西安石油大学：《高等代数 Advanced Algebra》精品课程教学资源（习题及答案）第三章 行列式

习题3.1 计算下列行列式: +2 ②3a-13 =(a+2)(a-5)+3=a2 ②3a-13|=(a-1)(a-1)(a+2)-3-12+2(a-1)-3(a-1)+6(a+2) 习题3.2 求从大到小的n阶排列(nn-1 1)的逆序数 解(n-1….21)=(m-1)+(m2+…+1+0=m(n= 习题3.3 1.在6阶行列式中,项a2a31a2asa1as和项aata1a5a6应各带有什么符号? 解因为a2a3a2aa1a5=a1a2a3 apass6s,而τ(4 65)=3+2+0+0+1+0=6,所以项 a2a3ala5a1a65带有正号 又因为项 aeaaauasia6a2a1a2aaa5as,而τ(452316)=3+3+1+1+0+0=8,所以项 aaea1a51a6a3带有正号 2.计算: 00 200 03000 解因为a1sa2a3a2a3的逆序数为t(54321)=5×4/2=10,带有正号,所以 00200=5×3×2×1×4=120 0100 习题3.4 计算

习题 3.1 计算下列行列式： ① 3 5 2 1   a a ② 2 1 2 3 1 3 1 2 1      a a a 解 ① 3 5 2 1   a a =(a+2)(a-5)+3=a 2-3a-7 ② 2 1 2 3 1 3 1 2 1      a a a =(a-1)(a-1)(a+2)-3-12+2(a-1)-3(a-1)+6(a+2) = a 3+2a 习题 3.2 求从大到小的 n 阶排列(n n-1 … 2 1)的逆序数． 解 τ(n n-1 … 2 1)=(n-1)+(n-2)+…+1+0= 2 n(n 1) 习题 3.3 1.在 6 阶行列式中，项 a23a31a42a56a14a65和项 a32a43a14a51a66a25应各带有什么符号？ 解 因为 a23a31a42a56a14a65=a14a23a31a42a56a65，而τ(4 3 1 2 6 5)=3+2+0+0+1+0=6，所以项 a23a31a42a56a14a65带有正号． 又因为项 a32a43a14a51a66a25=a14a25a32a43a51a66，而τ(4 5 2 3 1 6)=3+3+1+1+0+0=8，所以项 a32a43a14a51a66a25带有正号． 2.计算： 4 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 5 解 因为 a15a24a33a42a51的逆序数为τ(5 4 3 2 1)=5×4/2=10，带有正号，所以 4 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 5 =5×3×2×1×4=120 习题 3.4 计算：

246427327 1014543443 34272162 24642732724610032 246132 解1014543443=1014 443=100×1014144 342721621342 62 习题3.5 1.计算下列行列式: 0 4-35 26 7253 2041000 2 解① 9-2-10 2-10 2|0100 13-37 -5100 4-3-26-5-3100 10-7 =13237=-5× 2.计算下列n阶行列式(n≥2) 00 0 a2

342 721 621 1014 543 443 246 427 327  解 342 721 621 1014 543 443 246 427 327  = 342 100 621 1014 100 443 246 100 327  =100× 342 1 621 1014 1 443 246 1 327  =-294×10 5 习题 3.5 1.计算下列行列式： ① 3 2 7 1 4 1 2 6 2 5 1 3 1 2 0 4      ② 4 3 2 6 7 2 5 3 3 1 4 2 2 4 3 5       解 ① 3 2 7 1 4 1 2 6 2 5 1 3 1 2 0 4      = 3 4 7 13 4 9 2 10 2 1 1 11 1 0 0 0       = 4 7 13 9 2 10 1 1 11      =-726 ② 4 3 2 6 7 2 5 3 3 1 4 2 2 4 3 5       = 5 3 10 0 13 2 3 7 0 1 0 0 10 4 13 3       = 5 10 0 13 3 7 10 13 3     = 5 0 0 13 23 7 10 7 3     =-5× 23 7  7  3 =-100 2. 计算下列 n 阶行列式（n≥2）： ① b a a b a b a b 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0          ② 1 2 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 n a a a        

