D0I:10.13374/1.issnl00103.2008.04.048 第30卷第4期 北京科技大学学报 Vol.30 No.4 2008年4月 Journal of University of Science and Technology Beijing Apr.2008 带有状态时滞的多采样率线性离散时间系统的最优预 见控制器设计 廖福成12) 刘贺平) 1)北京科技大学应用科学学院，北京1000832)北京科技大学信息工程学院，北京100083 摘要研究了一类具有状态时滞的多采样率离散时间控制系统，对这类系统给出了一种最优预见控制器的设计方法，首先 利用离散时间系统提升技术，把所研究的系统转化成单一采样的扩大系统：然后利用构造扩大误差系统的方法引入积分器： 再对扩大误差系统应用通常的线性二次型最优预见伺服系统设计方法设计控制器，从而得到原系统的最优预见控制器.·同时 还对扩大误差系统的能控性和能观测性进行了讨论，并通过数值仿真说明了控制器的有效性 关键词预见控制：多采样率数字控制系统；离散提升技术：代数Riccati方程：伺服系统：时滞系统 分类号TP273 Design of an optimal preview controller for a kind of discrete-time system with time-delay LIAO Fucheng2).LIU Heping2) 1)School of Applied Science.University of Science and Technology Beijing.Beijing 100083.China 2)School of Information Engineering.University of Science and Technology Beijing.Beijing 100083,China ABSTRACT A kind of linear discrete"time system with state time-delay and multirate control setting was studied.By using the methods of lifting technique,difference operator and state vector augmentation.the state equation was changed to another equation with no time-delay.And the multirate preview control problem was reduced to the singlerate one which includes an integrator.The desired preview controller was obtained by the standard linear quadratic (LQ)optimal preview control theory.The applicability of the present results was verified by a numerical example. KEY WORDS preview control:multirate digital control system:discrete-time lifting technique:algebraic Riccati equation:ser- vomechanism:time-delay system 预见控制是充分利用已知的未来目标值信号或 统9]，对这类系统，如果设计出适合多采样率特 未来干扰信号的信息来改善闭环系统品质的控制技 点的控制器，它应该比单一采样的控制器有更好的 术.预见控制理论从提出至今已有40多年，40多 性质，例如，它应该能提供巧妙地处理控制输入的 年来，人们在这方面已做了大量的研究，其中带有预 更大自由度2] 见补偿的线性二次型(linear quadratic,LQ)最优控 以往关于预见控制的研究都是针对单采样率数 制问题被研究得尤为深刻.近年来，预见控制 字控制系统的8.，1).文献[12-13]考虑了多采样 系统的鲁棒性问题又受到了学术界的重视[]. 率系统的预见控制问题，文献[12]的系统考虑了输 在离散时间控制系统中，如果系统是多输入多 入通道的时滞，文献[13]考虑了无时滯系统，本文 输出的，而输入通道和输出通道的采样器和保持器 则考虑有状态时滞的系统的最优预见控制问题，这 又具有不同的采样周期，系统就是多重采样系 比无时滞系统和输入通道有时滞的系统要复杂得 收稿日期：2007-02-27修回日期：2007-04-20 多叫.本文仍然采用离散提升技术2可，把所考 基金项目：国家自然科学基金资助项目(N。-10671011) 虑的多采样率系统转化为状态向量维数较高的一个 作者简介：廖福成(1957一)，男，教授，博士， 形式上的单采样率系统，然后利用构造扩大误差系 E-mail:fcliao@sas-ustb.edu-cn 统的方法把问题转化为传统的预见控制问题，最
带有状态时滞的多采样率线性离散时间系统的最优预 见控制器设计 廖福成12） 刘贺平2） 1） 北京科技大学应用科学学院北京100083 2） 北京科技大学信息工程学院北京100083 摘 要 研究了一类具有状态时滞的多采样率离散时间控制系统对这类系统给出了一种最优预见控制器的设计方法．首先 利用离散时间系统提升技术把所研究的系统转化成单一采样的扩大系统；然后利用构造扩大误差系统的方法引入积分器； 再对扩大误差系统应用通常的线性二次型最优预见伺服系统设计方法设计控制器从而得到原系统的最优预见控制器．同时 还对扩大误差系统的能控性和能观测性进行了讨论并通过数值仿真说明了控制器的有效性． 