西安石油大学：《高等代数 Advanced Algebra》精品课程教学资源（习题及答案）第四章 n维向量与线性方程组的一般解法

习题4.1 1.如果31+41+ka|=6,求k,a,b 0 解将左边向量相加,与右边对应分量比较得 6+4-2k=4 6 解方程组得,k=3,a=-1/3,b=3 2.证明:如果 k bbb b k2 a22+k, b a1a12a3)(k)(a1k+a12k2+a12k 证前一式的左边a21a2a2k2a21k1+a2k2+a2k k八(a3k+a2k2+a3k2 1 比较前一式的右边,后一式得证 1.B能不能由{x1,a2,a3,a4线性表出? 2 235203225 ②a1=2|,a23,a=1,a=1|,p=1 2 证①β能由{a,a2,a3,a4}线性表出的充分必要条件是存在数x,x2,x3,x使

习题 4.1 1.如果 3       0 1 2 +4      1 1 1 +k       b a 2 =       5 6 4 ，求 k,a,b． 解 将左边向量相加，与右边对应分量比较得               0 4 5 3 4 6 6 4 2 4 kb ka k 解方程组得，k=3,a=-1/3,b=3． 2.证明：如果       31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a       3 2 1 k k k =       3 2 1 b b b 则       31 21 11 1 a a a k +       32 22 12 2 a a a k +       33 23 13 3 a a a k =       3 2 1 b b b 证 前一式的左边=       31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a       3 2 1 k k k =             31 1 32 2 33 3 21 1 22 2 23 3 11 1 12 2 13 3 a k a k a k a k a k a k a k a k a k =       31 21 11 1 a a a k +       32 22 12 2 a a a k +       33 23 13 3 a a a k 比较前一式的右边，后一式得证． 1.β能不能由{α1, α2, α3, α4}线性表出？ ① α1=       2 5 3 2 ，α2=         1 1 2 1 ，α3=        1 1 2 1 ，α4=        3 2 3 1 ，β=       4 1 2 1 ② α1=       5 2 2 3 0 ，α2=       5 2 3 2 2 ，α3=       2 2 1 1 3 ，α4=        0 1 1 1 1 ，β=       2 1 1 1 1 证 ① β能由{α1, α2, α3, α4}线性表出的充分必要条件是存在数 x1, x2, x3, x4使 x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=β

上式相当于一个线性方程组,其增广矩阵 21 3-22-320-7/27/2-9/21/2 12 0-3/23/2-1/2-7/2 0-77-91 0-77 700020/7-52/7 0-22-43)(000-10/719/7 7 00020-52000-1019 000-1019)(000 对应线性方程组无解,所以β不能由(a1,a2,a3,4线性表出 ②对应线性方程组的增广矩阵为 321-110-5/2-1/2-5/2-1/2 B=23111→0-12 2221102 2 55202)(0-5/2-1/2-5/2-1/2 23111 20 20 00-115 0-115 02211 006-31 0000 00 00000 0000 对应的线性方程组有解,所以B能由{a1,a2a3,a4}线性表出 2证明:{ε,E2}与 等价 证首先显然 0( 能由{ε,e2}线性表出;又因 1)2_,即(e,e能由 线性表出.所以{εe1,ε2}与 4.设U=Span(a1,2,…,a),a∈F,i=1,2,…,,W是一个子空间.证明:如果a∈W,j=1,2,…;s

上式相当于一个线性方程组，其增广矩阵 B=              2 1 1 3 4 5 1 1 2 1 3 2 2 3 2 2 1 1 1 1 →               0 2 2 4 3 0 3/ 2 3/ 2 1/ 2 7 / 2 0 7 / 2 7 / 2 9/ 2 1/ 2 2 1 1 1 1 →               0 2 2 4 3 0 3 3 1 7 0 7 7 9 1 2 1 1 1 1 →            0 0 0 10 / 7 19 / 7 0 0 0 20 / 7 52 / 7 0 7 7 9 1 2 1 1 1 1            0 0 0 10 19 0 0 0 20 52 0 7 7 9 1 2 1 1 1 1 →            0 0 0 0 14 0 0 0 10 19 0 7 7 9 1 2 1 1 1 1 对应线性方程组无解，所以β不能由{α1, α2, α3, α4}线性表出． ②对应线性方程组的增广矩阵为 B=         5 5 2 0 2 2 2 2 1 1 2 3 1 1 1 3 2 1 1 1 0 2 3 1 1 →                 0 5/ 2 1/ 2 5/ 2 1/ 2 0 2 2 1 1 0 1 2 2 0 0 5/ 2 1/ 2 5/ 2 1/ 2 2 3 1 1 1 →             0 0 0 0 0 0 2 2 1 1 0 5 1 5 1 0 1 2 2 0 2 3 1 1 1 →            0 0 0 0 0 0 0 6 3 1 0 0 11 5 1 0 1 2 2 0 2 3 1 1 1 →            0 0 0 0 0 0 0 0 3 5 0 0 11 5 1 0 1 2 2 0 2 3 1 1 1 对应的线性方程组有解，所以β能由{α1, α2, α3, α4}线性表出． 2.证明：{ε1,ε2}与                         1 1 , 1 2 , 1 1 等价． 证 首先显然                         1 1 , 1 2 , 1 1 能由{ε1,ε2}线性表出；又因ε1=       1 1 2 1 +      1 1 2 1 ， ε2=       1 1 2 1 -      1 1 2 1 ，即{ε1,ε2}能由                         1 1 , 1 2 , 1 1 线性表出．所以{ε1,ε2}与                         1 1 , 1 2 , 1 1 等价． 4 *.设 U=Span(α1，α2，…，αs), αi∈F n，i=1,2,…,s，W 是一个子空间．证明：如果αj∈W，j=1,2,…,s