-1 (a-n) 1 b 00 b 0 00 a b 0 +(-1)b× 000 a+(-1)b 0 0 ②D=10 0=a-×D=1+(-1)“× n-1)(-1) 00 00 =a-D1+(-1)×(-1)" 00 =an-Dr--aa2.? an-jan-Dn-2-aaa2an-aaa2ar-? =a-an2…a2D2-anan2…a3a1…-a-an2a1a2…ant-a-aa2an3-aa2…an2

③ n n n n x x x x x x a x a a a a 1 2 3 1 2 1 1 2 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0                ④ 1 1 1 ( 1) ( ) ( 1) ( ) ( 1) ( ) 1 1 1        a a a n a a a n a a a n n n n n n n          解 ① n n b a a b a b a b  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0          = ( 1) ( 1) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0     n n a a b a b a b a          + ( 1) ( 1) 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( 1)       n n n a b b a b b b          =a n+(-1) n+1b n ② Dn= 1 2 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 n a a a         =an-1×Dn-1+(-1) n+1× 2 ( 1)( 1) 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 n n n a a         = an-1Dn-1+(-1) n+1×(-1) 1+(n-1)× 2 ( 2)( 2) 3 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0     n n n n a a a a         =an-1Dn-1-a1a2…an-2 =an-1(an-2Dn-2-a1a2…an-3)-a1a2…an-2 =an-1an-2Dn-2-an-1a1a2…an-3-a1a2…an-2 … = an-1an-2…a2D2-an-1an-2…a3a1-…-an-1an-2a1a2…an-4-an-1a1a2…an-3-a1a2…an-2

arlan- a amlan-2"aga ar-laraja2"- a2 an-3 ana2 a arlan-2a2an-an-2"a arIan-aa2ard an-a1a2 am-3 ana2"ar-2 -(a2,an-∑ 1+x1a2a3…an-1a =anx1x2…xm+xDn=a1x1X2…xm1+xn(an1xx2…xm2+x-D=2) =anx1x2…xn1+xna-1x1X2…Xm2+xnX-D2 =anX1X2…X1+xnan-X1X 2+…+xnxn-1…xa3x1x2+x2xn-1…xxJD anx1x2…xm1+xa1-1X1x2…xn2+…+x1xn1…xa3x1x2+x2xn-…x1x3[(a1+x1)x2+a2x1] (a-1) (a-1) 4D (a-1) (a-1) =(-1)2[(-1)(-2)…(-n){(-1)(-2)…[-(n-1)]}…(-1) =2!3!.,n 3.计算下列n阶行列式(n≥1) +a2 11+ 1- x3 xn x x2-a x3-a x

= an-1an-2…a2 1 1 0 1 a -an-1an-2…a3a1-…-an-1an-2a1a2…an-4-an-1a1a2…an-3-a1a2…an-2 =-an-1an-2…a2-an-1an-2…a3a1-…-an-1an-2a1a2…an-4-an-1a1a2…an-3-a1a2…an-2 =-     1 1 2 1 1 ( ... ) n i i n a a a a ③ Dn= n n n n x x x x x x a x a a a a 1 2 3 1 2 1 1 2 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0                = 1 2 1 1 1 1 ( 1) ( 1) ...        n  n n n n n a x x x x D =anx1x2…xn-1+xnDn-1=anx1x2…xn-1+xn(an-1x1x2…xn-2+xn-1Dn-2) =anx1x2…xn-1+xnan-1x1x2…xn-2+xnxn-1Dn-2 … =anx1x2…xn-1+xnan-1x1x2…xn-2+…+xnxn-1…x4a3x1x2+xnxn-1…x4x3D2 =anx1x2…xn-1+xnan-1x1x2…xn-2+…+xnxn-1…x4a3x1x2+xnxn-1…x4x3[(a1+x1)x2+a2x1] = ... ( ) 1 1 2 1  1 2 1 1      n i n n i i i n x x x x x x x a x x ④Dn+1= 1 1 1 ( 1) ( ) ( 1) ( ) ( 1) ( ) 1 1 1        a a a n a a a n a a a n n n n n n n          = n n n n n n n n a a a a a a n a a a n ( 1) ( 1) ( 1) ( ) ( 1) ( ) 1 1 1 ( 1) 1 1 1 2 ( 1)                   = ( 1) [( 1)( 2) ( )]{( 1)( 2) [ ( 1)]} ( 1) 2 ( 1)            n  n  n n =2!3!...n! 3.计算下列 n 阶行列式（n≥1）： ① n a a a a     1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 1         ② x x x x a x x x a x x x a x a x x a x x x n n n n             1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

