具有重特征值的阻尼线性系统振动

D0I:10.13374/j.issn1001053x.1994.s2.017 第16卷增刊 北京科技大学学报 VoL 16 1994年11月 Journal of University of Science and Technology Beijing Nom.1994 具有重特征值的阻尼线性系统振动 黄汉舟)林鹤2) 1)柳州钢铁厂，柳州2)北京科技大学机械工程学院，北京100083 摘要本文在复模态理论基础上引人系统传递函数矩阵及其留数矩阵的概念，推证了传递函数矩 阵展式，通过展式导出系统振动响应的实数表达式可用于计算具有重特征值的阻尼线性系统振动 响应，从而解决了涉及重特征值的振动求解问题·文中对特征值、特征向量及留数矩阵做了探 讨，并给出了算例· 关键词振动，重特征值，留数矩阵，Laplace变换 中图分类号0321 Study on Vibration of Damped Linear Systems with Multiple Eigenvalues Huang Hanzhou Lin He2) 1)Liu Zhou Iron and steel works 2)Mechanical Engineering College,USTB,Beijing 100083.PRC ABSTRACT In this paper,the transfer function method in complex modal theory has been studied.The transfer function matrix and its residual matrices of a damped linear system are introduced.The expansion formula of the transfer function matrix is derived and proved,with which the real expressions are developed for vibration response of a damped linear system with multiple degrees of freedom.The expressions presented in the paper can be used to compute the vibration response of a damped linear system in which one or more multiple eigenvalues may exist,so the problem dealing with multiple eigenvalues is solved about the solution of the vibration response of a damped linear system.Finally one example is shown. KEY WORDS vibration,multiple eigenvalues,residual matrix,Laplace transform 工程中的许多阻尼线性系统微分方程在实模态空间中不能解耦.在这种情况下，实模态理论不 再适用，为了解决这类系统的振动响应求解问题，近十几年来复模态理论得到迅速的发展，用 复模态理论求解阻尼线性多自由度系统振动响应问题的方法主要有状态空间法[4~1、传递函 数法8)和摄动法)，也有通过建立一种新的正交关系，然后把响应按复特征向量展开求解的)， 本文针对具有重特征值的阻尼线性多自由度系统振动问题进行了研究，导出了可处理重 特征值问题的实用分析方法， 1994-03-01收稿 第一作者男34岁硕士

