武汉食品工业学院学报 995年 5.1本文给出的分类是一种最佳分类,它给出2940把是不能互开的最大个数。 定理4从5880个锁具中任取2941把则至少有两把可以互开。在证明定理1之前先看一个 特例。 某厂家生产一种锁具,钥匙有3个槽,每个槽的高度从{1,?,3,4}中任取一数,对槽的高度 的限制条件为:3↑槽高不能完全相同,两相邻槽高,不能为3满足以上两条制造出来的所有 不同的锁具称为一批同一批锁具中两个锁具相对应的3个槽高中有2个相同,另一个槽高差 为1则可能互开按这种情况主产出的一批锁具个数为43-C4-2CC"2-2C}=46按照互 开原则,从46个锁具的某一个出发,每次将一个槽高增1或减1·另两个不变,进行连接可得 锁具互开链124-123-113-112 l21-131-132-133-134-234-334-344-244 243-242-232-233-223-224-324-323322-321-311-312-313-213-212-211 -221-231-331-332-342-33-443-442-432433-434-424423-422-421-431 ( Hamilton路)锁链中Ⅰ值奇偶交错且任意相邻两把都可互开 下面证明定理4 证明按照两个锁具的互开原则,仿特例的方法,从5880个锁具中某一个开始,每次将一个 槽高增加1或减少1,其它槽高不变,则可得一锁链图,11123-11124--11125-…(因元素太 多,所以不能一一写出),此链中橧高和奇偶交错且任意相邻两把锁都可以互开。现从此锁链中 任取2941把,则必有某处相邻两个锁具被取出(否则,只能间隔着取,这样最多只能取2940 把)由于相邻两个锁具可以互开所以2941个锁具中至少有两把可以互开。 5.2本文所给出的分类装箱法与传统随机装箱法比较优点更为显著由问题3的计算结果 知,用传统装箱法一次购买一箱平均就有2.39对锁具可以互开,一次购买两箱,平均就有964 对锁具可以互开,一次购买13箱以上,则每把锁平均至少有一把别的钥匙能够打开。而用本文 给出的分类装箱法一次购买量只要不超过49箱就可保证一定不会互开,这是令厂家、团体购 买者及用户相当满意的 有人提出能否将模型作一般性推广,换句话说能否建立一个解决用任意n个数生产n-1个 槽的锁具装箱的一般性数学模型,作者经过具体研究发现是不可能的。因为用偶数个数生产奇 数个棺的锁具,其槽高和的奇偶性是对称的(这一点可参考本文定理3的证明),这种情况模型 可以推广,而用奇数个数生产偶数个槽的锁具,其槽高和的奇偶性却不是对称的,作者作了几 个具体统计,结果为:用5↑数生产4个橧的一批锁具总数为366把,其中槽高和为奇数的钡有 200把,而槽高和为偶数的只有166把,奇偶性不对称。若用7↑数生产6个槽的一批锁具总数 为95880把,其中槽高和为奇数的锁有48180把,而槽高和为偶数的锁只有47700把,奇偶性也 不对称对这种情形模型却不能推广但是本文提供的分类方法却适合各种情况,对不对称的 情形用本文的分类法分出的两类数目是不相等的,不过可以证明数目多的一类仍是不能互开 的最大类。 周大强教授对本文的完成提出了许多好的意见,在此表示感谢 参考文献 1北京大学數学亲,高等代数,人民教育出版社,1978 2感畢等·概率论与数理统计·高等教育出版社,1990 o1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, LId. All rights reserved.© 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved