传统信号处理方法（如 Fourier 变换和正交小波变换）中需要使用许多基 函数对频谱结构近似于白噪声的脉冲信号进行逼 近．经过正交变换之后信号中的微弱冲击成分可 能会淹没在过多的基函数中不利于冲击征兆的有 效提取分析．在基追踪原子分解方法中只要过完 备字典中包括与冲击成分匹配的波形原子即可以 直接提取信号中的冲击特征避免中间变换环节导 致的信息损失．因此该方法为提取齿轮振动的冲 击特征、识别齿轮局部损伤提供了一种有效手段． 2∙1 参数说明 所分析的齿轮振动信号为两台水泵机组中齿轮 箱的现场测试信号［7］．机组中水泵由电机通过齿 轮箱驱动两台机组的结构型号和运行条件相同． 其中一台机组的齿轮箱状态正常而另一台机组的 齿轮箱由于不平衡载荷和磨损等原因出现了点蚀 损伤均匀地分布在每个轮齿表面的中心．齿轮箱 第一级齿轮的轮齿数目为13驱动轴转速为997r· min —1齿轮啮合频率为216Hz．在转轴、齿轮和轴 承等各结构部件附近通过七个加速度传感器测试 了振动信号．测试系统中模拟低通滤波器截止频率 为5000Hz采样频率为12800Hz． 2∙2 时频分析 齿轮振动的现场测试信号具有较强的非平稳性 和复杂性例如运行条件变化导致的时变性齿轮 损伤引起的瞬态冲击源于复杂激励、零部件动力学 耦合和传播过程的多种信号成分．在过完备时频字 典的基础上基追踪方法可以对齿轮振动信号中的 特征结构和瞬态分量进行最佳匹配直接提取各个 信号分量．在基追踪分解的基础上可以在时频联 合域内研究信号的结构特征解释其中蕴含的丰富 物理意义． 正常齿轮箱和故障齿轮箱振动信号的时域波形 和功率谱分别如图1和图2所示其中信号长度为 2048点．在时域内正常和故障齿轮箱振动信号的 波形之间没有明显的差异．在频域内虽然正常和 故障齿轮箱振动信号的功率谱在各峰值频率处的幅 值存在较大差异但是它们的频率成分基本相似两 个信号中都出现了啮合频率及其谐频和边带成分 故障齿轮箱振动信号的频谱结构没有体现任何典型 齿轮故障的征兆特征． 为了有效匹配分析齿轮箱振动信号的特征结 ·86· 北 京 科 技 大 学 学 报 第30卷
第1期 冯志鹏等：基追踪在齿轮损伤识别中的应用 ,87 400 (a) b)875 300 217 1084 100 426 12 T7422654 1802 0.04 0.08 0.12 0.16 2000 4000 6000 时间s 频率Hz 图1正常齿轮箱振动信号.(a)时域波形：(b)功率谱 Fig.1 Vibration signal of a normal gearbox:(a)time domain waveform:(b)power spectrum 250r (a) 217 1518 (b) 200 150 100 % 房引 0.04 0.08 0.12 0.16 0 2000 4000 6000 时间s 頫率Hz 图2故障齿轮箱振动信号.(a)时域波形；(b)功率谱 Fig.2 Vibration signal of a faulty gearbox:(a)time domain waveform:(b)power spectrum 构，根据齿轮动力学特点，构造了复合冗余过完备时 频字典，其中包括Fourier字典、Dirac字典、基于l0 阶消失矩Symlet小波的标准正交小波字典以及持 基追踪时频分布 续一定时间长度覆盖一定频率带宽的波形函数的组 合，利用基追踪方法分别匹配齿轮振动信号中的简 谐振动、冲击和其他瞬态振动现象（在时频分析过程 中，为了避免过大的计算量，清晰显示分析结果，取 各信号中的前512点数据进行分析). 对于故障齿轮箱振动信号，经过11次基追踪迭 代分解之后，优化目标一信号分解系数的1范数 功率谱幅值 10 20 基本不再降低，如图3所示，可以认为算法已经 时间ms 收敛，计算终止· 图4正常齿轮箱振动信号基追踪时颜分布 2000 Fig.4 Basis pursuit time frequency distribution of the vibration sig 1500 nal of a normal gearbox 1000 轮振动信号的时频结构，同时提取了与功率谱中峰 500 值对应的简谐振动成分以及冲击和其他瞬态振动 0 46 8 10 成分 迭代次数 对于正常齿轮箱，虽然振动信号的时频分布中 出现了冲击成分，但是相邻冲击之间的时间间隔没 图3基追踪过程 Fig-3 Basis pursuit iteration 有规律。