第 卷 增刊 年 月 北 京 科 技 大 学 学 报 川 沈 心 具有重特征值 的阻尼 线性 系 统振动 黄汉 舟 ‘ 林 鹤 ’ 柳 州 钢 铁厂 ， 柳 州 北 京科技 大 学 机械 工 程 学 院 北 京 摘要 本文在复模态理论基 础 上 引 人 系统传递 函 数矩 阵及其 留数矩 阵 的概念 ， 推证 了传递 函 数矩 阵展式 ， 通过展式 导 出系 统振 动 响应 的实数表达式可 用 于 计算具有 重特征值 的 阻尼 线性系 统振动 响应 ， 从而 解决 了涉及 重 特征值 的振 动求解 问题 文 中对 特 征 值 、 特 征 向量 及 留数 矩 阵做 了 探 讨 ， 并给出了算例 关健词 振 动 ， 重 特征值 ， 留数矩 阵 ， 压 沈 变换 中圈分类号 加 司 助 罗 ， ， 以〕 ， ， ’ 比 璐 巴 加 “ 对 ， 雌 记 雌 氏对 已犯 以 服 吨 ， 巴 顿 万 ， 巴 ， 心 火 ， 恤 工程 中的许多阻尼线性系统微分方程在实模态空 间中不能解祸 在这种情况下 ， 实模态理论不 再适用 为 了解决这类 系 统 的振 动 响应求解 问题 ， 近 十几 年来复模态理论 得 到 迅 速 的发 展 用 复模态理 论求解 阻尼 线性 多 自由度 系 统振 动 响应 问题 的方 法 主 要 有 状 态 空 间 法 礴一 “ 、 传递 函 数法 【民 】 和摄动法 ’ ， 也有 通过建 立 一种新 的正交关系 ， 然后把响应按复特征 向量展开求解的 ’ 本文针 对具有 重特 征值 的阻尼 线性 多 自由度 系 统振 动 问题进行 了研究 ， 导 出了可处理 重 特 征值 问题 的实用分 析方 法 望科 一 一 收稿 第一 作者 男 又 岁 硕 士 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1994．s2．017

·76 北京科技大学学报 1系统特征值问题 设阻尼线性n自由度系统振动微分方程矩阵形式为： [M]{X(t)}+[C]{X(t)}+[K]{X(t)}={g(t)} (I) 初条件：{X(t),=0={X},{X(t)}-o={Xo} 式中[M]、[C】、[K]分别为系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵，它们均为对称矩阵； 且[M]正定，[C]、[K]正定或半正定；{X(t)小、{X(t)小、{X(t)}分别为系统对应于个自由度的 广义坐标位移、速度和加速度列向量：{g(t)}为外激励列向量. 方程式(1)对应的齐次方程： [M]{X(t)}+[C]{X(t)}+[K]{X()》={0} (2) 将方程式(2)的解{X(t)}={5}e代入得： [D(s)1{5}={0} (3) 式中，[Ds)月=s[M]+s[C]+[K]. 方程式(3)关于{5}有非零解的充要条件为系数行列式等于零，即： det [D(s)]=0 (4) 方程式(4)称为系统的特征方程，其左边为s的2次实系数多项式.特征方程在复数 域内有2如个根（重根按重数计算）o,这些根称为系统的特征值，根次数大于1的特征值称 为重特征值， 设特征方程有z个相异根5S,·,S,重数分别为k,k。,…,k,则特征方程(4)可 表示为： det[M](s-s,)=0 (5) 其中，k,+k+…+k,=2n. 2传递函数矩阵的建立和展开 对方程(I)两边作Laplace变换，并设[D(s】之逆[D(s)】-存在，得： {X(s)}=[D(s)]-'({Q(s)}+(s[M]+[C])Xo}+[M){X}) (6) 方程(6)反映了∫`义坐标位移响应的Laplace变换与激励函数的Laplace变换的关系. 当外激励和初始条件一定时，系统广义坐标在s域中响应的形态取决于矩阵[D(s】1.称[D(s)】 为系统的传递函数矩阵， 考察D(s)月中的第p行第q列元素D(s).为叙述方便，记adj[D(s】中对应元素为B(S), 根据逆矩阵的定义，有： D品0 (7) 上式右边分子、分母均为s的多项式、次数分别为2(n-l)和2n.根据Heaviside展开定 理，函数D(S)可按它的全部极点展开为简单分式之和.比较式(4)和式(7)知，函数 *从定义上看BS)和DS)中是带参数s的行列式。展开后为s的多项式，为了讨论方便，下文有时称它们为函数， 有时称它们为行列式