关键词 预见控制；多采样率数字控制系统；离散提升技术；代数 Riccati 方程；伺服系统；时滞系统 分类号 TP273 Design of an optimal preview controller for a kind of discrete-time system with time-delay LIA O Fucheng 12）LIU Heping 2） 1） School of Applied ScienceUniversity of Science and Technology BeijingBeijing100083China 2） School of Information EngineeringUniversity of Science and Technology BeijingBeijing100083China ABSTRACT A kind of linear discrete-time system with state time-delay and multirate control setting was studied．By using the methods of lifting techniquedifference operator and state vector augmentationthe state equation was changed to another equation with no time-delay．And the multirate preview control problem was reduced to the single-rate one which includes an integrator．T he desired preview controller was obtained by the standard linear quadratic （LQ） optimal preview control theory．T he applicability of the present results was verified by a numerical example． KEY WORDS preview control；multirate digital control system；discrete-time lifting technique；algebraic Riccati equation；servomechanism；time-delay system 收稿日期：2007-02-27 修回日期：2007-04-20 基金项目：国家自然科学基金资助项目（No．10671011） 作者简介：廖福成（1957—）男教授博士 E-mail：fcliao＠sas．ustb．edu．cn 预见控制是充分利用已知的未来目标值信号或 未来干扰信号的信息来改善闭环系统品质的控制技 术．预见控制理论从提出至今已有40多年．40多 年来人们在这方面已做了大量的研究其中带有预 见补偿的线性二次型（linear quadraticLQ）最优控 制问题被研究得尤为深刻［1—6］．近年来预见控制 系统的鲁棒性问题又受到了学术界的重视［7—8］． 在离散时间控制系统中如果系统是多输入多 输出的而输入通道和输出通道的采样器和保持器 又具有不同的采样周期系统就是多重采样系 统［9—12］．对这类系统如果设计出适合多采样率特 点的控制器它应该比单一采样的控制器有更好的 性质．例如它应该能提供巧妙地处理控制输入的 更大自由度［12］． 以往关于预见控制的研究都是针对单采样率数 字控制系统的［1—812］．文献［12—13］考虑了多采样 率系统的预见控制问题．文献［12］的系统考虑了输 入通道的时滞文献［13］考虑了无时滞系统．本文 则考虑有状态时滞的系统的最优预见控制问题这 比无时滞系统和输入通道有时滞的系统要复杂得 多［14］．本文仍然采用离散提升技术［12—15］把所考 虑的多采样率系统转化为状态向量维数较高的一个 形式上的单采样率系统然后利用构造扩大误差系 统的方法把问题转化为传统的预见控制问题．最 第30卷 第4期 2008年 4月 北 京 科 技 大 学 学 报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol．30No．4 Apr．2008 DOI:10．13374／j．issn1001－053x．2008．04．048
第4期 摩福成等：带有状态时滞的多采样率线性离散时间系统的最优预见控制器设计 .453. 后，利用预见控制理论的结果得到带有预见前馈补 Bu(2i+1)=Ax(2i+1)+A1x(2(i-1)+ 偿的控制器 1)+Bu(2i+1)=A[Ax(2i)+A1x(2(i-1)+ 1问题表述及假设 Bu(2i)]+A[Ax(2(i-1)+A1x(2(i-2)+ Bu(2(i-1)]+Bu(2i+1)=[A2x(2i)+ 考虑具有状态时滯的线性离散时间系统： (AA1+A1A)x(2(-1))+Aix(2(-2)]+ x(k+1)=Ax(k)+A1x(k-)+B()(L) [Bu(2i+1)+ABu(2i)+A1Bu(2(i-1)], y(k)=Cx(k)+Du(k) 即 其中，x(k)∈R”是状态向量，y(k)∈RP是输出向 x(2(+1)=[A2AA1十A1AA]· 量，u(k)∈Rm是输入向量，A、A1、B、C和D是具 x(2i) 有相应维数的实常数矩阵，整数N表示系统状态在 x(2(i-1)) +[AB u(2i) 状态通道中的时滞.在上面的第2个方程中，输入 x(2(i-2)》 Lu(2i+1) 通过系数矩阵直接作用于系统的输出. A1Bu(2(1) (2) 下面是本文的两个假设： 记 假设1x(k)和y(k)仅在k=N(i=0,1,2, x(2i) …)时能被检测. x(2(i-1) 假设2设目标信号R(k)有NL步可预见，即 X(i)=x(2(-2) ,U(i)= u(2i)1 在每个时刻k,R(k十1)，R(k十2)，…，R(k十NL) u(2i+1) u(2(i-1) 为已知.采用预见控制中常用的手法，从N步之 u(2(i-2) 后认为它是常数，即R(k十j)=R(k十N) 则式(2)可表示为： =N十1，N+2,.假设N=NS,这里S为非 Xo(i+1)=AoXo(i)+BoU(i) (3) 负整数， 其中， 为了不至于推导太复杂，本文只考虑N=2的 A2 AA+AA A AiB 0 情形.