工程实践中，即使齿轮没有任何缺陷，劣化 的润滑状况或者载荷瞬时波动也可能会使啮合轮齿 根据基追踪分解结果，在时频平面内绘制各最 滑动表面之间的润滑油膜出现瞬间破裂，从而产生 优原子的Heisenberg时频网格，得到的正常和故障 冲击，因此，无规律的冲击不能作为齿轮局部损伤 齿轮箱振动信号的时频分布分别如图4和图5所示 的故障征兆， (图中，顶部为信号时域波形，左侧为功率谱，右侧为 对于故障齿轮箱，振动信号的时频分布中不仅 颜色参考坐标，以下同).可见该方法清晰识别了齿 出现了两组明显的冲击序列，而且这些连续的冲击
图1 正常齿轮箱振动信号．（a） 时域波形；（b） 功率谱 Fig．1 Vibration signal of a normal gearbox： （a） time domain waveform；（b） power spectrum 图2 故障齿轮箱振动信号．（a） 时域波形；（b） 功率谱 Fig．2 Vibration signal of a faulty gearbox：（a） time domain waveform；（b） power spectrum 构根据齿轮动力学特点构造了复合冗余过完备时 频字典其中包括 Fourier 字典、Dirac 字典、基于10 阶消失矩 Symlet 小波的标准正交小波字典以及持 续一定时间长度覆盖一定频率带宽的波形函数的组 合利用基追踪方法分别匹配齿轮振动信号中的简 谐振动、冲击和其他瞬态振动现象（在时频分析过程 中为了避免过大的计算量清晰显示分析结果取 各信号中的前512点数据进行分析）． 对于故障齿轮箱振动信号经过11次基追踪迭 代分解之后优化目标———信号分解系数的 l1 范数 ———基本不再降低如图3所示可以认为算法已经 收敛计算终止． 图3 基追踪过程 Fig．3 Basis pursuit iteration 根据基追踪分解结果在时频平面内绘制各最 优原子的 Heisenberg 时频网格得到的正常和故障 齿轮箱振动信号的时频分布分别如图4和图5所示 （图中顶部为信号时域波形左侧为功率谱右侧为 颜色参考坐标以下同）．可见该方法清晰识别了齿 图4 正常齿轮箱振动信号基追踪时频分布 Fig．4 Basis pursuit time-frequency distribution of the vibration signal of a normal gearbox 轮振动信号的时频结构同时提取了与功率谱中峰 值对应的简谐振动成分以及冲击和其他瞬态振动 成分． 对于正常齿轮箱虽然振动信号的时频分布中 出现了冲击成分但是相邻冲击之间的时间间隔没 有规律．工程实践中即使齿轮没有任何缺陷劣化 的润滑状况或者载荷瞬时波动也可能会使啮合轮齿 滑动表面之间的润滑油膜出现瞬间破裂从而产生 冲击．因此无规律的冲击不能作为齿轮局部损伤 的故障征兆． 对于故障齿轮箱振动信号的时频分布中不仅 出现了两组明显的冲击序列而且这些连续的冲击 第1期 冯志鹏等： 基追踪在齿轮损伤识别中的应用 ·87·
·88 北京科技大学学报 第30卷 分辨率也低于基追踪方法，总之，作为基于基函数 展开的时频分析方法，短时Fourier变换和小波变换 中基函数形式固定单一（分别为简谐三角函数和小 基追察时顿分布 波函数)，在匹配分析成分复杂多变的齿轮振动信号 过程中缺乏自适应性，可能会导致信号中的微弱冲 5 击特征淹没在过多的基函数中；另外，受Heisenberg 不确定性原理的约束，短时Fourier变换和小波变换 不能同时获得最佳的时间聚集性和频率分辨率，必 须以牺牲一方面的性能才能改善另一方面的性能， 功率谱幅值 10 20 没有能够有效地同时提取齿轮振动信号中的简谐成 时间ms 分、瞬态成分和识别齿轮局部损伤的关键征兆信息 周期性或准周期性冲击成分， 图5故障齿轮箱振动信号基追踪时颜分布 Fig.5 Basis pursuit time frequency dist ribution of the vibration sig- nal of a faulty gearbox 成分具有周期性规律，相邻冲击之间的时间间隔约 谱图 为4~5ms,如图中的冲击A、B、C和D,以及E、F、G 和H.理论上，如果局部损伤均匀地分布在每个轮 5 齿上，而且齿轮转速和载荷严格平稳，那么每对轮齿 接触啮合时，都会产生冲击现象，从而形成周期性冲 3 击序列，而且冲击之间的时间间隔等于轮齿啮合周 期.对于现场测试的齿轮箱振动信号，实际的损伤 分布情况以及转速和载荷等运行条件不可能严格满 功率谱幅值 10 20 30 时间/ms 足上述理想的假设条件，损伤的非均匀分布以及载 荷尤其是转速的瞬时波动都会导致连续冲击之间的 图6故障齿轮箱振动信号短时Fourier变换谱 时间间隔存在差异，另外，在齿轮一转轴一轴承一 Fig.6 Spectrogram of the vibration signal of a faulty gearbox 箱体振动传播路径的复杂作用下，冲击成分还会受 到严重衰减和干扰，从而导致冲击的非连续性，例如 在冲击D和E之间的预期时刻没有出现明显的冲 击.虽然连续冲击之间的时间间隔并不严格相等， 尺度谱 但是它们都约等于齿轮的啮合周期4.6ms,对应齿 轮的啮合频率216h,该现象说明在一些轮齿成对 啮合接触过程中产生了冲击，表明大部分轮齿表面 存在局部损伤，此发现符合现场齿轮损伤的实际 状况， 相对简谐振动和其他瞬态振动成分而言，故障 功率谱幅值 10 20 30 齿轮箱振动信号中周期性冲击时频分布能量幅值较 时间/ms 小，在时域波形和频谱中淹没在其他信号成分和干 图7故障齿轮箱振动信号小波变换尺度谱 扰噪声中，因此增加了通过常规的时域或频域分析 Fig.7 Scalogram of the vibration signal of a faulty gearbox 方法进行损伤识别的难度· 作为对比，应用短时Fourier变换和小波变换对 3结论 故障齿轮箱振动信号进行了分析，时频分析结果分 别如图6和图7所示，可见，二者虽然比较准确地 在过完备时频字典的基础上，基追踪可以在全 识别出了信号中的简谐振动和瞬态振动成分，但是 局意义上对信号的时频结构特征进行最佳匹配，直 却没有显示出明显的周期性冲击特征，而且其时频 接提取信号中的特征分量，以较高的时频分辨率对
图5 故障齿轮箱振动信号基追踪时频分布 Fig．5 Basis pursuit time-frequency distribution of the vibration signal of a faulty gearbox 成分具有周期性规律相邻冲击之间的时间间隔约 为4～5ms如图中的冲击 A、B、C 和 D以及 E、F、G 和 H．理论上如果局部损伤均匀地分布在每个轮 齿上而且齿轮转速和载荷严格平稳那么每对轮齿 接触啮合时都会产生冲击现象从而形成周期性冲 击序列而且冲击之间的时间间隔等于轮齿啮合周 期．对于现场测试的齿轮箱振动信号实际的损伤 分布情况以及转速和载荷等运行条件不可能严格满 足上述理想的假设条件损伤的非均匀分布以及载 荷尤其是转速的瞬时波动都会导致连续冲击之间的 时间间隔存在差异．另外在齿轮—转轴—轴承— 箱体振动传播路径的复杂作用下冲击成分还会受 到严重衰减和干扰从而导致冲击的非连续性例如 在冲击 D 和 E 之间的预期时刻没有出现明显的冲 击．虽然连续冲击之间的时间间隔并不严格相等 但是它们都约等于齿轮的啮合周期4∙6ms对应齿 轮的啮合频率216Hz．该现象说明在一些轮齿成对 啮合接触过程中产生了冲击表明大部分轮齿表面 存在局部损伤此发现符合现场齿轮损伤的实际 状况． 相对简谐振动和其他瞬态振动成分而言故障 齿轮箱振动信号中周期性冲击时频分布能量幅值较 小在时域波形和频谱中淹没在其他信号成分和干 扰噪声中因此增加了通过常规的时域或频域分析 方法进行损伤识别的难度． 作为对比应用短时 Fourier 变换和小波变换对 故障齿轮箱振动信号进行了分析时频分析结果分 别如图6和图7所示．