· · 北 京 科 技 大 学 学 报 系统特征值 问题 设 阻尼 线性 自由度 系统振 动微分 方程 矩 阵形式 为 」 卜 卜 初 条 件 。 一 。 ， 义 卜 。 一 文 。 式 中 、 〕 、 【 分 别 为系 统 的质量 矩 阵 、 阻 尼矩阵和刚度矩 阵 ， 它们均 为 对称矩 阵 且 正定 ， 、 正定或半正定 王 、 、 分 别 为系 统对应于 个 自由度 的 广义 坐 标 位移 、 速度 和加 速 度 列 向量 为外 激 励列 向量 方 程 式 对应 的 齐次方 程 」 将方 程式 的解 卜 拼 ” 代人得 川 尝 式 中 ， 【 【 【 」 方 程式 关于 套 有 非零 解 的充要 条件 为系数行 列 式等于 零 ， 即 、卜 方 程式 称 为 系 统 的特 征方 程 ， 其左边 为 的 次 实 系数多项 式 特 征 方 程 在 复 数 域 内有 个 根 重根 按 重 数 计算 ’ ， 这 些 根称 为 系统 的特 征值 根 次数大于 的特 征值称 为重特征值 设特征 方程有 个相异根 ， ， … ， ， ， 重数分别 为 ， ， … ， ， 则特 征方 程 可 表示 为 ‘ ，尽 一 」 ’ ’ 一 其 中 ， … 二 传递 函数矩 阵的建立和 展开 对方 程 两边 作 变换 ， 并设 【 」之 逆 【 一 ’ 存 在 ， 得 卜 一 ’ 卜 。 。 方 程 反 映 了厂 ‘ 义 坐 标 位移 响 应 的 变 换 与激 励 函 数 的 肠 变 换 的 关 系 当外 激励 和 初 始条 件 一 定 时 系统广义坐标在 域中响应的形态取决于矩 阵 【 一 ’ 称 【 一 ’ 为系 统 的传递 函 数矩 阵 考察 一 ’ 中的第 行第 列元素 ’ 为叙述方便 ， 记 联 中对应元素为 ， 根 据 逆矩 阵 的定 义 ， 有 ， 【 」 上 式 右边 分 子 、 分母 均 为 的多项 式 、 次数分 别 为 一 和 根 据 份呛 展 开定 理 ， 函 数 可 按 它 的 全 部 极 点 展 开 为 简 单 分 式 之 和 比 较 式 和式 知 ， 函 数 从定 义上 看 、 和 ， 中是 带 参数 的 行 列 式 ， 展 开 后 为 的 多项 式 为 了讨 论方 便 ， 下 文 有 时称它 们为 函 数 ， 有 时称 它们 为行 列 式

黄汉舟等：具有重特征值的阻尼线性系统振动 ·7· D(S)的分母恰好是特征方程左边表达式.可见，D。,(S)的极点与系统的特征值一一对应· 因此，D(s)按极点展开等价于按系统特征值展开，亦即D(S)可按系统全部相异特征值展 开为简单分式之和， 用式(5)左边代替式(7)右边分母，根据Heaviside展开定理将上式右边展开，得： D国（器+6等+高 (8) 式中，aa,,a均为待定系数，应用高等数学不难推证： a=0;al=0;a2=0;…;a=0;a=- Bpa(sj) (k,-1)det[MΠs,-s,) 因此式(8)可简化为： D-2 台s-, (9) 式中，a9= B(s) (k,-1)!det [M](s,-s:)k. 11 *」 从复变函数论的角度看，的表达式恰好为函数DS)在极点s,处留数表达式，故式 (9)中待定系数a等于D(s)在s,处的留数，即： apq=Res [Dpg(s).s 10) 式(9)和式(10)表明，如果系统有z个相异特征值，则传递函数矩阵任一元素可按这z 个相异特征值展开为z个简单分式之和，每个简单分式的分子由该元素对应特征值处的留数 表示。 既然传递函数矩阵任一元素均可按系统全部相异特征值展开为简单分式之和，传递函数 矩阵本身亦可按系统全部相异特征值展开为简单分式之和，即： D(s川'-2[A1 (11) 台s-s, 式中[A]为D[(s)]在s,处的留数矩阵，其任一元素由式(10)表示.· 3系统响应在时域中的实数表达式 把式(11)代人式(6)，得： Xe-客Qs+2A(MX+qK)会MX+店AM( S-S S-S 从形式上看.由于[A1[M]{X,}的存在，对式(12)两边作Laplac逆变换将会出现5 函数项.这意味着由于系统非零初位移的存在，响应中含有脉冲成分，从物理意义上是难以 想象的.实际上，用复变函数论不难证明召A1为零矩阵.因此.式(12)可表为：

黄汉 舟 等 具 有重 特 征值 的阻 尼 线性 系统振 动 · · 的分母 恰 好是 特 征方 程 左边 表 达 式 可 见 ， 的极 点 与 系 统 的 特 征值一 一对应 · 因此 ， 按极 点展 开等 价于 按 系统特 征值展 开 ， 亦 即 。 可 按系统全部相异特征值展 开 为简单分式之 和 用式 左边代替 式 右 边分母 ， 根 据 展 开定理 将上 式 右边 展 开 ， 得 。 、一 夕八岁王 十 一 卜叫 ‘ 厂 尸 吮 。 ， 。 里孟。 下 、 ‘ 十 … 朴才 聋监。 一、 ， 、 ’ 。 。 气。 。 夕 气 少 ‘ 式 中 ， 决 ， 么 货 ， … ， 占 」 均 为待定 系数 ， 应 用 高等 数 学不难 推证 击 一 ’ 二 去 一 ’ … 偏 嵘 一 ‘ ’ “ ‘ 尽 」一 因此 式 可 简化 为 里圭生 一 · 一 同艺 式 中 ， 占 」一 ‘ ， ‘ 尽 』一 ’ 似 从复变 函数论 的角度看 ， 右 。 的 表 达 式 恰 好 为 函 数 在 极 点 处 留数表 达式 中待定 系数 右 。 等 于 在 」处 的 留数 ， 即 右 。 ， 」 式 和 式 表 明 ， 如果 系统有 个 相 异 特 征 值 ， 则 传 递 函 数 矩 阵 任 一 元 素 可 按 这 个相 异 特征值展 开 为 个 简单分式 之 和 ， 每个 简单分式 的分 子 由该元 素对应 特征值处 的 留数 表示 既然 传递 函数矩 阵任一元 素均 可 按 系统全部相 异 特 征值 展 开 为简单分式之 和 ， 传递 函 数 矩 阵本 身亦 可 按 系 统全部 相 异 特 征值 展 开 为 简单分式 之 和 ， 即 【 一冬兴 式 中 】为 一 ’ 在 处 的 留数矩 阵 ， 其任 一 元 素 由式 表示 系统响应在时域 中的实数表达式 把式 代人 式 ‘ ‘ 一 客兴 》 鲁 风 茂 艺鲁 阿，‘ ，·属 人，阿，‘ ， ‘ ， 从形式 上看 ， 由于 脚柳 ， 。 的存在 ， 对式 ’ ，两边 作 。 逆 变换将会 出现 ‘ 函数项 这意 味着 由于 系统非零初位移 的存 在 ， 响应 中含 有脉 冲成分 ， 从物理 意义上 是 难 以 想 象 的 实 际上 ， 用 复 变 函数论不 难证 明 ” 艺 』 】为零矩 阵 因此 ， 式 可表 为

·78· 北京科技大学学报 (X)A (Q+(M++IA1 MIX 台s-5 %8-5 台s-s (13) 对式(13)两边作Laplace逆变换便可得到响应在时间域中的复数表达式. 由于复特征值共轭成对出现，设系统有m对相异复特征值5、S、s2S、…、s。5m和ū个 相异实特征值【【z…、【,并记作s,=-+iw,=-1G=1,2,,m;1=1,2,…,u), 则系统对外激励响应和初条件响应在时间域中的实数表达式分别如式(14)和式(15)所示 (推导过程从略)： .(mA(g(d: +2叫。e-eodr (14) 式中，[A小[B】分别为系统传递函数矩阵在极点sr1处的留数矩阵G=1,2,,m 1=1,2,…,u)· (X(ty.=22ReAl《o-yo》cosm,t-o{yw}sm@,t)et m [A(o()+)im)e +店B,w-aye (15) 式中，{yo}=[M]{X},{yo}=C]{X}+[M]{Xo. 式(14)和式(15)等号右边之代数和即为系统对外激励和初条件的总响应. 当系统无重特征值时，其特征值、特征向量反映了系统本征运动的基本性质【3山，可以 证明[9，对应于任意阶特征值s的留数矩阵[A]的任一列都与对应阶特征向量之一线性相 关，所以，当系统无重特征值时，任意阶留数矩阵的列与对应阶特征向量均描述了系统对应 阶本征振动的振型， 从式(15)可以看到，系统任意阶特征值的负实部和虚部分别反映系统自由振动对应阶 振动成分的衰减率和振动频率，与特征值是否重特征值无关· 由前面系统特征值问题的讨论知道，对应于重数为k的特征值，当k,≥2时，线性无关 特征向量不是唯一的.而对于确定的系统在确定的初条件下任意阶振动响应是唯一的，因 此，在系统具有重特征值的情况下，对应于重特征值的特征向量不能确切描述系统自由振动 对应阶振动成分的振型， 4算例 一个简单的有粘性阻尼的扭振模型如图1所示.物理参数为J,=J3=J,=;J2=2Jk,=k2=k, =k;C1=C3=C4=C,Cn=2C.分别讨论在初速度0=1/J,=1,2,3,4)条件下系统的扭振响应. 系统扭振徽分方程矩阵形式为：