这时系统(1)成为 0 0 0 x(k+1)=Ax(k)+A1(k一2)+B()() 0 A0= 0 1 0 0 0, y(k)=Cx(k)+Du(k) 0 0 0 0 而假设1变为： 0 0 I 假设1'x(k)和y(k)仅在k=2i(i=0,1,2, AB B …)时能被检测 0 0 目标信号与系统输出之间的差值定义为系统的 B0= 0 0 误差： 0 e(k)=R(k)一y(k), 00 本文的目的是设计出一个带有预见补偿的控制 再由上面的推导及系统(1)的第2式得到： 器，使得系统的输出y(k)能够跟踪目标值信号 y(2i)=Cx(2i)+Du(2i), R(k),即使 y(2i+1)=Cx(2i+1)+Du(2i+1)= lime(k)=lim(R()-y(k))=0. CAx(2i)+CAix(2(i-1))+CBu(2i)+Du(2i+1), 2扩大误差系统的导出 即有： y(2i)1 C 0000 将多采样率预见控制问题转化为单一采样间隔 Ly(2+1)y CA1000 的预见控制问题，然后将系统(1)转化为一个扩大 x(2i) 误差系统， x(2(i-1) 2.1多采样率系统的离散提升 D 0「 x(2(i-2) u(2i) 在(1')中令k=2i及k=2i+1得到： L CB DLu(2i+1) u(2(i-1) x(2i+1)=Ar(2i)+A1x(2(i-1)+Bu(2i) u(2(i-2))y x(2i+2)=Ax(2i+1)+A1x(2i+1)-2)+ 记
后利用预见控制理论的结果得到带有预见前馈补 偿的控制器． 1 问题表述及假设 考虑具有状态时滞的线性离散时间系统： x（ k＋1）＝ Ax（ k）＋ A1x（ k— N）＋Bu（ k） y（ k）＝Cx（ k）＋ Du（ k） （1） 其中x（ k）∈R n 是状态向量y（ k）∈R p 是输出向 量u（ k）∈R m 是输入向量A、A1、B、C 和 D 是具 有相应维数的实常数矩阵整数 N 表示系统状态在 状态通道中的时滞．在上面的第2个方程中输入 通过系数矩阵直接作用于系统的输出． 下面是本文的两个假设： 假设1 x（ k）和 y（ k）仅在 k＝ iN（ i＝012 …） 时能被检测． 假设2 设目标信号 R（ k）有 NL 步可预见即 在每个时刻 kR（ k＋1）R（ k＋2）…R（ k＋ NL） 为已知．采用预见控制中常用的手法从 NL 步之 后认为它是常数即 R （ k ＋ j ） ＝ R （ k ＋ NL ） j＝ NL＋1NL＋2…．假设 NL＝ NS这里 S 为非 负整数． 为了不至于推导太复杂本文只考虑 N＝2的 情形．这时系统（1）成为 x（ k＋1）＝ Ax（ k）＋ A1x（ k—2）＋Bu（ k） y（ k）＝Cx（ k）＋ Du（ k） （1′） 而假设1变为： 假设1′ x（ k）和 y（ k）仅在 k＝2i（ i＝012 …）时能被检测． 目标信号与系统输出之间的差值定义为系统的 误差： e（ k）＝ R（ k）—y（ k）． 本文的目的是设计出一个带有预见补偿的控制 器使得系统的输出 y （ k）能够跟踪目标值信号 R（ k）即使 limk→∞ e（ k）＝limk→∞ （ R（ k）—y（ k））＝0． 2 扩大误差系统的导出 将多采样率预见控制问题转化为单一采样间隔 的预见控制问题然后将系统（1）转化为一个扩大 误差系统． 2∙1 多采样率系统的离散提升 在（1′）中令 k＝2i 及 k＝2i＋1得到： x（2i＋1）＝ Ax（2i）＋ A1x（2（ i—1））＋Bu（2i） x（2i＋2）＝ Ax（2i＋1）＋ A1x（（2i＋1）—2）＋ Bu（2i＋1）＝ Ax（2i＋1）＋ A1x（2（ i—1）＋ 1）＋Bu（2i＋1）＝ A［ Ax（2i）＋ A1x（2（ i—1））＋ Bu（2i）］＋ A1［ Ax（2（ i—1））＋ A1x（2（ i—2））＋ Bu（2（ i—1））］＋Bu（2i＋1）＝［ A 2 x（2i）＋ （ AA1＋ A1A） x（2（ i—1））＋ A 2 1x（2（ i—2））］＋ ［ Bu（2i＋1）＋ ABu（2i）＋ A1Bu（2（ i—1））］ 即 x（2（ i＋1））＝［ A 2 AA1＋ A1A A 2 1］· x（2i） x（2（ i—1）） x（2（ i—2）） ＋［ AB B］ u（2i） u（2i＋1） ＋ A1Bu（2（ i—1）） （2） 记 X0（ i）＝ x（2i） x（2（ i—1）） x（2（ i—2）） u（2（ i—1）） u（2（ i—2）） U（ i）＝ u（2i） u（2i＋1） 则式（2）可表示为： X0（ i＋1）＝ A0X0（ i）＋B0U（ i） （3） 其中 A0＝ A 2 AA1＋ A1A A 2 1 A1B 0 I 0 0 0 0 0 I 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 I 0 B0＝ AB B 0 0 0 0 I 0 0 0 ． 再由上面的推导及系统（1）的第2式得到： y（2i）＝Cx（2i）＋ Du（2i） y（2i＋1）＝Cx（2i＋1）＋ Du（2i＋1）＝ CAx（2i）＋CA1x（2（i—1））＋CBu（2i）＋Du（2i＋1） 即有： y（2i） y（2i＋1） ＝ C 0 0 0 0 CA CA1 0 0 0 · x（2i） x（2（ i—1）） x（2（ i—2）） u（2（ i—1）） u（2（ i—2）） ＋ D 0 CB D u（2i） u（2i＋1） ． 记 第4期 廖福成等： 带有状态时滞的多采样率线性离散时间系统的最优预见控制器设计 ·453·