可见二者虽然比较准确地 识别出了信号中的简谐振动和瞬态振动成分但是 却没有显示出明显的周期性冲击特征而且其时频 分辨率也低于基追踪方法．总之作为基于基函数 展开的时频分析方法短时 Fourier 变换和小波变换 中基函数形式固定单一（分别为简谐三角函数和小 波函数）在匹配分析成分复杂多变的齿轮振动信号 过程中缺乏自适应性可能会导致信号中的微弱冲 击特征淹没在过多的基函数中；另外受 Heisenberg 不确定性原理的约束短时 Fourier 变换和小波变换 不能同时获得最佳的时间聚集性和频率分辨率必 须以牺牲一方面的性能才能改善另一方面的性能 没有能够有效地同时提取齿轮振动信号中的简谐成 分、瞬态成分和识别齿轮局部损伤的关键征兆信息 ———周期性或准周期性冲击成分． 图6 故障齿轮箱振动信号短时 Fourier 变换谱 Fig．6 Spectrogram of the vibration signal of a faulty gearbox 图7 故障齿轮箱振动信号小波变换尺度谱 Fig．7 Scalogram of the vibration signal of a faulty gearbox 3 结论 在过完备时频字典的基础上基追踪可以在全 局意义上对信号的时频结构特征进行最佳匹配直 接提取信号中的特征分量以较高的时频分辨率对 ·88· 北 京 科 技 大 学 学 报 第30卷
第1期 冯志鹏等：基追踪在齿轮损伤识别中的应用 .89. 任意信号进行自适应的稀疏表示 Acoust Stress Reliab Des,1986,108:165 齿轮箱振动的现场测试信号成分复杂，背景噪 [3]Shen Y J.Yang S P,Liu X D.The study and forecast of signal 声强，通过常规的分析方法提取损伤齿轮振动的微 processing technique for diagnosis of gear fault.J Mech Trans- mission,2004,28(3):1 弱冲击特征存在一定难度，针对齿轮的振动特点， (申永军，杨绍普，刘献栋。齿轮故障诊新中的信号处理技术 特别设计了复合过完备时频字典，用以匹配冲击、简 研究与展望.机械传动，2004,28(3)：1) 谐振动和其他瞬态振动现象，应用基追踪方法在时 [4]Chen SS.Donoho DL.Saunders M A.Atomic decomposition by 频联合域内成功提取了齿轮局部损伤的周期性冲击 basis pursuit.SIAM Rev.2001.43(1):129 特征，识别了齿轮点蚀缺陷，与短时Fourier变换和 [5]Yang H.Mathew J.Ma L.Fault diagnosis of rolling element bearings using basis pursuit.Mech Syst Signal Process.2005. 小波变换等时频分析方法的对比验证了基追踪在检 19:341 测齿轮局部损伤方面的有效性 [6]Zheng H B.Chen X Z.Li Z Y.Basis pursuit de-noising and its application to gearbox gear fault diagnosis.IVib Meas Diagnosis. 参考文献 2003,23(2):128 [1]Randall R B.A new method of modeling gear faults.J Mech Des. (郑海波，陈心昭，李志远，基追踪降噪及在齿轮故障诊断中 1982,104.259 的应用，振动，测试与诊断，2003,23(2)：128) [2]MeFadden P D.Detecting fatigue cracks in gears by amplitude [7]Gearbox Vibration Dataset [DB/OL].The Netherlands,2006. and phase demodulation of the meshing vibration.ASME