· · 北 京 科 技 大 学 学 报 孙》 万兴 。 。 》 ·冬兴 ‘ ，‘风，· 旧‘凡，，·冬兴 ，，闪 ‘，，， 对式 两边作 优 逆 变换便可得到 响应在 时间域 中的复数表达式 由于复特征值共辘成 对出现 ， 设系 统有 对相 异复特征值 、 瓦 、 、 瓦 、 … 、 、 瓦 和 五 个 相 异 实 特 征 值 、 几 、 … 、 ， 并 记 作 一 又 。 ， ， 一 ， ， … ， ， ， … ， ， 则系统对外激励 响应和初条件 响应在 时间域 中的实数表 达式分别如式 和式 所示 推导过程从略 、 一 喀 一 ， 。 一 、 ，一 喀 一，。 一 。 ， · ·客、 一 式 中 ， ， ， ” ’ ， 【 、 ， 】分别 为 系 统 传递 函 数 矩 阵在极点 、 处 的 留数 矩 阵 ， ， ‘ · ’ ， “ ， 二 一 属 人 “ ， 。 一 ‘ 。 ’ ’ 一 “ 。 田 ” 一 ‘ ” 一 一 ’ ‘ 。 ， 夕 。 一 又， 。 一 ’ 」’ 各 夕 。 一 “ 。 一 “ ‘ ’ 式 中 ， 。 。 ， 夕 。 【 。 文 。 式 和式 等号右边 之代数和 即 为系 统 对外激励 和初 条件的总响应 当系统无重特布玉值时 ， 其特征值 、 特征 向量反 映 了系统本征 运 动的基本性质 氏民” 可 以 证 明 ， ’ 】 ， 对 应 于 任意 阶特 征 值 的 留 数矩 阵 【 的任一 列都与对应阶特征 向量 之一 线性相 关 所 以 ， 当系 统无重 特征值 时 ， 任意 阶 留数矩 阵的列 与对应 阶特征 向 均描述 了系 统对应 阶本征振动 的振 型 从式 可 以看到 ， 系 统任意 阶特征值 的负实部和虚部分别反 映系 统 自由振动对应 阶 振 动成分 的衰减率 和振动频率 ， 与特征值是 否 重 特征值无 关 由前 面系 统特征值问题 的讨论知道 ， 对应于 重数为 的特征值 ， 当 妻 时 ， 线性 无 关 特征 向量不是 唯一 的 而 对于 确定 的系 统 在 确 定 的 初 条 件 下 任 意 阶振 动 响 应 是 唯 一 的 因 此 ， 在 系统具有 重特征值的情 况 下 ， 对应于 重 特 征值的特征 向量 不能确切 描述 系 统 自由振动 对应 阶振 动成分 的振 型 算例 一个简单的有粘性阻尼 的扭振模型如图 所示 物理参数为 ， ， ， ， 姗州陀在初速度 户 ， 一 ， ， ， 条件下系统的扭振响应 系统扭振微分方程矩 阵形 式 为

黄汉舟等：具有重特征值的阻尼线性系统振动 ·79· C 分 图】扭摄系统横型田 Fig.I Model of torsional vibration system J 000 C 000 k-k 0 0 0 2J 0 0 0 2C00 3k-k -k 00J 0 0c 0 0 -k k 0 日8日 0000 000 0 00C -k0 k 用本文叙述的方法求解如下： 1)系统特征值问题 记ω，=√k小，w,=√2.5k/厅，n=C/2J,1=√-n2,3=√a-n2;按式(4)计算得 实特征值=0和2=-2n,具有正虚部的复特征值为s1=-n+i,(重数为2)和s2=一n+iw; (重数为1)；按式(3)计算得对应于r,和r2的特征向量均为{5}={1111}T,对应于2 的特征向量为{5，}={1-1.511”，对应于重数为2的s,线性无关特征向量有2个，如 {5}={-1010T和{52}=00-11 2)系统各阶留数矩阵 记对应于s,和s,的留数矩阵分别为[A】和A小，对应于I,和的留数矩阵分别为B]和B,按 式(10)计算得： 20-1-1 2-322 [A=- i 0000 -34.5-3-3 6Jw -10 2-1 A=- 30Jw2 2-32 -10-12 2-322 1111 1111 1 1 1111 [B= 1 11 1 10Jn 11 1 1 [B=- 10Jn 1111 1111 1111