.454 北京科技大学学报 第30卷 Y(i)= y(2i) E()=[0]X(i), y(2i+1)y 即 上式写为： X(i+1)=ΦX(i)+GAU(i)+Gm△R(i) Y(i)=CoXo(i)十DoU(i) (4) E(i)=[0]x(i) 其中， C0000 (10) Co-CA CAI 00 0D-CB 0 系统(10)即为导出的扩大误差系统，它在形式上既 D 没有时滞，又没有多采样率特征 由式（③）和(4)得到新的系统： 利用系统(10)的状态向量，性能指标函数(8)可 Xo(i+1)=AoXo(i)+BoU(i) (5) 改写为： Y(i)=CoXo(i)+DoU(i) 记 J=[(i)0()+△U()Hau()] R(i)= R(2i)1 (11) R(2i+1) 其中， 则系统的误差为： 0 0 E()=R(i)-Y(i) (6) 00Q 至此，已得到了形式上没有时滞且没有扰动的系统， 2.2导出扩大误差系统 问题现在变为：设计使性能指标函数(11)取最 取如下差分算子： 小值的系统(10)的最优控制器，再给出系统(1)的带 △x(k)=x(k+1)一x(k) 预见前馈补偿的控制器，假设2表明R()(从而 系统(5)的状态方程和输出方程两边分别取差分 △R(i))的预见步数为S, 得到： 3控制器的设计 △Xo(i+1)=Ao△Xo(i)十Bo△U(i) (7) △Y(i)=Co△Xo(i)+D△U(i) 由预见控制理论可知，若[ΦG]可镇定且 [Q1/2 Φ]可检测，则系统(10)的带有预见前馈补 对系统(7)，引入下面的二次型： 偿的最优控制输入为： =2 [E'()OEE()+△Ur()HAU(] =0 △U(i)=Fx(i)+ 宫r()aa+)吗 (8) 作为性能指标函数.其中，Q为(2p)X(2p)正定 其中， 矩阵，H为(2m)X(2m)正定矩阵. F=-[H+GPB]-1GPΦ 同样地，对式(6)两边取差分有： FR(j)=-[H+G PG]GT ()PGR. △E(i)=△R(i)-△Y(i)= j=0,1,2,…,S, △R(i)-Co△Xo(i)-DnAU(i) S=Φ+GF. 注意到△E(i)=E(i+1)一E(i),代入上式得： P是代数Riccati方程 E(i+1)=E(i)-Co△Xo(i)-D△U(i)十△R(i) P=Q+ΦpΦ-DPG[H+GPG]-1Gp④ (9) 的唯一对称半正定解 综合系统(7)的第1式和式(9)得到： 将F、FR(j)分解如下： X(i+1)=Φx(i)+GAU(i)+GR△R(i), F(O (j) F 其中，(i)= △Xo(i) ,Φ A00 F(i FR(j)= (j) E(i) L-Co 注意到 Bo G一DN GR= U(i)=U(i-1)+△U(i-1), u(2i) 观测方程取为： U(i)= (2i+1)y
Y（ i）＝ y（2i） y（2i＋1） 上式写为： Y（ i）＝C0X0（ i）＋ D0U（ i） （4） 其中 C0＝ C 0 0 0 0 CA CA1 0 0 0 D0＝ D 0 CB D 由式（3）和（4）得到新的系统： X0（ i＋1）＝ A0X0（ i）＋B0U（ i） Y（ i）＝C0X0（ i）＋ D0U（ i） （5） 记 R ～ （ i）＝ R（2i） R（2i＋1） 则系统的误差为： E（ i）＝ R ～ （ i）—Y（ i） （6） 至此已得到了形式上没有时滞且没有扰动的系统． 2∙2 导出扩大误差系统 取如下差分算子： Δx（ k）＝x（ k＋1）—x（ k） 系统（5）的状态方程和输出方程两边分别取差分 得到： ΔX0（ i＋1）＝ A0ΔX0（ i）＋B0ΔU（ i） ΔY（ i）＝C0ΔX0（ i）＋ D0ΔU（ i） （7） 对系统（7）引入下面的二次型： J＝ ∑ ∞ i＝0 ［ E T （ i） QE E（ i）＋ΔU T （ i） HΔU（ i）］ （8） 作为性能指标函数．其中QE 为（2p）×（2p）正定 矩阵H 为（2m）×（2m）正定矩阵． 同样地对式（6）两边取差分有： ΔE（ i）＝ΔR ～ （ i）—ΔY（ i）＝ ΔR ～ （ i）—C0ΔX0（ i）— D0ΔU（ i） 注意到ΔE（ i）＝ E（ i＋1）— E（ i）代入上式得： E（ i＋1）＝ E（ i）—C0ΔX0（ i）— D0ΔU（ i）＋ΔR（ i） （9） 综合系统（7）的第1式和式（9）得到： X ～ （ i＋1）＝ΦX ～ （ i）＋ GΔU（ i）＋ GRΔR ～ （ i） 其中 X ～ （ i）＝ ΔX0（ i） E（ i） Φ＝ A0 0 —C0 I G＝ B0 — D0 GR＝ 0 I ． 观测方程取为： E（ i）＝［0 I］ X ～ （ i） 即 X ～ （ i＋1）＝ΦX ～ （ i）＋ GΔU（ i）＋ GRΔR ～ （ i） E（ i）＝［0 I］ X ～ （ i） （10） 系统（10）即为导出的扩大误差系统它在形式上既 没有时滞又没有多采样率特征． 利用系统（10）的状态向量性能指标函数（8）可 改写为： J＝ ∑ ∞ i＝0 ［ X ～ T （ i） Q X ～ （ i）＋ΔU T （ i） HΔU（ i）］ （11） 其中 Q＝ 0 0 0 QE ． 问题现在变为：设计使性能指标函数（11）取最 小值的系统（10）的最优控制器再给出系统（1）的带 预见前馈补偿的控制器．假设2表明 R ～ （ i）（从而 ΔR ～ （ i））的预见步数为 S． 3 控制器的设计 由预见控制理论可知若 ［ Φ G］ 可镇定且 ［ Q 1／2 Φ］可检测则系统（10）的带有预见前馈补 偿的最优控制输入为： ΔU（ i）＝F X ～ （ i）＋ ∑ S j＝0 FR（ j）ΔR ～ （ i＋ j） （12） 其中 F＝—［ H＋ G T PB］ —1G T PΦ FR（ j）＝—［ H＋ G T PG］ —1G T （ξ T ） jPGR j＝012…S ξ＝Φ＋ GF． P 是代数 Riccati 方程 P＝ Q＋ΦT PΦ—ΦT PG［ H＋ G T PG］ —1G T PΦ 的唯一对称半正定解． 将 F、FR（ j）分解如下： F＝ F （0） F （1） FR（ j）＝ F （0） R （ j） F （1） R （ j） ． 注意到 U（ i）＝U（ i—1）＋ΔU（ i—1） U（ i）＝ u（2i） u（2i＋1） ·454· 北 京 科 技 大 学 学 报 第30卷