I Vib htp:∥www.aypma-nl (下期预告) 应用刚塑性体的变分原理求解钢轨万能轧制过程的力 能参数 董永刚张文志宋剑锋 为了简化钢轨万能轧制过程的三维几何模型，首先把带箱形孔型立辊简化为等效的平辊，然后分别给出 轨腰、轨头及轨基的运动学许可速度场，求出在此速度场下相应变形区的塑性变形功率以及速度间断面上消 耗的功率，计算中考虑了由于前滑和后滑而产生的摩擦功率，根据刚塑性体的变分原理求解水平辊和两个 立辊轧制力和轧制力矩的近似解，通过比较理论值和实验值可知，利用变分原理求出的力能参数近似解稍 大于实验值但最大误差不超过20%，因此根据变分原理进行力能参数计算和轧制工艺参数设定及优化是比 较可靠的
任意信号进行自适应的稀疏表示． 齿轮箱振动的现场测试信号成分复杂背景噪 声强通过常规的分析方法提取损伤齿轮振动的微 弱冲击特征存在一定难度．针对齿轮的振动特点 特别设计了复合过完备时频字典用以匹配冲击、简 谐振动和其他瞬态振动现象应用基追踪方法在时 频联合域内成功提取了齿轮局部损伤的周期性冲击 特征识别了齿轮点蚀缺陷与短时 Fourier 变换和 小波变换等时频分析方法的对比验证了基追踪在检 测齿轮局部损伤方面的有效性． 参 考 文 献 ［1］ Randall R B．A new method of modeling gear faults．J Mech Des 1982104：259 ［2］ McFadden P D．Detecting fatigue cracks in gears by amplitude and phase demodulation of the meshing vibration．ASME J V ib Acoust Stress Reliab Des1986108：165 ［3］ Shen Y JYang S PLiu X D．The study and forecast of signal processing technique for diagnosis of gear fault．J Mech T ransmission200428（3）：1 （申永军杨绍普刘献栋．齿轮故障诊断中的信号处理技术 研究与展望．机械传动200428（3）：1） ［4］ Chen S SDonoho D LSaunders M A．Atomic decomposition by basis pursuit．SIA M Rev200143（1）：129 ［5］ Yang HMathew JMa L．Fault diagnosis of rolling element bearings using basis pursuit． Mech Syst Signal Process2005 19：341 ［6］ Zheng H BChen X ZLi Z Y．Basis pursuit de-noising and its application to gearbox gear fault diagnosis．J V ib Meas Diagnosis 200323（2）：128 （郑海波陈心昭李志远．基追踪降噪及在齿轮故障诊断中 的应用．振动测试与诊断200323（2）：128） ［7］ Gearbox V ibration Dataset ［DB／OL ］．The Netherlands2006． http：∥www．aypma．nl （下期预告） 应用刚塑性体的变分原理求解钢轨万能轧制过程的力 能参数 董永刚 张文志 宋剑锋 为了简化钢轨万能轧制过程的三维几何模型首先把带箱形孔型立辊简化为等效的平辊然后分别给出 轨腰、轨头及轨基的运动学许可速度场求出在此速度场下相应变形区的塑性变形功率以及速度间断面上消 耗的功率计算中考虑了由于前滑和后滑而产生的摩擦功率．根据刚塑性体的变分原理求解水平辊和两个 立辊轧制力和轧制力矩的近似解．通过比较理论值和实验值可知利用变分原理求出的力能参数近似解稍 大于实验值但最大误差不超过20％因此根据变分原理进行力能参数计算和轧制工艺参数设定及优化是比 较可靠的． 第1期 冯志鹏等： 基追踪在齿轮损伤识别中的应用 ·89·