则UcW(这个结论表明:由a1,a2,,a生成的子空间是包含{a1,a2,,a)}的F的 最小子空间) 证对于任意a∈U,存在数k,k2,…,k,使a=ka1+k2a2+.+ka,由于W是一个子 空间,对数乘满足封闭性,且∈W,所以k∈W,j=1,2,…s;由W对加法满足封闭性, 从而ka1+ka2∈W,(ka1+k2a2)+ka3∈W,…,(ka1+ka2+.+k-a-1)+ka∈W.所 习题43 1.下述说法对吗? ①如果有F中的数k,k2…,k,使ka+k2a2+…+ka=0,则向量组(a1,a2,….,a}线性相 关 ②如果有F中不全为零的数k1,k2,…,k,使k1a1+k2a2+…+ka≠0,则向量组{a1,a2,a 线性无关 解①说法不对.例如对于向量E1=0,E2=1,取kk=0,有ke+ke=0,而e,e2 0 (0 是线性无关的 ②说法不对,例如对于向量a1=0,a2=0,取不为零的数k=k=1,有kE+k 0 ≠0,而a1,a2是线性相关的 2.下列向量线性相关,还是线性无关?为什么? 0 0 4 31-101-7 解①令H(a12a2a3) 250 05-4 4 3)(0211 02 01-7 00310031 0025 000

则 UW（这个结论表明：由α1，α2，…，αs生成的子空间是包含{α1，α2，…，αs)}的 F n的 最小子空间）． 证 对于任意α∈U，存在数 k1，k2，…，ks，使α= k1α1+ k2α2+…+ksαs，由于 W 是一个子 空间，对数乘满足封闭性，且αj∈W，所以 kjαj∈W，j=1,2,…,s；由 W 对加法满足封闭性， 从而 k1α1+ k2α2∈W，（k1α1+ k2α2）+k3α3∈W，…，（k1α1+ k2α2+…+ ks-1αs-1）+ksαs∈W ．所 以 UW． 习题 4.3 1.下述说法对吗？ ①如果有 F 中的数 k1, k2,…, ks,使 k1α1+k2α2+…+ksαs=0，则向量组{α1,α2,…,αs}线性相 关． ②如果有 F中不全为零的数 k1, k2,…, ks,使 k1α1+k2α2+…+ksαs≠0，则向量组{α1,α2,…,αs} 线性无关． 解 ①说法不对．例如对于向量        0 0 1 1  ，        0 1 0 2  ，取 k1=k2=0，有 k1ε1+k2ε2=0，而ε1,ε2 是线性无关的． ②说法不对．例如对于向量        0 0 1 1 ，        0 0 2  2 ，取不为零的数 k1=k2=1，有 k1ε1+k2ε2 ≠0，而α1,α2是线性相关的． 2.下列向量线性相关，还是线性无关？为什么？ ①        4 2 1 3 1 ，        2 5 0 1  2 ，        3 0 2 1 3 ②        3 0 1 2 1 ，        4 2 3 1  2 ，        1 2 0 3 3 ，        8 4 2 2  4 解 ①令 H=         4 2 3 2 5 0 1 0 2 3 1 1 ( , , ) 1  2 3 →        4 2 3 2 5 0 3 1 1 1 0 2 →         0 2 11 0 5 4 0 1 7 1 0 2 →        0 0 25 0 0 31 0 1 7 1 0 2 →        0 0 0 0 0 31 0 1 7 1 0 2