黄汉舟等 具有 重特征值的 阻尼线性系统振动 圈 扭报系统棋型圈 瑰 侧目 成 加目 目 ，七 伪扣 叮浦 、 ︵︸ 、 一 、 、 氏 ， ‘ ︺︸ 一 一 一 一 一 ︹ 一 · 尸阵吐 氏 · 氏 · …氏 ， … 、、 尸阵 ， ”氏 ︸”“ ，吸 ︸ “ 」︸百 用本文叙述 的方法求解如下 系 统特征值 问题 记 。 二 了又万 ， ， 涯雨丁 ， 一 脚 ， ， 护环牙 ， 诚二 了忑葬石三 按式 计算得 实特征值 ， 和 众 一 ， 具有正 虚部 的复特征值为 一 十 。 重数为 和 一 城 重数为 按式 计算得 对应于 、 和 几 的 特 征 向量 均 为 氛 ， 对应 于 气 的特 征 向量 为 亡 二 一 ， 对应于 重数为 的 线性 无 关特征 向童有 个 ， 如 七 ，， 一 和 心 一 尸 · 系统各 阶 留数矩 阵 记对应于 ，和 的留数矩 阵分别为 和闪 ， 对应于 ，和 几的留数矩阵分别 为 和 刁 ， 按 式 计算得 ，‘ ︸ 一 尸几眨‘ · 【 】 一 一 ， 】 一 二共， 叭 目，砚月二 ， 尸 ‘ 【 」 ， 一 ，井

·80· 北京科技大学学报 在[A】中第2列为零列，各非零列两两线性无关，但都可用{5和{5}线性表示 在[A]中各列均与{5}线性相关；在[B,】和[B】中，各列均与{}线性相关. 3)系统对初速度的响应 下面我们考察在不同惯量件上存在初速度条件下系统扭振响应·按(15)式，只取扭转 成分{0"，记在{8，}中仅0。，=1/J,其余初速度均为零时系统扭振响应为{8}“，i=1,2,3,4,则得： (0)i=-2A}e-sin@'t-2(Ae-m sinot (0=-2A)2 em sinwit-2(A2)2e-m sint (0)=-2A)3e m sincit-2A:)3 e-m sinoit (16) 0=-2A)e sin@t-2A2)e-m sino't 式中{A},表示矩阵m[A]中的第j列，i=1,2;j=l,2,3,4. 一阶、二阶复特征值$，、$，的实部和虚部分别反映了对应阶振动的振幅衰减率和振动频 率，与特征值是否重特征值无关. 对应于S,的留数矩阵[A]第二列为零列，因而J,上的初速度作用没有激起系统第一阶振 动，J、J、J4上的初速度激起的该阶振动日，恒为零.[A]的各非零列两两互不相关，对应 各惯量件上初速度激起的第一阶振动振型两两互异，对应于s,的留数矩阵[A]各列线性相 关，因此各惯量件上初速度激起的第二阶振动振型均相同， 对应于非重特征值$，的特征向量描述了系统第二阶振动振型，与初速度作用位置无关， 对应于重特征值$，的特征向量{}和{5}各自与[A】中任意非零列线性无关，因此二者 均没有描述第一阶振动振型·但它们的线性组合可以与[A:】中任意非零列线性相关，因而各 惯量件上初速度激起的第一阶振动振型均可由{：}和{}线性组合表示. 本例中系统阻尼为比例阻尼，系统自由振动响应可用固有模态理论求得与式(16)完全 相同的结果，在用固有模态理论求响应时，对应于重特征值出现两个该阶主振动，这是求解 方法上人为地引进的，实际上两个该阶主振动频率和衰减率均为相同，必可合成为一个同频 率、同衰减率的运动量·另一方面，确定的系统在确定的激励下任一阶振动振型只能有一 个，其形态取决于各激励的大小和作用位置·在系统有重特征值情形下，用特征向量来描述 系统自由振动振型是不方便的，用留数矩阵的列才具有确定的意义，有关本文理论在轧钢机 扭振研究中的应用，请看笔者的学位论文)， 5结论 (1)阻尼线性多自由度系统不管是否具有重特征值都可用传递函数法按本文叙述的步骤 进行振动响应求解， (2)欠阻尼系统任意阶特征值的实部和虚部分别反映对应阶振动成分的衰减率和振动频 率，与特征值是否重特征值无关， (3)对应于非重特征值的线性无关特征向量是唯一的，对应阶留数矩阵各列均与它线性 相关，特征向量和留数矩阵的列均描述了系统对应阶振动振型· (4)对应于重特征值的线性无关特征向量不是唯一的，而对应阶留数矩阵是唯一确定 的，它的每一列都与对应阶某个特征向量线性相关.留数矩阵的列描述了对应列号的广义坐 (下转85页)

· 。 北 京 科 技 大 学 学 报 在 【 中第 列 为零 列 ， 各 非 零 列 两 两 线 性 无 关 ， 但 都可 用 氛 和 省 线性 表示 在 【 」中各列 均 与 亡 线性 相 关 在 和 中 ， 各 列 均 与 七 。 线性相 关 系 统对初 速度 的响应 下 面我们考 察在 不 同惯 量 件 上 存 在初 速度 条件下 系 统扭 振 响应 按 式 ， 只取 扭 转 成分 ， 记在 。 中仅 口 。 ， ’ ， 其余初速度均为零时系统扭振响应为 彩 ， 二 ，， ， ， 则得 万， 一 ， 一 ， 。 ’ 一 蔓 一 一 ， 。 一 恤囚林 舀 一 。 一 ‘ 。 