第4期 摩福成等：带有状态时滞的多采样率线性离散时间系统的最优预见控制器设计 455. 则由式(12)，最优控制输入可以表示为： R(i)-CoXo(i)-DoU(i). u(2i)1「u(2i-2)1.「Fo)1 u(2i+1) Lu(2i-1(-1)+ 因此可得到以下定理，这是本文的主要结果 定理1若[0G]可镇定且[Q2Φ]可检 〔F9)R(i-1+D (13) 测，则系统(1')的最优控制输入为： 再将Fo)、F)作如下分解： i++j2)+()+ F(0)= F'△u(2(i-2)+F'△u(2(i-3)+ [FF FFFF F] F)= F出e(2i-2)+F☒e(2i-1)+ [F理F:FF出：F田 F]. 会Pk)aR-1+=0.1 由 △x(2i) 其中，F)、F)、F)、FY和F如前面所定义. △x(2(i-1) 定理1中最优拉制输入的最后一项三F收() X(i)= 「△Xo(i)1 △x(2(i-2) E(i) △u(2(i-1) △R(i-1+k)就是预见前馈补偿项 △u(2(i-2) 4控制器存在的条件 E() 及式(13)，得原系统的递推形式的最优输入为： 定理1成立的条件是[ΦG]可镇定且 [Q2Φ]可检测，本节给出[ΦG]可镇定和 u2:)=u2i-1)+2Far2i-s+ [Q2①]可检测的条件.利用PBH判别法进行 讨论. F9△u(2(i-2)+F8△u(2(i-3)+ PBH判别法2,16]：对于两个行数相同的矩阵A Fe(2i-2)+F9e(2i-1)+ 和B,(AB)能控的充要条件是对于任意的复数 会Gai-1+ 5,矩阵[sl-AB]行满秩；对于两个列数相同的 矩阵A和C,(CA)能观测的充要条件是对于任 u(2i+1)=u2i-1)+2F△r(2i-)+ 意致数，矩阵”CA] 列满秩 对于两个行数相同的矩阵A和B,(AB)可 F△u(2(i-2)+F8△u(2(i-3)+ 镇定的充要条件是对于任意满足|s|≥1的复数，矩 F}e(2i-2)+Fe(2i-1)+ 阵[sI-AB]行满秩；对于两个列数相同的矩阵 A和C,(CA)可检测的充要条件是对于任意满 会GaRi-1+. 足|s≥1复数5，矩阵 s-A, 列满秩 其中，e(k)=R(k)-y(k)由下式计算： 注意有： E(i)= e2)]=[R(2）-2) 1 「C 00001 「D01 Le(2i+1)JR(2i+1)-y2i+)J= Co=LCA CA:0 00 D0= LCBD」 A'AA:+AA A AB 00 07 AB I 0 0 0000 0 0 0 I 0 0000 0 0 A 07 B01 0 0 0 0000,G= 0 L-Co L-DoJ 0 0 0 000 0 0 -C 0 0 0 0I.0 -CD 0 -CA 0 0001J -CB -D
第 4 期 廖 福 成 等 ： 带 有 状 态 时 滞 的 多 采 样 率 线 性 离 散 时 间 系 统 的 最 优 预 见 控 制 器 设 计 · 4 5 5 ·
456 北京科技大学学报 第30卷 4.1(DG)的能控性 由Φ和G的表达式，经计算得到： [Φ-sG] 「Ao-sI 0 L-Co (1-s)1 A2-sI AA+AA 0 0 0 AB B I -sI 0 0 0 0 0 0 0 I -sI 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -sI 0 0 0 0 0 -sI 0 0 0 0 -C 0 0 0 0 (1-s)I 0 -D 0 -CA -CA1 0 0 0 0 (1-s)I-CB -D 作初等变换得到： A2-sI AA+A1A 0 0 0 AB B 0 -52I0 0 0 0 0 0 0 I 0 0 0 0 0 [Φ-slG]→ 0 0 0-sl0 0 0 8 0 0 0 -sI 0 0 -C 0 0 0 0 (1-s)I 0 -D 0 -CA -CA1 00 0 0 (1-s)I CB -D A2-sI AA:+AAA+s2A2-sI+s(AA+AA)AB 0 0 0 AB B 。 I 0 0 0 0 0 0 0 0 0 I 0 00 0 0 0 0 0 0 -sI 0 0 0 0 0 0 0 I -sI 0 0 0 0 -C 0 -52C 0 0(1-s)1 -D0 -CA -CA1 -sC(A1+sA) 0 0 0 (1-s)I-CB-D A2-sI AA1+A1A(A+sA)2-s3IAB 0 0 0 AB B I 0 0 0 0 0 0 0 0 0 I 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -sI0 0 0 0 0 0 0 -sI 0 0 0 0 -C 0 -52C 0 0 (1-s)I 0 -D 0 -CA -CA -sC(A1+sA) 0 0 0 (1-s)1 -CB-D
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第4期 摩福成等：带有状态时滞的多采样率线性离散时间系统的最优预见控制器设计 .457. A2-sI AA+AA(A1+sA)2-s3I(A+sA)B 0 0 AB B 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 I 0 0 0 0 I -sl 0 0 0 -C 0 -s2c -sD 0 (1-s)1 0 -D 0 -CA -CA -sC(A1+sA) -sCB 0 0 (1-s)I -CB-D A2-sI AA+AA(A+sA)2-s3I(A1+sA)Bs(A+sA)B 0 AB B I 0 0 0 0 0 0 0 0 8 ◆ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 I 0 0 0 0 I 0 0 0 00 -C 0 -s2C -sD -s2D (1-s)1 -D0 -CA -CA -sC(A1+sA) -sCB -s2CB 0 (1-s)I-CB-D 00(A+sA)2-sI0s(A1+sA)B 0 0B I0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 0 00 00 0 0 0 0 10 00 0 I 0 0 0 00 0 0 -s2C 0 -s2D (1-s)I 0 00 0 0 -sC(A1+sA)0 -s2CB 0 (1-s)I 0-D 4 (A1+sA)2-33Is(A1+sA)B 0 0 山 -s2C -s2D (1-s)10 0 -sC(A1+sA) -s2CB 0 (1-s)I-D 由于初等变换不改变矩阵的秩，所以[Φ-G] (A1+A)2-31s(A1+A)B 0 0 行满秩的充分必要条件是矩阵 -2c -2D(1-s)1 0 0 (A1+M)2-3I(A1+M)B0 0 L-sC(A1+sA)-s2CB 0 (1-s1-D -2C -s2D(1-1 0 0 行满秩，则（ΦG)是完全能控的（可镇定的） L-C(A1+sA)-2CB 0 (1-3)I-D] 特别地，当s=0时，定理2中的条件成为矩阵 行满秩.于是得到下面定理 [A?B]行满秩；当s=1时，定理2中条件成为矩阵 定理2若对任何复数s(满足|s|≥1的复数 (A+A)2-I(A+A)BB s),矩阵 C D 0 C(A:+A) CB D
