f(x)=(x,y1),f2(x)=(x,y2).于是 (cf1+2)(x)=af(x)+Bf2(x) =a(x,y)+B(r,y2)=(x, ay,+By2) 即T(a+B2)=ay1+By2=a(f1)+B(2)由定理1知道T是到上 的并且|7==f,∈F 2 B T(+8=f+gl,T(f-g=f-8 Re(T, Tg)=7u+g -(-gP =f+g|-f-8]=Re(,g) 将∫换为矿,则 Re(Tif, tg)=Re(if, g) 又由T的共轭线性(,7g)=(Tjf,Tg).所以 Im(t, Tg)=Re(tif, Tg)=Re(if, g)=-Im(, g) 从而 (, 1g)=(,g f,g∈H 3°设J是从H到H的自然嵌入算子,则Vx∈H, Jx(y)=y(x),Vy∈H 若x1,x2∈H,a,B∈④,则 J(ax1+x2)(y)=y(a1+x2) =a(x)+By(x2)=ax, (y)+ Bx2y (ax,+ Rx,)(y) y是任意的.故J(ax1+x2)=akx1+Bx2 vx”∈H”,由定理1,存在y∈H”,使得x”(∫)=(f,y)3 ( ) 1f x = ( , )1 x y , ( ) 2 f x = ( , ) 2 x y . 于是 ( 1 2 αf + βf )( x )=α ( ) 1f x + β ( ) 2 f x =α ( , )1 x y + β ( , ) 2 x y = ( x, 1 2 αy + β y ). 即 ( ) 1 2 T αf + βf = 1 2 αy + β y = ( )1 αT f + ( ) 2 βT f .由定理 1 知道 T 是到上 的并且 Tf = y = f , * ∀ ∈f H . D 2 由 T( f + g) = f + g , T( f − g) = f − g , 则 Re (Tf ,Tg) = [ ( ) ( ) ] 4 1 2 2 T f + g − T f − g = [ ] 4 1 2 2 f + g − f − g = Re ( f , g). 将 f 换为 if , 则 Re (Tif ,Tg) = Re (if , g) . 又由 T 的共轭线性 (Tf ,Tg) = i(Tif ,Tg). 所以 Im (Tf ,Tg) = Re (Tif ,Tg) = Re (if , g) = − Im ( f , g). 从而 (Tf ,Tg) = ( f , g) , ∀f , * g ∈ H . D 3 设 J 是从 H 到 ** H 的自然嵌入算子, 则 ∀x ∈ H , Jx( y) = y(x), * ∀y ∈ H . 若 x1 , x2 ∈ H ,α, β ∈Φ , 则 ( ) 1 2 J αx + βx ( y) = ( ) 1 2 y αx + βx = ( ) ( ) 1 2 αy x + βy x = ( ) ( ) 1 2 αJx y + βJx y = ( )( ) 1 2 αJx + βJx y y 是任意的. 故 ( ) 1 2 J αx + βx ＝ 1 2 αJx + βJx 。 x H ∗∗ ∗∗ ∀ ∈ ，由定理 1，存在 ∗ ∗ y ∈ H ，使得 ( ) ( , ) ∗∗ ∗ x f = f y