一 ， 一 “ ， 。 一 ” ， 田 二 二 一 王 一 ‘ 。 几一 、 一 ” ， 。 玉 一 ‘ 。 飞 式 中麦 表 示 矩 阵 中的第 列 ， ， ， ， ， 一 阶 、 二 阶复特 征值 、 的实部 和 虚 部 分 别 反 映 了 对应 阶 振 动 的振 幅 衰 减 率和 振 动频 率 ， 与特 征值是 否 重 特 征值 无 关 对应于 的 留数矩 阵 【 」第二 列 为零列 ， 因而 上 的初速 度作 用没有激起系 统第 一 阶振 动 ， 、 、 几上 的初 速度激 起 的该 阶振 动 恒 为 零 【 」的 各 非 零 列 两 两互 不 相 关 ， 对应 各惯量 件上初 速 度激起 的 第 一 阶 振 动 振 型 两 两 互 异 对应 于 的 留数矩 阵 各列 线性相 关 ， 因此 各惯 量 件上 初 速度 激起 的第二 阶振 动振 型均相 同 对应 于 非重 特征值 的特征 向量 描述 了 系 统第 二 阶振 动振 型 ， 与 初 速 度 作 用 位 置 无 关 对应于 重 特征值 ， 的特 征 向量 省 和 老 各 自与 中任意非零列线性无关 ， 因此二者 均 没有 描述 第 一 阶振 动振 型 但 它们 的线性 组 合可 以 与 【 中任意非零列线性 相 关 ， 因而 各 惯量 件上 初 速度 激起 的第一 阶振 动振 型 均可 由 心 。 和 代 ， 线性 组 合 表示 本例 中系统阻尼 为 比例 阻尼 ， 系统 自由振 动响应 可 用 固有模态理 论求得 与式 完 全 相 同的结果 在 用 固有模态理 论求 响应 时 ， 对应于 重特 征值 出现 两个 该 阶主振 动 ， 这 是求解 方 法 上 人 为地 引进 的 实 际上 两 个该 阶主振 动频 率和 衰减 率均 为相 同 ， 必 可 合成 为一个 同频 率 、 同衰减 率 的运 动量 另一 方 面 ， 确定 的 系 统在 确 定 的 激 励 下任 一 阶振 动 振 型 只 能 有 一 个 ， 其形 态取 决于 各激 励 的大小 和 作 用 位 置 在 系 统有 重 特 征值情 形 下 ， 用特 征 向量 来描述 系 统 自由振 动振 型是不 方便 的 ， 用 留数矩 阵 的列 才具有 确 定 的意 义 有 关 本 文理论 在 轧钢机 扭 振研究 中的应 用 ， 请看 笔 者 的学位 论 文 【” 结论 阻尼 线性 多 自由度 系 统不 管是 否 具 有重 特征值都可 用传递 函数法 按本 文叙述 的步 骤 进行 振 动 响应求解 欠 阻尼 系 统任意 阶特 征值 的实部 和 虚部分别 反 映 对应 阶振 动成 分 的衰减 率 和振 动 频 率 ， 与特 征值是 否 重 特 征值 无 关 对应于 非 重 特 征值 的线性 无 关 特征 向量 是 唯 一 的 ， 对应 阶 留数矩 阵各 列 均 与它线 性 相 关 特征 向量 和 留数矩 阵 的列 均 描 述 了 系统对应 阶振 动振 型 对应于 重特 征值 的线性 无 关 特 征 向量 不 是 唯 一 的 ， 而 对应 阶 留数 矩 阵是 唯 一 确 定 的 ， 它 的每一列 都 与对应 阶某 个特 征 向量 线性 相 关 留数 矩 阵 的列 描述 了 对应 列号 的广义坐 下 转 页

张清东等：冷轧宽带钢横向内应力分布的实测与计算 ·85· 4理论模型的实验考核 首先对曾实测了内应力的两个试样，再计算其内应力，图2中两条光滑曲线所示就是 取T。=01时的计算结果，两者的分布规律十分吻合，此外还进行了大量的实测试样考核， 都给出了和实测板形状况一致的结果， 5结语 (1)采用小孔松弛法测量了冷轧带钢离线状态下的内应力分布值· (2)在实验基础上建立了新的内应力计算模型，模型简单，精度高，完全可以用于在 线闭环板形控制· 参考文献 1张清东.