第 4 期 廖 福 成 等 ： 带 有 状 态 时 滞 的 多 采 样 率 线 性 离 散 时 间 系 统 的 最 优 预 见 控 制 器 设 计 · 4 5 7 ·
.458 北京科技大学学报 第30卷 行满秩.从定理2立即得到下面推论， A2-sI AA1+A1A A AB 0 推论1若对任何复数s(满足|s|≥1的复数 I 0 0 0 s),矩阵[(A1+sA)2-s3Is(A1+sA)BB]行 0 -sI 0 0 满秩，并且 (A1+A)2-I（A1+A)BB 0 0 0 -sI 0 C D 0 0 0 0 1 -sI C(A1+A) CB C 0 0 0 0 行满秩，则（ΦG)是完全能控的（可镇定的） CA CA 0 0 0 4.2（Q2D)的能观测性 作初等变换得到 Φ-sl1 按照PBH判别法，要找使矩阵 列满秩 的条件 引理1(Q2Φ)可检测（可观测）的充分必 A2-sI AA1+AA (A1+sA)2-sIAB0 要条件是(C。A)可检测（可观测） 0 0 00 证明：注意到 0 0 00 「Ao-sI 0 0 0 :-sI0 Co (1-s)I 0 0 0 I-sI 0 0 C 0 s2C 0 0 0 Qv2 CA CA1 sC(A1+sA) 00 因为Q2>0,对其作初等变换得到 A2-sI AA+A1A(A+sA)2-s3IAB0 Ao-sI 01 0 0 00 「Φ-sI1 -Co 0 0 I 0 00 0 0 0 0 0 0-21 0 Q12 0 0 0 IsI 0 Ao-sI Ao-sI 0 C 0 sc 00 -Co 0 Co 0 CA CA1 C(A1+sA)00 0 0 A2-sI AA1+AA (A+sA)2-sIABsA B 0 0 0 所以[Q2 Φ]列满秩的充分必要条件是 I 0 0 00 Ao-sI7 0 0 00 列满秩.再由PBH判别法即得引理的结 L Co 0 0 0-s21 论. 0 0 0 10 引理2(C。Ao)可检测的充分必要条件是 C 0 sc 00 对任何满足|s|≥1的复数s,矩阵 CA CA sC(A1+4) 00 「(A1+sA)2-s3I C 0 0 (A1+sA)2-s310 sAB C(AI+sA) 10 0 0 0 列满秩 0I 0 0 0 证明：注意到 00 0 0-s21 Ao-sI7 00 0 0 0 0 s2C 0 0 0 sC(A1+sA)00
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第4期 摩福成等：带有状态时滞的多采样率线性离散时间系统的最优预见控制器设计 .459. 5数值仿真 考虑离散时间系统： (A1+sA)2-53I SAB x(k+1)= 1.00.21 0.10.9r()+ 0 -521 0.101 ,「1.01 sc 0 00.1J-2)+1.2( sC(A1+sA) 0 y(k)=[0.30.4]x(k)+u(k) 注意这时各系数矩阵为： Ao-sI7 所以 列满秩的充要条件是 「1.00.21 A= 「0.101 L Co 0.10.95A1-00.1小 (A1+sA)2-33I sA1B 「1.01 B= 0 521 1.2c=[0.30.41,D=1. Ψ= 52C 0 取预见步数N1=20(S=10),采样周期取为0.1s, sC(A1+sA) 0 现设计有多采样率设置的最优预见控制器.取权重 矩阵为 列满秩，由于最后这个矩阵平对5=0不可能列满 T10000 0 秩，所以退一步给出(C。A0)可检测的条件.因为 2。=10012×2和H= 0 100000J' 当|s≥1时有 初始条件取为 「(A1+sA)2-S3IsA1B1 「01 x(0)= LoJ' 0 I 里→ 目标值信号取为： s2C /5,t≥20 L sC(A1+sA) R(t)= 0,t<20 T(A1+sA)2-s3I0] 0 图1给出了采用多重采样控制器时预见步数为 0 (A1+sA)2-s3I 0和16(S=8)的闭环系统输出响应，虚线给出的是 C 0 0 C 目标值信号，从图中容易看出多重采样预见控制器 C(A1+sA) C(A1+sA) 的有效性.图2给出了预见步数为8(S=4)和 16(S=8)的闭环系统输出响应，从图可看出预见 [(A1+5A)2-53I 步数增加时预见效果变得明显 所以平列满秩当且仅当 C 列满 5.0 C(A1+sA) 4.0 秩.于是得到引理2 结合引理1和引理2，得到如下定理. 3.0 定理3若对任何满足|s≥1的复数，矩阵 2.0 一S-0,输出y 「(A1+sA)2-s3I --S-8,输出y -一目标(0 1.0 C(A1+sA) 0 列满秩，则(Q/2Φ)是可检测的. 19 21 23252729 s 注意，特别地，必须 图1采用多重采样控制器的闭环系统输出响应 T(A1+A)2-I Fig.1 Closed-loop responses with a multirate controller C(A1+A) 但事实上，本文结果适合于△R(k)只在有限 个时刻非零的目标值信号.例如，取 列满秩
第 4 期 廖 福 成 等 ： 带 有 状 态 时 滞 的 多 采 样 率 线 性 离 散 时 间 系 统 的 最 优 预 见 控 制 器 设 计 · 4 5 9 ·
,460 北京科技大学学报 第30卷 mal preview servo systems and optimal preview FF compensated 5.0 systems.Chin JAutom,1998.10(4):329 4.0 [2]KatayamaT,Ohki T.Inoue T,et al.Design of an optimal con- 一S=4输出y troller for a discrete time system subject to preview able demand. 3.0 一一S-8,输出y Int J Control.1985.3:677 一目标R() [3]Katayama T,Hirono T.Design of an optimal servomechanism 20 with preview action and its dual problem.Int JControl,1987.2: 407 1.0 [4]EgamiT,TsuchiyaT.Disturbance suppression control with pre 0 view action of linear DC brushless motor.IEEE Trans Ind Elee- 21 25 的 29 trom,1995,42(5):494 t/s [5]TsuchiyaT.Egami T.Digital Preview and Predictive Control. 图2两种情形闭环系统输出响应 Translated by Liao FC.Beijing:Beijing Science and Technology Fig.2 Closed-loop responses (preview steps:8 and 16) Press:1994 (土谷武士，江上正，最新自动控制技术一数字预见控制 0, t<20 廖福成，译.北京：北京科学技术出版社，1994) R(t)=0.5(t-20),20≤t<30 [6]Liao F C.Egami T,Tsuchiya T.A general frequency dependent 5, t≥30 digital optimal preview servo system.Appl Math Mech.1996.17 仍采样周期取为0.1s,针对预见步数为16(S=8) (4):319 和没有预见的情况，仿真结果如图3所示 [7]Choi C,Tsao T C.Hoo preview control for diserete time sys tems.J Dyn Syst Meas Control.2001.123(1):117 5.0 [8]Choi C.Kim JS,Lee G.Design of an Hoo-based preview con troller//Proceeding of European Control Conference.Brussels. 4.0 1997,1. 30 [9]Xia J.Multirate Digital Control Systems.Beijing:Science Press, 2003 2.0 (肖建.多采样率数字控制系统。北京：科学出版社，2003) 一S-0.输出y --S8.输出y [10]Zhong M Y.Ma C F,Liu Y X.Fast rate detection filter for 1.0 目标R() multirate sampled-date systems.Acta Autom Sin.2006.32 (3),433 20 25 30 35 [11]Polushin I G.Marquez H J.Multirate versions of sampled-date tis stabilization of nonlinear systems.Automatica.2004.40:1035 [12]Liao F C.Takaba K,Katayama T,et al.Design of an optimal 图3对斜坡信号的跟踪 preview servomechanism for discrete time systems in a multirate Fig.3 Tracking to the ramp signal setting Dyn Continuous Discrete Impulsive Syst B.2003.10. 6结论 727 [13]Liao F C.Liu HP.Design of an optimal preview controller for a kind 本文研究了带有状态时滞的多采样率离散时间 of discrete time systems.J Unin Sci Technol Beijing.2007.29(5): 线性系统的预见控制问题，首先利用离散时间系统 5M2 提升技术，把所研究的系统转化成一个形式上没有 (廖福成，刘贺平.多重采样离散时间系统的最优预见伺服控 制器设计，北京科技大学学报，2007,29(5)：542) 时滞且是单一采样系统，其状态向量的维数比原系 [14]Xu Y J.Liao FC.Design of the optimum preview controller for 统要大一些；然后利用预见控制理论中常用的误差 a class of state-delay systems.J Univ Sci Technol Beijing, 系统方法，构造一个扩大误差系统，而且问题也转换 2006,28(4):403 为调节器设计问题；最后利用预见控制的相关理论 (徐玉洁，廖福成。一类状态时滞系统的最优预见控制器设 设计出了最优控制器.由预见控制理论知所得到的 计.北京科技大学学报，2006,28(4)：403) 闭环系统包含一个积分器，从而系统的响应没有静 [15]Tangirala A K.Li D.Patwardhan R.et al.Issues in multirate process contro Proceeding of American Control Conference 态误差，通过数值仿真说明了控制器的有效性， San Diego.1999:2771 [16]Kailath T.Linear Systems.Englewood Cliffs:Prentice-Hall, 参考文献 1980 [1]Liao F C.TsuchiyaT.Egami T.et al.Unified approach to opti-