对应的齐次线性方程组HX=0只有零解,所以a1,a2,a3线性无关 2132 1-30-2 ②令H=(a12C2,C3 0224 0224 431 822 30 0-5 032 01 013114)(013 14)00-12-12 0112 00 对应的齐次线性方程组HX=0有非零解,所以a1,a2,a3,a4线性相关 3.设向量组{a1,a2,a3}线性无关,下述向量组哪些线性无关? ①0,a2,a3} ②{a2,a1+a3,a2} ③(a1+2a2a23a3,a2+a3,a1+4a2+a3} ④{a1,4a ⑤{1+a2,a2+a3a3ta1} 答①②③线性相关,④⑤线性无关 4如果向量组{a,a2}线性相关,必定有k∈F使a1=ka2吗?如果向量组{a,a1,…,ax}线性无 关,则其中每一个向量都不能由其余向量线性表出吗? 答如果向量组{a,a}线性相关,不一定有k∈F使a1=ka2,例如当a1≠0,a2=0时,显然 a,a2}线性相关,但不存在k∈F使a=ka2 如果向量组(a1,a2,…,a}线性无关,则其中每一个向量都不能由其余向量线性表出.否 则,利用反证法,假设有一个向量a能由其余向量线性表出,先写成表示形式,然后通过移 项可知与线性无关相矛盾 5设β∈(a1,a2,…,a,a3),但βg(a1,a2…,a).证明: an1∈(a1,a2, B) 证因为β∈(a,a2,…,α,a-),所以存在数k,k2,…,k,k,使 β=k1+ka2+…+ka2+kxa1 其中必有k。≠0,否则β可由α,a2…,α线性表出,这与βg(a,a2…,a)想矛盾.将上 式移项后两边乘以得 al k sds" ks+ B B)

对应的齐次线性方程组 HX=0 只有零解，所以α1，α2，α3线性无关． ②令 H=           3 4 1 8 0 2 2 4 1 3 0 2 2 1 3 2 ( , , , ) 1  2 3  4 →         3 4 1 8 0 2 2 4 2 1 3 2 1 3 0 2 →           0 13 1 14 0 2 2 4 0 5 3 2 1 3 0 2 →           0 13 1 14 0 5 3 2 0 1 1 2 1 3 0 2 →           0 0 12 12 0 0 8 8 0 1 1 2 1 3 0 2 →         0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 2 1 3 0 2 对应的齐次线性方程组 HX=0 有非零解，所以α1，α2，α3，α4线性相关． 3.设向量组{α1,α2,α3}线性无关，下述向量组哪些线性无关？ ①{0,α2,α3} ②{α2,α1+α3,α2} ③{α1+2α2,α2-3α3,α2+α3,α1+4α2+α3} ④{α1,4α1-3α2} ⑤{α1+α2,α2+α3,α3+α1} 答 ①②③线性相关，④⑤线性无关． 4.如果向量组{α1,α2}线性相关，必定有 k∈F 使α1=kα2吗？如果向量组{α1, α1,…，αs}线性无 关，则其中每一个向量都不能由其余向量线性表出吗？ 答 如果向量组{α1,α2}线性相关，不一定有 k∈F 使α1=kα2，例如当α1≠0，α2=0 时，显然 {α1,α2}线性相关，但不存在 k∈F 使α1=kα2． 如果向量组{α1, α2,…，αs}线性无关，则其中每一个向量都不能由其余向量线性表出．否 则，利用反证法，假设有一个向量αi能由其余向量线性表出，先写成表示形式，然后通过移 项可知与线性无关相矛盾． 5 *.设β∈(α1, α2,…，αs, αs+1),但β(α1, α2,…，αs)．证明： αs+1∈(α1, α2,…，αs,β) 证 因为β∈(α1, α2,…，αs, αs+1),所以存在数 k1,k2,…,ks,ks+1使 β=k1α1+k2α2+…+ksαs+ks+1αs+1 其中必有 ks+1≠0，否则β可由α1, α2,…，αs线性表出，这与β(α1, α2,…，αs)想矛盾．将上 式移项后两边乘以 1 1 s k 得      1 1 2 1 2 1 1 1 1 1            s s s s s s s k k k k k k k  即αs+1∈(α1, α2,…，αs,β)

习题4.4 0 1证明{a1= 1,a3=1}是F的一个基 0 证设有数k,k,k使k1+k21+k110 0 得k=k=k=0,所以a,ana3线性无关.又对F中任一向量b,令 k11|+k21+k」|1|=b 解上述线性方程组,得k=a,k=(b+c-2a)/2,k=(b-c)/2,即b能由an,ana线性表出 总之,a1,a2,a3是F的一个基 2设=-3 证明:{a1,a2}是{a,a2,a3}的一个极大线性无关组 0 证设有数k,k2使ka1+ka2=0即 得k=k2=0,所以{a1,ax2线性无关 又,线性方程组 2 的系数矩阵