+ a l1+ 1+0 11+a21 +a1 +a2 a2 11 0 00 =anDa1a2…an-1 a,(a,-Dn--aa, .a-2)-a,a,.a =ana-D2-ana1a2…an2-a1a2…an1 (a;≠0) x2 x2 a x-a x-ax-a x

解 ① Dn= n a a a a     1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 1         = n a a a a        1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 3 2 1         = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 1         a a a    + n a a a a         1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 3 2 1    = 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 3 2 1         a a a + nDn1 a =anDn-1-a1a2…an-1 =an(an-1Dn-2-a1a2…an-2)-a1a2…an-1 =anan-1Dn-2-ana1a2…an-2-a1a2…an-1 = n n i i i n a a a a a a a 1 2 1 1 1 1 ( )     =        n i i n a a a a 1 1 2 1  1 (ai≠0) ②Dn= x x x x a x x x a x x x a x a x x a x x x n n n n             1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 = x x x x a x x x a x x x a x a x x a x x x n n n n                 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 0 0 0

x3 x x2 X x-a xu x2 x 11x2 =xn(-a)(x1+x2+…+x)+(-a) 4.证明:n阶行列式 x y J z(x-y)"-y(x-) 22X y y 其中z≠y y y 解D=z (x-z)D--(y-x) y (x-z)Dm--(y-x)z y 0 x-y n-1)×(n-1) (x-z)Dn--(y-x)z(x-y) =(x-z)D1+z(x-y) 即有 D=(x-z)D_+z(x-y) y 又D=0zx yy=(x-y)Dr--(2-x).H

= n n n n x x x x x x x a x x x a x a x x a x x x         1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3    + x x x a x x x a x x a x a x a x x              1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 0 0 0 =xn(-a) n-1(x1+x2+…+xn)+(-a) n 4.证明：n 阶行列式 z y z x y y x z z z z z x z z x y y z x y y y x y y y y n n      ( ) ( )          其中 z≠y． 解 Dn= z z z z x z z x y y z x y y y x z y x           0  0 0 =(x-z)Dn-1-(y-x) (n1)(n1) z z z x z x y y z y y y        =(x-z)Dn-1-(y-x)z ( 1) ( 1) 1 1 1 n  n z z x x y y y y y        =(x-z)Dn-1-(y-x)z ( 1) ( 1) 1 1 0 0 1 0 0 0        n n z y z y x y x y        =(x-z)Dn-1-(y-x)z(x-y) n-2 =(x-z)Dn-1+z(x-y) n-1 即有 Dn=(x-z)Dn-1+z(x-y) n-1 (1) 又 Dn= z z z x z x y y z x x y y y x y y y y y          0 0  =(x-y)Dn-1-(z-x) (n1)(n1) z z z x z x y y y y y y       

1 1 (x-y)Dr-(z-x)y (x-y)Dr--(z-x)y(x-z) 即有D=(x-y)D+y(x-z) 联立式(1)和式(2)得 y J 二(x-y)-y(x-) 习题3. 1.设A,B,P∈Mat1x(F),并且P是可逆的,证明:如果B=PAP,则|B|=|A 证因为PP|=1,所以|B|=PAP|=|PA|P|=|A 2:仿照例3.6.1,试用分块初等变换,证明定理3.6.1. 证设A,B都是n×n矩阵,则 B B E 另一方面,对 的第2行小块矩阵乘以A加到第一行上去,有 B 0 -A AB 0 B EBE 所以AB=4B 习题 1.求下列矩阵的伴随矩阵和逆矩阵 ②634

=(x-y)Dn-1-(z-x)y ( 1) ( 1) 1 1 1 1 n  n z z z x z x y y        =(x-y)Dn-1-(z-x)y ( 1) ( 1) 0 0 0 0 1 1 1 1        n n x z x z y z y z        =(x-y)Dn-1-(z-x)y(x-z) n-2 即有 Dn=(x-y)Dn-1+y(x-z) n-1 (2) 联立式（1）和式（2）得 z y z x y y x z z z z z x z z x y y z x y y y x y y y y n n      ( ) ( )          习题 3.6 1.设 A,B,P∈Matn×n(F)，并且 P 是可逆的，证明：如果 B=P -1AP，则|B|=|A|． 证 因为|P -1||P|=1，所以|B|=|P -1AP|=|P -1||A||P|=|A|． 2 *.仿照例 3.6.1，试用分块初等变换，证明定理 3.6.1． 证 设 A，B 都是 n×n 矩阵，则 B En 0  A = A B A B A n B En n n       ( 1) 0 ( 1) 另一方面，对 B En 0  A 的第 2 行小块矩阵乘以 A 加到第一行上去，有 B En 0  A = AB B E AB n  0 所以 AB  A B ． 习题 3.7 1.求下列矩阵的伴随矩阵和逆矩阵 ①      1 1 2 1 ②       5  2  3 6 3 4 2 5 7

解①设原矩阵为A,则A1=1,A2=-1,A=1,A2=2,伴随矩阵(-1-1 ,|A|=2+1=-1 所以,A1(-1 1(12 ②设原矩阵为A,则A1 32k5 (-15+14)=1, 38,A =-41,A 34 A =-27,A23= =29,A3 =24伴随矩阵A38-4134 2 2729-24 A|=-18-84100105+16+90=-1,所以,A3、1/-1 38-4134 3841-34 2729 2924 2.证明:上三角形矩阵是可逆矩阵的充分必要条件是:它的主对角线元全不为零 证因为矩阵可逆的充分必要条件是它的行列式不为零,而上三角形矩阵的行列式等于 它的主对角线上所有元的乘积,所以上三角形矩阵的行列式不为零的充分必要条件是:它的 主对角线元全不为零,故上三角形矩阵可逆矩阵的充分必要条件是:它的主对角线元全不为 零 3.设A是n×n矩阵.证明:A是可逆的,当且仅当A'也是可逆的 证因为A=|A|E,两边取行列式得|A||A'|=|A".若A可逆,则A的行列式|A 从而有|A'|=|A|≠0,所以A可逆. 反之,若A可逆,设A的逆阵为(A).用反证法,假设A不可逆,则A的行列式|A|=0, 所以AA=|A|E=0,对AA=0两边同时右乘(A),得A=0,从而A的任一n-1阶子式必为零 故A=0,这与A可逆相矛盾,因此A可逆 4.证明定理3.7.2的推论1 推论1的描述:设A是分块对角矩阵,A=diag(A,A2,…,A),证明:A可逆当且仅当 A1,A2,…,A均可逆,并且A=diag(A1,A2,…,A3) 证A可逆,当且仅当A的行列式|A|≠0,而|A|=A1||A2|…|A,所以|A|≠0当且仅当 A1|,|A2|,…,|A|都不为零,即A1,A,…,A,均可逆.令B=diag(A1,A23,…,A,),则有 A EL A E, A 故A=diag(A1,A23,…,A)

