第21讲共轭算子与一、五线性泛函 教学目的:掌握 Hilbert空间上几类常用算子的性质。 讲解要点 1 Hilbert空间上线性泛函与线性算子的表现定理, 2自伴算子的基本性质。 3酉算子与正常算子的概念与属性 定理1( Riesz表现定理)设H是 Hilbert空间 (1)Vy∈H,f(x)=(x,y)是H上的连续线性泛函并且 If=bl (4-3-1) (2)若∫是H上的连续线性泛函,则存在唯一的y∈H使得 f(x)=(x,y),Vx∈H 4-3-2) 证明1°设x1,x2∈H,a,B∈Φ,则 (ax1+fx2)=(ax1+x2,y) a(x,y)+B(x2,y)=a f(x)+B f(x2) ∫是线性的.又由不等式f(x)=(xy)≤|y,≤,f连续 若y=0,显然/=0=|y若y≠0,取x=y,则|f(y)=(y,y) pv,故≥(,=总之,|/=p 2°若∫=0,取y=0即可.若∫≠0,设E=N(),E是H 的闭极大真子空间,设H=E田E,E≠Q}取z∈E2,|=11 第 21 讲 共轭算子与一、五线性泛函 教学目的：掌握 Hilbert 空间上几类常用算子的性质。 讲解要点： 1 Hilbert 空间上线性泛函与线性算子的表现定理。 2 自伴算子的基本性质。 3 酉算子与正常算子的概念与属性。 定理 1 (Riesz 表现定理) 设 H 是 Hilbert 空间. (1) ∀y H ∈ , f (x) = (x, y)是 H 上的连续线性泛函并且 f = y . (4-3-1) (2) 若 f 是 H 上的连续线性泛函, 则存在唯一的 y ∈ H 使得 f (x) = (x, y), ∀x ∈ H (4-3-2) 证明 D 1 设 x1 , x2 ∈ H ,α, β ∈Φ , 则 ( ) 1 2 f αx + βx = ( , ) 1 2 αx + βx y = α ( x , y 1 )+ β ( x , y 2 ) =α ( )1 f x + β ( ) 2 f x . f 是线性的. 又由不等式 f (x) = (x, y) ≤ x y , f ≤ y , f 连续. 若 y = 0 , 显 然 f = 0 = y . 若 y ≠ 0 , 取 x = y , 则 f ( ) y = ( y, y) = 2 y , 故 f ≥ ( ) y y f = y . 总之, f = y . D 2 若 f = 0, 取 y = 0 即可. 若 f ≠ 0, 设 E = N( f ) , E 是 H 的闭极大真子空间 , 设 ⊥ H = E ⊕ E , ≠ {0} ⊥ E . 取 ⊥ z ∈ E , z = 1