图2 两种情形闭环系统输出响应 Fig．2 Closed-loop responses （preview steps：8and16） R（ t）＝ 0 t＜20 0∙5（ t—20） 20≤t＜30 5 t≥30 仍采样周期取为0∙1s针对预见步数为16（ S＝8） 和没有预见的情况仿真结果如图3所示． 图3 对斜坡信号的跟踪 Fig．3 Tracking to the ramp signal 6 结论 本文研究了带有状态时滞的多采样率离散时间 线性系统的预见控制问题．首先利用离散时间系统 提升技术把所研究的系统转化成一个形式上没有 时滞且是单一采样系统其状态向量的维数比原系 统要大一些；然后利用预见控制理论中常用的误差 系统方法构造一个扩大误差系统而且问题也转换 为调节器设计问题；最后利用预见控制的相关理论 设计出了最优控制器．由预见控制理论知所得到的 闭环系统包含一个积分器从而系统的响应没有静 态误差．通过数值仿真说明了控制器的有效性． 参 考 文 献 ［1］ Liao F CTsuchiya TEgami Tet al．Unified approach to opt-i mal preview servo systems and optimal preview FF compensated systems．Chin J A utom199810（4）：329 ［2］ Katayama TOhki TInoue Tet al．Design of an optimal controller for a discrete-time system subject to previewable demand． Int J Control19853：677 ［3］ Katayama THirono T．Design of an optimal servomechanism with preview action and its dual problem．Int J Control19872： 407 ［4］ Egami TTsuchiya T．Disturbance suppression control with preview action of linear DC brushless motor．IEEE T rans Ind Electron199542（5）：494 ［5］ Tsuchiya TEgami T．Digital Preview and Predictive Control． Translated by Liao F C．Beijing：Beijing Science and Technology Press1994 （土谷武士江上正．最新自动控制技术———数字预见控制． 廖福成译．北京：北京科学技术出版社1994） ［6］ Liao F CEgami TTsuchiya T．A general frequency dependent digital optimal preview servo system．Appl Math Mech199617 （4）：319 ［7］ Choi CTsao T C． H∞ preview control for discrete-time systems．J Dyn Syst Meas Control2001123（1）：117 ［8］ Choi CKim J SLee G．Design of an H∞-based preview controller∥ Proceeding of European Control Conference．Brussels 1997：1． ［9］ Xiao J． Multirate Digital Control Systems．Beijing：Science Press 2003 （肖建．多采样率数字控制系统．北京：科学出版社2003） ［10］ Zhong M YMa C FLiu Y X．Fast rate detection filter for multirate sampled-date systems． Acta A utom Sin200632 （3）：433 ［11］ Polushin I GMarquez H J．Multirate versions of sampled-date stabilization of nonlinear systems．A utomatica200440：1035 ［12］ Liao F CTakaba KKatayama Tet al．Design of an optimal preview servomechanism for discrete-time systems in a multirate setting．Dyn Continuous Discrete Impulsive Syst B200310： 727 ［13］ Liao F CLiu H P．Design of an optimal preview controller for a kind of discrete-time systems．J Univ Sci Technol Beijing200729（5）： 542 （廖福成刘贺平．多重采样离散时间系统的最优预见伺服控 制器设计．北京科技大学学报200729（5）：542） ［14］ Xu Y JLiao F C．Design of the optimum preview controller for a class of state-delay systems． J Univ Sci Technol Beijing 200628（4）：403 （徐玉洁廖福成．一类状态时滞系统的最优预见控制器设 计．北京科技大学学报200628（4）：403） ［15］ Tangirala A KLi DPatwardhan Ret al．Issues in multirate process control∥ Proceeding of A merican Control Conference． San Diego1999：2771 ［16］ Kailath T．Linear Systems．Englewood Cliffs：Prentice-Hall 1980 ·460· 北 京 科 技 大 学 学 报 第30卷