冷轧带钢在线板形的变形分析：[硕士论文」北京科技大学，1989 2 Nawwar A M,et al.The Measurement of Residual Stress Distribution Due to Edge Dimpling.Experimental Mechanics,1984,9:252~256 (上接80页) 标上干扰激起的系统对应阶振动振型，特征向量则不一定描述系统对应阶振型·但反过来， 系统对应阶振型总与对应阶某个特征向量线性相关· 参考文献 1 Rayleigh L.Theory of Sound.New York:Dover Publications,1945 2 Caughey T K.Classical normal modes in damped linear dynamic systems.J Appl Mech.1960.27 3郑兆昌·多自由度复模态理论的摄动方法（一）一级摄动·见：信号处理在振动工程中应用学术会 议论文，南京，1983 4 Foss K A.Coordinates which uncouple the equation of damped linear dynamic systems.J Appl Mech,1958.25 5张阿舟，朱德懋，阻尼系统的振动分析，见：信号处理在振动工程中应用学术会议论文.南京，1983 6房殿军.复模态理论及其在轧钢机扭振中的应用：【硕士论文」，北京科技大学，1985 7 Fanzy I,Bishop R E D.On the dynamics of linear non-conservation system.In:Proc Roy Soc.Ser A,1976.352 8胡海昌·多自由度线性阻尼系统的振动问题.固体力学学报，1980(1) 9方同.多自由度线性阻尼系统的模态分析法.固体力学学报、1981(3) 10高尔腊伊AR,瓦特桑GA著，唐焕文译，矩阵特征问题的计算方法.上海：上海科学技术出 版社，1980 11韩二中.复模态现象的实质.见：信号处理在工程中应用学术会议论文·南京，1983 12黄汉舟.机械振动分析方法与轧钢机扭振的研究：[硕士论文】.北京科技大学，1986

张 清东等 冷 轧宽带钢 横 向 内应 力 分布 的 实 测 与计算 · · 理论模型 的实验考核 首先 对曾实测 了 内应力 的 两 个 试 样 ， 再 计 算 其 内 应 力 图 中两 条 光 滑 曲线 所 示 就 是 取 二 时的计算结果 两者 的分 布规律 十分 吻 合 此 外 还 进 行 了 大 量 的 实 测 试 样 考 核 ， 都给 出了和实测 板形状 况一致 的结果 结语 采 用小 孔 松 弛法 测量 了冷轧带钢离 线状态下 的 内应力分 布 值 在 实验基 础上建 立 了新 的 内应力计算模 型 ， 模 型 简单 ， 精 度高 ， 完全 可 以 用 于 在 线闭环板形控制 参 考 文 献 张清东 冷轧带钢在 线板形 的变形 分析 【硕士论文 北 京科技大 学 ， 叭用转 ， 刀犯 邸 切民 笼泊 回 亡弱 抽画汤 ， 斜 ， 一 卜 卜今卜今卜今卜今卜喇卜喇卜 令卜 叫 洲冲洲 扣 屹冷峨砖 加 嘱 补令卜 侧械加叫共 知 州和卜 “ 扣卜 拭卜吠玲《 卜 械 卜 令补 械 》 吠玲 侧材 ， 侧 羚今卜 碱羚 树 上 接 页 标上 干扰激起 的系 统对应 阶振 动振 型 ， 特征 向量 则不 一定 描 述 系统 对 应 阶振 型 但 反 过 来 ， 系 统对应 阶振 型总 与对应 阶某个特征 向量 线性相 关 参 考 文 献 吵 厂 长幻 】 〕二 ， 油阴 砚 刃。 户幻 习 ” 祖 刀 姿 ‘ ， 〕 ， 郑兆 昌 多 自由度复模 态理 论 的摄 动方 法 一 一级摄 动 见 信 号 处 理 在 振 动 工 程 中应 用 学 术 会 议论 文 南京 ， 。 洛 。 川丘以比 叩 叫 团详劝 已灯 卵 刃 ” 掀比巧 ， ， 张阿舟 ， 朱德悬 阻 尼 系 统的振 动分析 见 信号处理在 振 动工 程 中应 用 学术 会议论文 南 京 ， 房殿军 复模态理论及 其在 轧钢机扭振 中的应 用 硕士 论文 北京科 技大 学 ， 朗卿 ， ‘比 此 印刊。 巴 一 ” ， ， 胡海 昌 多 自由度线性 阻尼 系统 的振动问题 固体力学学报 ， 方 同 多 自由度线性 阻尼 系 统的模态分析法 固体力学学 报 ， 高尔腊伊 ， 瓦 特桑 著 ， 唐焕 文译 矩 阵特 征 问题 的计算方 法 上 海 上 海 科 学 技 术 出 版社 ， 韩二 中 复模态现 象的 实质 见 信号处理 在工 程 中应 用 学术 会议论 文 南京 ， 黄汉 舟 机械振 动分析方法 与轧钢机扭振 的研究 【硕 士 论文 北 京科技 大学