习题 4.4 1.证明                                1 1 0 , 1 1 0 , 1 1 1 1 2 3 是 F 3的一个基． 证 设有数 k1,k2,k3,使       1 1 1 1 k +       1 1 0 2 k +      1 1 0 3 k =       0 0 0 得 k1=k2=k3=0，所以α1, α2,α3线性无关．又对 F 3中任一向量       c b a ，令       1 1 1 1 k +       1 1 0 2 k +      1 1 0 3 k =       c b a 解上述线性方程组，得 k1=a,k2=(b+c-2a)/2,k3=(b-c)/2，即       c b a 能由α1, α2,α3线性表出． 总之，α1, α2,α3是 F 3的一个基． 2.设α1=         1 2 3 1 ，α2=       4 5 9 2 ，α3=       0 1 1 2 ．证明：{α1, α2}是{α1, α2,α3}的一个极大线性无关组． 证 设有数 k1,k2使 k1α1+k2α2=0 即         1 2 3 1 1 k +       4 5 9 2 2 k =0 得 k1=k2=0，所以{α1, α2}线性无关． 又，线性方程组         1 2 3 1 1 +       4 5 9 2 2 +       0 1 1 2 3 =0 的系数矩阵

-39-10155031 2-51 31000 000 入1a1+1a2+λa3=0有非零解,所以{a,a2,a3}线性相关 总之,{a1,a2}是{a1,a2a3}的一个极大线性无关组 3.设(Ⅱ):{a1 a}是向量空间V的一个向量组,并且(Ⅱ)的秩是r,(Ⅲ):{a,a2…,a 是(Ⅱ)的一个部分组,如果(Ⅱ)能由(Ⅲ)线性表出,则(Ⅲ是(Ⅱ)的一个极大线性无关组 证:如果(Ⅱ)能由(D线性表出,则(Ⅱ)的秩小于等于(ⅢD的秩,而()的秩是r,从 而(ⅢD的秩大于等于r,又因为(ⅢD)一共有r个向量,所以(ⅢD的秩为r,故(ID线性无关.由 极大线性无关组的条件知,(Ⅲ是(Ⅲ)的一个极大线性无关组 4.设(Ⅱ):{a,a2…,a是F的一个向量组,证明:如果n维单位向量组{en,E2,…t}能由 (Ⅱ)线性表出,则(Ⅱ)是F的一个基. 证:因为n维单位向量组{e,e,…e}的秩是n,如果{ε,ε,…ε}能由(Ⅱ)线性表出, 则(Ⅱ)的秩大于等于n,而(Ⅱ)只有n个向量,所以(I)的秩等于n,故()线性无关.从 而(Ⅱ)是F的一个基 5.设(Ⅱ),(I是子空间V的两个向量组.证明:如果(Ⅱ)能由(ⅢD线性表出,并且如果(Ⅱ) 的秩等于(ID的秩,则Span(I)=Span(I 证因为(Ⅱ)能由(Ⅲ线性表出,所以Span(Ⅱ) CSpan(Ⅲ),又由(Ⅱ)的秩等于(I)的 秩得,dim(Span())=dim(Span(Ⅲ),从而Span(Ⅱ)=Span(ⅢD) 6.设A是m×n矩阵,(Ⅲ):{β3,β2,…,β}是F的(列)向量组 ①证明:如果(Ⅲ)线性相关,则向量组(Ⅲ):{AB1,AB3,…,A}线性相关 ②证明:(Ⅲ)的秩<(Ⅱ)的秩 ③证明:如果A可逆(这时mn),则(ID的秩=(I)的秩 证①如果(Ⅱ)线性相关,则存在不全为零的数k,k,…,k,使 kB2+k2+…+k=0 从而kAB1+k24B2+…+kAB=A(kB1+k2+…+kB)=0 说明(Ⅲ):{AB,AB2,…,AB线性相关 ②设(Ⅱ)的秩为r,则(Ⅱ)中任意r+1个向量必线性相关,类似①的证明知,(Ⅲ的任 意r+1个向量也线性相关,从而(ID的秩≤r. ③如果A的逆,则将{AB,AB2…,AB看作②中的(Ⅱ),将{AAB,AAB,…,AAB} 看作②中的(ⅢD,将A看作①A,同理可证{AAB1,AAB,…,AAB的秩≤{AB1,AB2…,AB 的秩,即(Ⅲ)的秩≤(的秩.结合②得(Ⅲ)的秩=(Ⅱ)的秩 习题4.5 1.设A是一个m×n矩阵,W={Aa|a∈F.证明:如果A的列秩是r,则dim(W)=r k 证将A的个列向量记分别为,,…,,对于任意a∈F,c4 A=kB1+kB2+…+kBa 说明W=Span(,B,…,B),所以dm(W)=rank(β,B2,…,B)=r

