G是A的列向量.即有ka+ka2+.,+kmm=Bi (=1,2,m) 说明B的列向量组{B,B2,Bm)可由A的列向量组{a1,2,an}线性表出,从而矩阵(A,B) 的列向量组与矩阵A的列向量组等价,故rank(A)=ank(AB) 充分性:若rank(A=rank(A,B),则矩阵(AB)的列向量组与矩阵A的列向量组等价, 从而B的列向量组{B1,B2…,m)B1可由A的列向量组{a1,a2,an}线性表出,利用必要性的 证明过程可得矩阵方程AX=B有解 3求下列齐次线性方程组的一个基础解系,并且用它来表示解空间 x1-2x2+3x3-4x4=0 x2-x3+x4 x1+3x2+x4=0 2x1-x。=0 ②{x 2 0 x1+4x2 3+4 x1-2x2+x3-x4+x5=0 2x1+x2-x3+2x4-3x5=0 2x=0 x1-5x+为4+2x=0 解①线性方程组对应的系数矩阵为 1-23-4)(1-23-4 23-4 01 01-11 令x4=1,得ⅹ=0,x2=-1,x1=2,得基础解系 2-01 解空间为{kξk为任意常数} ②线性方程组对应的系数矩阵为 110-2-1(110-2-1(1 24-24-7)(02-28500-49-4 令x4=1,xs=0,得x=94,x2=-74,x1=15/4,得一个解αi是 A 的列向量．即有 ki1α1+ki2α2+…+ kinαn=βi (i=1,2,…,m) 说明 B 的列向量组{β1, β2,…, βm)βi可由 A 的列向量组{α 1, α2,…, αn}线性表出，从而矩阵(A,B) 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价，故 rank(A)=rank((A,B))． 充分性：若 rank(A)=rank((A,B))，则矩阵(A,B)的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价， 从而 B 的列向量组{β1, β2,…, βm)βi可由 A 的列向量组{α 1, α2,…, αn}线性表出，利用必要性的 证明过程可得矩阵方程 AX=B 有解． 3.求下列齐次线性方程组的一个基础解系，并且用它来表示解空间． ①                3 0 0 2 3 4 0 1 2 4 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x ②                   2 4 2 4 7 0 2 0 2 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 1 2 4 5 x x x x x x x x x x x x x ③                          2 5 2 2 0 3 2 2 0 2 2 3 0 2 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 解 ①线性方程组对应的系数矩阵为          1 3 0 1 0 1 1 1 1 2 3 4 ~           0 5 3 5 0 1 1 1 1 2 3 4 ~          0 0 2 0 0 1 1 1 1 2 3 4 令 x4=1，得 x3=0，x2= -1，x1=2，得基础解系        1 0 1 2  1 解空间为{kξ1|k 为任意常数}． ② 线性方程组对应的系数矩阵为              2 4 2 4 7 1 1 2 1 0 1 1 0 2 1 ~             0 2 2 8 5 0 2 2 1 1 1 1 0 2 1 ~             0 0 4 9 4 0 2 2 1 1 1 1 0 2 1 令 x4=1，x5=0，得 x3=9/4，x2= -7/4，x1=15/4，得一个解