则f()≠0,令y=f(),y∈E由于Wx∈H,x-/(S):∈E,于 0=( f(x) =(x,y)-(f(x):f(x)) f(二) y)-f(x)(=,=) (x,y)-f(x) 即f(x)=(x,y),x∈H,由还知道|/=y 若另有y'∈H使得∫(x)=(x,y),Vx∈H,则(x,y)=(x,y) vx∈H,即(x,y-y)=0,此时必有y=y 称定理1中的y为线性泛函∫的表现 记H上的连续线性泛函全体为H',定理1表明从集合论的观点 来看,H与H是相同的 定理2设H是 Hilbert空间,H'是H的共轭空间 (1)若映射T:H→H,T=y,其中y是∫的表现,则 T(a+B2)=a7(1)+Br(f),f1,f∈H',(4-32) T是到上的并且f∈H,阿= (Tf,7g)=(f,g),V1,g∈ (4-3-3) (3)若J是从H到H"的自然嵌入算子,J是到上的线性映 射 并且 vx∈H 通常称满足(4-3-2)的T是共轭线性的 明1°设T1=y1,72=y2,a,B∈Φ,则2 则 f (z) ≠ 0 , 令 y = f (z)z , ⊥ y ∈ E . 由于 ∀x∈ H , z f z f x x ( ) ( ) − ∈ E ,于 是 0 = ( z f z f x x ( ) ( ) − , y ) = (x, y) − ( ( ) ( ) f x z f z , f (z)z) = (x, y) − f (x)(z,z) = (x, y) − f (x) 即 f (x) = (x, y), ∀x ∈ H , 由 D 1 还知道 f = y . 若另有 y H '∈ 使 得 f (x) = ( , ') x y , ∀x ∈ H , 则 (x, y) = ( , ') x y , ∀x ∈ H , 即 ( , ') 0, xy y − = 此时必有 y y = '. 称定理 1 中的 y 为线性泛函 f 的表现. 记 H 上的连续线性泛函全体为 * H , 定理 1 表明从集合论的观点 来看, H 与 * H 是相同的. 定理 2 设 H 是 Hilbert 空间, * H 是 H 的共轭空间. (1) 若映射 T H → H * : , Tf = y , 其中 y 是 f 的表现. 则 ( ) 1 2 T αf + βf = ( )1 αT f + ( ) 2 βT f , 1 ∀f , * f 2 ∈ H , (4-3-2) T 是到上的并且 * ∀ ∈f H , Tf = f . (2) (Tf ,Tg) = (,) f g , 1 ∀f , * g ∈ H . (4-3-3) (3) 若 J 是从 H 到 ** H 的自然嵌入算子, J 是到上的线性映 射 并且 Jx = x , ∀x ∈ H . 通常称满足(4-3-2)的 T 是共轭线性的. 证 明 D 1 设 1 1 Tf = y , 2 2 Tf = y , α, β ∈Φ , 则 ∀x∈ H