          1 4 0 2 5 1 3 9 1 1 2 2 →         0 6 2 0 9 3 0 15 5 1 2 2 →       0 0 0 0 0 0 0 3 1 1 2 2 λ1α1+λ2α2+λ3α3=0 有非零解，所以{α1, α2,α3}线性相关． 总之，{α1, α2}是{α1, α2,α3}的一个极大线性无关组． 3.设(Ⅱ)：{α1, α2,…,αs}是向量空间V的一个向量组，并且(Ⅱ)的秩是r，(Ⅲ)：{α1, α2,…,αr} 是(Ⅱ)的一个部分组，如果(Ⅱ)能由(Ⅲ)线性表出，则(Ⅲ)是(Ⅱ)的一个极大线性无关组． 证：如果(Ⅱ)能由(Ⅲ)线性表出，则(Ⅱ)的秩小于等于(Ⅲ)的秩，而(Ⅱ)的秩是 r，从 而(Ⅲ)的秩大于等于 r，又因为(Ⅲ)一共有 r 个向量，所以(Ⅲ)的秩为 r，故(Ⅲ)线性无关．由 极大线性无关组的条件知，(Ⅲ)是(Ⅱ)的一个极大线性无关组． 4. 设(Ⅱ)：{α1, α2,…,αn}是 F n的一个向量组，证明：如果 n 维单位向量组{ε1, ε2,…εn}能由 (Ⅱ)线性表出，则(Ⅱ)是 F n的一个基． 证：因为 n 维单位向量组{ε1, ε2,…εn}的秩是 n，如果{ε1, ε2,…εn}能由(Ⅱ)线性表出， 则(Ⅱ)的秩大于等于 n，而(Ⅱ)只有 n 个向量，所以(Ⅱ)的秩等于 n，故(Ⅱ)线性无关．从 而(Ⅱ)是 F n的一个基． 5.设(Ⅱ)，(Ⅲ)是子空间 V 的两个向量组．证明：如果(Ⅱ)能由(Ⅲ)线性表出，并且如果(Ⅱ) 的秩等于(Ⅲ)的秩，则 Span(Ⅱ)=Span(Ⅲ)． 证 因为(Ⅱ)能由(Ⅲ)线性表出，所以 Span(Ⅱ)⊆Span(Ⅲ)，又由(Ⅱ)的秩等于(Ⅲ)的 秩得，dim(Span(Ⅱ))=dim(Span(Ⅲ)),从而 Span(Ⅱ)=Span(Ⅲ)． 6.设 A 是 m×n 矩阵，(Ⅱ)：{β1, β2,…, βt}是 F n的（列）向量组． ① 证明：如果(Ⅱ)线性相关，则向量组（Ⅲ）：{Aβ1,Aβ2,…,Aβt}线性相关． ② 证明：(Ⅲ)的秩≤(Ⅱ)的秩． ③ 证明：如果 A 可逆（这时 m=n），则(Ⅲ)的秩=(Ⅱ)的秩． 证 ① 如果(Ⅱ)线性相关，则存在不全为零的数 k1, k2,…, kt,使 k1β1+k2β2+…+ktβt=0 从而 k1Aβ1+k2Aβ2+…+ktAβt=A(k1β1+k2β2+…+ktβt)=0 说明（Ⅲ）：{Aβ1,Aβ2,…,Aβt}线性相关． ② 设(Ⅱ)的秩为 r,则(Ⅱ)中任意 r+1 个向量必线性相关，类似①的证明知，(Ⅲ)的任 意 r+1 个向量也线性相关，从而(Ⅲ)的秩≤r． ③ 如果 A 的逆，则将{Aβ1,Aβ2,…,Aβt}看作②中的（Ⅱ），将{A -1Aβ1, A -1Aβ2,…, A -1Aβt} 看作②中的(Ⅲ)，将 A -1看作①A，同理可证{A -1Aβ1, A -1Aβ2,…, A -1Aβt}的秩≤{Aβ1,Aβ2,…,Aβt} 的秩，即(Ⅱ)的秩≤(Ⅲ)的秩．结合②得(Ⅲ)的秩=(Ⅱ)的秩． 习题 4.5 1.设 A 是一个 m×n 矩阵，W={Aα|α∈F n}．证明：如果 A 的列秩是 r，则 dim(W)=r． 证 将 A 的 n 个列向量记分别为β1，β2，…，βn，对于任意α∈F n，α=       n k k k  2 1 ， Aα=k1β1+ k2β2+…+ knβn 说明 W=Span(β1，β2，…，βn)，所以 dim(W)=rank(β1，β2，…，βn)=r

2.求下列矩阵的秩: 02202 110-10 1-245 02-63 解①-211|-03-1,对应矩阵的秩为3 002 10-10)(1 ②|0-1-111-0-1-111-0-1-111 对应矩阵的秩为3 l101208-2-20022-1400-117 00-117 对应矩阵的秩为3. 3.求向量组{1,a2,a3的秩: ①a1=(1,2,1,3),a=(4-1,-5,6,a=(1,-3,-4,-7) ②a1=(3,-2,0,-1),a=(0,2,2,1),a=(12-3,2) 0-9-9-18-0112 1-3-4-7)(0-5-5-10)(0000 a1,a2,a3}的秩为2 21 0221022 a1,a2,a3}的秩为3. 4.证明:rank(A,B)≤rank(A+rank(B 证设矩阵A有s列,矩阵B有t列,设A的s个列向量记分别为 a},B的t 个列向量分别为B,B2,…,β},又设rank(A,rank(B=p,取{a,a2…,ax}的一个极 大线性无关组为(an,a,…,an},取{β,β,…,β}的一个极大线性无关组为{B1,B2, β3},则向量组{a,a2,…,a,β,β,…,β能由向量组{a1,a12,…,an,β1n,B2…,βn}

2.求下列矩阵的秩： ①        1 1 1 2 1 1 1 1 1 ②          1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 2 2 0 2 ③         0 2 6 3 1 10 1 2 1 2 4 5 1 2 3 4 解 ①        1 1 1 2 1 1 1 1 1 ~         0 0 2 0 3 1 1 1 1 ，对应矩阵的秩为 3． ②          1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 2 2 0 2 ~          0 2 2 0 2 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 ~          0 0 0 2 4 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 ， 对应矩阵的秩为 3． ③         0 2 6 3 1 10 1 2 1 2 4 5 1 2 3 4 ~           0 2 6 3 0 8 2 2 0 4 1 1 1 2 3 4 ~          0 0 11 7 0 0 22 14 0 2 6 3 1 2 3 4 ~         0 0 0 0 0 0 11 7 0 2 6 3 1 2 3 4 对应矩阵的秩为 3． 3. 求向量组{α1, α2,α3}的秩： ①α1=(1,2,1,3)，α2=(4,-1,-5,-6), α3=(1,-3,-4,-7) ②α1=(3,-2,0,-1)，α2=(0,2,2,1), α3=(1,-2,-3,-2) 解 ①             1 3 4 7 4 1 5 6 1 2 1 3 ~             0 5 5 10 0 9 9 18 1 2 1 3 ~       0 0 0 0 0 1 1 2 1 2 1 3 {α1, α2,α3}的秩为 2． ②            1 2 3 2 0 2 2 1 3 2 0 1 ~          0 4 9 5 0 2 2 1 1 2 3 2 ~          0 0 5 3 0 2 2 1 1 2 3 2 {α1, α2,α3}的秩为 3． 4. 证明：rank(A,B)≤rank(A)+rank(B)． 证 设矩阵 A 有 s 列，矩阵 B 有 t 列，设 A 的 s 个列向量记分别为{α1, α2,…，αs}，B 的 t 个列向量分别为{β1，β2，…，βt}，又设 rank(A)=r，rank(B)=p，取{α1, α2,…，αs}的一个极 大线性无关组为{αi1, αi2,…，αir },取{β1，β2，…，βt}的一个极大线性无关组为{βi1, βi2,…， βip},则向量组{α1, α2,…，αs，β1，β2，…，βt}能由向量组{αi1, αi2,…，αir，βi1, βi2,…，βip }

线性表出,所以rank(a,a2,…,a,β,B2,…,β)≤rank(an,a2,…,αn,βn,β2,…,βn), 而{a1,a12,…,an,β1,β12,…,βn}一共只有s+t个向量,故rank(AB)≤rank(A)rank(B) 5.证明:rank(A+B)≤rank(A)+rank(B).举例说明等号不一定总是成立 证设矩阵A和矩阵B都有n列,设A的n个列向量记分别为{a,a2,…,a},B的n 个列向量分别为(,B2,…,β},又设rank(A=r,rank(B)→p,取{a,a2…,a}的一个极 大线性无关组为(a1,a2…,an},取{,β,…,β的一个极大线性无关组为{ β3},显然向量组(a1+,a+B2…,a+B}能由向量组{a1n,u2…,α1,β1n,β12…,βn}线性 表出,所以rank(a1+B,a2+B2…,a+B)≤rank(am,a2,…,a1;B1,B2…,B),而lan,a2,…, a1n,β1,B2,…,β}一共只有r+p个向量,故rank(A+B)≤r+p=ank(A+rank(B) 设A是n×n矩阵,B=A+En,C=A-En,则rank(B,C)=n B},C的n个列向量分别为{m,,…,y,由已知B=u+e,",利,B, 证设A的n个列向量记分别为{a,u2,…,a},B的n个列向量分别为2 即E,E2,…,cn能由{β,B2,…,β,γ,γ,…,γ}线性表出,故 rank(E1,e,…,cn)≤rank(阝,β,…,β,y,y2,…,Y)≤n 而rank(E1,E2,…,En)=n,所以rank(B,C)= 7.设A是nxr矩阵,B是rⅫn矩阵,证明:如果AB=E,则rank(A)=rank(B)=r 证因为rank(A)≥rank(AB)=rank(E)=r,rank(B)≥rank(AB)= rank(E)=r 又A一共只有r列,B只有r行,所以rank(A)=rank(B)=r 8∵设A是n×n矩阵,证明:如果对任意β∈F,线性方程组AX=B都有解,则A可逆 证分别令B=e,e,…,E,根据已知条件知,AX=:存在解X",i=1,2,…,n,记 B=(X",x",…,x 则有AB=E,故A可逆 习题4. 1.设A是s×n矩阵,B是sxs矩阵,证明:线性方程AX=β的解也是线性方程组BAX=BB的 解 证设X是线性方程AX=B的任一解,即有AX'=β,代入BAX=BB的左边得 B(AX)=B=右边 所以线性方程AX=B的解也是线性方程组BAX=Bβ的解 2.设A是sxn矩阵,B是sxm矩阵.证明:矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是: ank(A=rank((A, B)) 证必要性:设矩阵方程AX=B有解,设X'=(X1,X2,,Xm)是一个解,其中X是X的列 向量,记B=(B1,B2,,Bm),B是B的列向量,则有AX=B,记X= 记A=(a1,ax2,an) k

线性表出，所以 rank(α1, α2,…，αs，β1，β2，…，βt)≤rank(αi1, αi2,…，αir，βi1, βi2,…，βip), 而{αi1, αi2,…，αir，βi1, βi2,…，βip }一共只有 s+t 个向量，故 rank(A,B)≤rank(A)+rank(B)． 5. 证明：rank(A+B)≤rank(A)+rank(B)．举例说明等号不一定总是成立． 证 设矩阵 A 和矩阵 B 都有 n 列，设 A 的 n 个列向量记分别为{α1, α2,…，αn}，B 的 n 个列向量分别为{β1，β2，…，βn}，又设 rank(A)=r，rank(B)=p，取{α1, α2,…，αn}的一个极 大线性无关组为{αi1, αi2,…，αir },取{β1，β2，…，βn}的一个极大线性无关组为{βi1, βi2,…， βip},显然向量组{α1+β1, α2+β2,…，αn+βn}能由向量组{αi1, αi2,…，αir，βi1, βi2,…，βip }线性 表出，所以 rank(α1+β1, α2+β2,…，αn+βn)≤rank(αi1, αi2,…，αir，βi1, βi2,…，βip),而{αi1, αi2,…， αir，βi1, βi2,…，βip}一共只有 r+p 个向量，故 rank(A+B)≤r+p=rank(A)+rank(B)． 6.设 A 是 n×n 矩阵，B=A+En，C=A-En，则 rank(B,C)=n． 证 设 A 的 n 个列向量记分别为{α1, α2,…，αn}，B 的 n 个列向量分别为{β1，β2，…， βn}，C 的 n 个列向量分别为{γ1，γ2，…，γn}，由已知βi=αi+εi，γi=αi-εi，从而有 εi =1/2βi-1/2γi 即ε1, ε2,…，εn能由{β1，β2，…，βn，γ1，γ2，…，γn }线性表出，故 rank(ε1, ε2,…，εn)≤rank(β1，β2，…，βn，γ1，γ2，…，γn) ≤n 而 rank(ε1, ε2,…，εn)=n，所以 rank(B,C)=n． 7.设 A 是 n×r 矩阵，B 是 r×n 矩阵，证明：如果 AB=Er，则 rank(A)=rank(B)=r． 证 因为 rank(A)≥rank(AB)=rank(Er)=r, rank(B)≥rank(AB)=rank(Er)=r, 又 A 一共只有 r 列，B 只有 r 行，所以 rank(A)=rank(B)=r． 8 *.设 A 是 n×n 矩阵，证明：如果对任意β∈F n，线性方程组 AX=β都有解，则 A 可逆． 证 分别令β=ε1, ε2,…，εn，根据已知条件知，AX=εi存在解 X (i)，i=1,2,…,n，记 B=(X (1),X (2),…, X (n)) 则有 AB=En,故 A 可逆． 习题 4.6 1.设 A 是 s×n 矩阵，B 是 s×s 矩阵，证明：线性方程 AX=β的解也是线性方程组 BAX=Bβ的 解． 证 设 X*是线性方程 AX=β的任一解，即有 A X*=β，代入 BAX=Bβ的左边得 B(A X*)=Bβ=右边 所以线性方程 AX=β的解也是线性方程组 BAX=Bβ的解． 2. 设 A 是 s×n 矩阵，B 是 s×m 矩阵．证明：矩阵方程 AX=B 有解的充分必要条件是： rank(A)=rank((A,B))． 证 必要性：设矩阵方程 AX=B 有解，设 X*=(X1, X2,…, Xm)是一个解，其中 Xi是 X*的列 向量，记 B=(β1, β2,…, βm)，βi是 B 的列向量，则有 AXi=βi，记 Xi=       in i i k k k  2 1 ．记 A=(α 1, α2,…, αn)

G是A的列向量.即有ka+ka2+.,+kmm=Bi (=1,2,m) 说明B的列向量组{B,B2,Bm)可由A的列向量组{a1,2,an}线性表出,从而矩阵(A,B) 的列向量组与矩阵A的列向量组等价,故rank(A)=ank(AB) 充分性:若rank(A=rank(A,B),则矩阵(AB)的列向量组与矩阵A的列向量组等价, 从而B的列向量组{B1,B2…,m)B1可由A的列向量组{a1,a2,an}线性表出,利用必要性的 证明过程可得矩阵方程AX=B有解 3求下列齐次线性方程组的一个基础解系,并且用它来表示解空间 x1-2x2+3x3-4x4=0 x2-x3+x4 x1+3x2+x4=0 2x1-x。=0 ②{x 2 0 x1+4x2 3+4 x1-2x2+x3-x4+x5=0 2x1+x2-x3+2x4-3x5=0 2x=0 x1-5x+为4+2x=0 解①线性方程组对应的系数矩阵为 1-23-4)(1-23-4 23-4 01 01-11 令x4=1,得ⅹ=0,x2=-1,x1=2,得基础解系 2-01 解空间为{kξk为任意常数} ②线性方程组对应的系数矩阵为 110-2-1(110-2-1(1 24-24-7)(02-28500-49-4 令x4=1,xs=0,得x=94,x2=-74,x1=15/4,得一个解

αi是 A 的列向量．即有 ki1α1+ki2α2+…+ kinαn=βi (i=1,2,…,m) 说明 B 的列向量组{β1, β2,…, βm)βi可由 A 的列向量组{α 1, α2,…, αn}线性表出，从而矩阵(A,B) 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价，故 rank(A)=rank((A,B))． 充分性：若 rank(A)=rank((A,B))，则矩阵(A,B)的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价， 从而 B 的列向量组{β1, β2,…, βm)βi可由 A 的列向量组{α 1, α2,…, αn}线性表出，利用必要性的 证明过程可得矩阵方程 AX=B 有解． 3.求下列齐次线性方程组的一个基础解系，并且用它来表示解空间． ①                3 0 0 2 3 4 0 1 2 4 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x ②                   2 4 2 4 7 0 2 0 2 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 1 2 4 5 x x x x x x x x x x x x x ③                          2 5 2 2 0 3 2 2 0 2 2 3 0 2 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 解 ①线性方程组对应的系数矩阵为          1 3 0 1 0 1 1 1 1 2 3 4 ~           0 5 3 5 0 1 1 1 1 2 3 4 ~          0 0 2 0 0 1 1 1 1 2 3 4 令 x4=1，得 x3=0，x2= -1，x1=2，得基础解系        1 0 1 2  1 解空间为{kξ1|k 为任意常数}． ② 线性方程组对应的系数矩阵为              2 4 2 4 7 1 1 2 1 0 1 1 0 2 1 ~             0 2 2 8 5 0 2 2 1 1 1 1 0 2 1 ~             0 0 4 9 4 0 2 2 1 1 1 1 0 2 1 令 x4=1，x5=0，得 x3=9/4，x2= -7/4，x1=15/4，得一个解

0 令x4=0,xs=1,得x=-1,x2=3/2,x1=-1/2,得一个解 3 个基础解系为1,ξ2 解空间为Span(51,2) ③线性方程组对应的系数矩阵为 305-34-50-1-100 204-44 2-51-22)(0-1-100)(00-800 100 00-80 0004-5 令x=1,得x4=5/4,x3=0,x2=0,x1=1/4,得一个解 005 4 也是一个基础解系,解空间为Span(21) 4.设B是一个mxr矩阵,C是一个rxt矩阵,rank(B)=r.证明:如果BC=0,则C=0 证设X=2,因为rank(B)=r,所以线性方程组BX=0的解空间的维数为0,即只 有零解.如果BC=0,说明,C的每一列都是线性方程组BX=0的解,所以C的每一列都是0 向量,从而C=0

       0 4 9 7 15  1 令 x4=0，x5=1，得 x3= -1，x2= 3/2，x1= -1/2，得一个解         2 0 2 3 1  2 一个基础解系为ξ1，ξ2． 解空间为 Span(ξ1，ξ2)． ③线性方程组对应的系数矩阵为                2 5 1 2 2 3 2 1 1 2 2 1 1 2 3 1 2 1 1 1 ~               0 1 1 0 0 0 4 4 4 5 0 5 3 4 5 1 2 1 1 1 ~              0 0 8 0 0 0 0 8 4 5 0 1 1 0 0 1 2 1 1 1 ~             0 0 0 4 5 0 0 8 0 0 0 1 1 0 0 1 2 1 1 1 令 x5=1，得 x4=5/4，x3=0，x2= 0，x1= 1/4，得一个解        4 5 0 0 1  1 也是一个基础解系，解空间为 Span(ξ1)． 4. 设 B 是一个 m×r 矩阵，C 是一个 r×t 矩阵,rank(B)=r．证明：如果 BC=0，则 C=0． 证 设        3 2 1 x x x X  ，因为 rank(B)=r，所以线性方程组 BX=0 的解空间的维数为 0，即只 有零解．如果 BC=0，说明，C 的每一列都是线性方程组 BX=0 的解，所以 C 的每一列都是 0 向量，从而 C=0．