解 ①设原矩阵为 A，则 A11=-1，A21=-1，A12=1，A22=2，伴随矩阵 A *=        1 2 1 1 ，|A|=-2+1=-1， 所以，A -1=         1 2 1 1 1 1 =      1  2 1 1 ②设原矩阵为 A，则 A11= 2 3 3 4   =-9+8=-1，A21= 2 3 5 7    =-（-15+14）=1， A31= 3 4 5 7 =20-21=-1，A12= 5 3 6 4  =38，A22= 5 3 2 7 =-41，A32= 6 4 2 7  =34， A13= 5 2 6 3 =-27，A23= 5 2 2 5  =29，A33= 6 3 2 5 =-24 伴随矩阵 A *=           27 29 24 38 41 34 1 1 1 ， |A|=-18-84+100-105+16+90=-1，所以，A -1=            27 29 24 38 41 34 1 1 1 1 1 =           27 29 24 38 41 34 1 1 1 2.证明：上三角形矩阵是可逆矩阵的充分必要条件是：它的主对角线元全不为零． 证 因为矩阵可逆的充分必要条件是它的行列式不为零，而上三角形矩阵的行列式等于 它的主对角线上所有元的乘积，所以上三角形矩阵的行列式不为零的充分必要条件是：它的 主对角线元全不为零，故上三角形矩阵可逆矩阵的充分必要条件是：它的主对角线元全不为 零． 3.设 A 是 n×n 矩阵．证明：A 是可逆的，当且仅当 A *也是可逆的． 证 因为 AA *=|A|E，两边取行列式得|A||A *|=|A| n．若 A 可逆，则 A 的行列式|A|≠0， 从而有|A *|=|A| n-1≠0，所以 A *可逆． 反之，若 A *可逆，设 A *的逆阵为(A *) -1．用反证法，假设 A 不可逆，则 A 的行列式|A|=0， 所以 AA *=|A|E=0，对 AA *=0 两边同时右乘(A *) -1，得 A=0，从而 A 的任一 n-1 阶子式必为零， 故 A *=0，这与 A *可逆相矛盾，因此 A 可逆． 4.证明定理 3.7.2 的推论 1． 推论 1 的描述：设 A 是分块对角矩阵，A=diag(A1,A2,…,As)，证明：A 可逆当且仅当 A1,A2,…,As均可逆，并且 A -1=diag(A1 -1,A2 -1,…,As -1)． 证 A 可逆，当且仅当 A 的行列式|A|≠0，而|A|=|A1||A2|…|As|，所以|A|≠0 当且仅当 |A1|，|A2|，…，|As|都不为零，即 A1,A2,…,As均可逆．令 B=diag(A1 -1,A2 -1,…,As -1)，则有 AB=       AS A A  2 1          1 1 2 1 1 As A A  =       ES E E  2 1 =E 故 A -1=diag(A1 -1,A2 -1,…,As -1)．

4设=a1a2a23是实矩阵(实数域上的矩阵,且a=1.证明:如果A的每一个元 都等于它的代数余子式,则|A|=1 证如果A的每一个元都等于它的代数余子式,则A的伴随矩阵 A'=an2a2a2=A.所以A=|A,又A'=|AlE,两边取行列式得|A|2=1A 由a3=-1,得 A|00 0|4|0 1)(00A 比较最后一个等式两端第3行3列的元素知|A|=a312+a32+1≠0,对A|2=1A|两边同时除以|A|2 得|A|=1 6.设A=(a1)是n×n可逆矩阵,有两个线性方程组 x1+a12x2+…+a1nxn=b a2,x+a2x2+.+a2nx,=b2 anr+an2x2+.+anx,=b c1x1+c2x2+…+Cnxn=l aux, t a2r2+.+a,n=C 12x1+a2x2+….+an2xn=C2 (Ⅱ) alnr, t a2nx,+.+annen=c b,x,+b,x2+.+b,x,=v 如果(I)有解.证明:当且仅当l=v时,(Ⅱ)有解 证设方程组(Ⅰ)的解为x,x2;…,x,代入方程组(I)得 aux. +aix (ⅢI) anlt tan2x, c1x+C2x+…,+CnxX=l 当l=ν时,因为A=(a)是n×n可逆矩阵,A的行列式不等于零,根据克莱姆法则,方

4.设 A=       31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a 是实矩阵（实数域上的矩阵），且 a33=-1．证明：如果 A 的每一个元 都等于它的代数余子式，则|A|=1． 证 如 果 A 的 每 一 个 元 都 等 于 它 的 代 数 余 子 式 ， 则 A 的 伴 随 矩 阵 A *=       13 23 33 12 22 32 11 21 31 a a a a a a a a a =A T．所以|A *|=|A|，又 AA *=|A|E，两边取行列式得|A| 2=|A| 3． 由 a33=-1，得 AA *=       31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a       13 23 33 12 22 32 11 21 31 a a a a a a a a a =       1 13 23 12 22 32 11 21 31 a a a a a a a a       1 13 23 12 22 32 11 21 31 a a a a a a a a =        1 2 32 2 31   a a       =       0 0 | | 0 | | 0 | | 0 0 A A A 比较最后一个等式两端第 3 行 3 列的元素知|A|=a31 2+a32 2+1≠0，对|A| 2=|A| 3两边同时除以|A| 2 得|A|=1． 6.设 A=(aij)是 n×n 可逆矩阵，有两个线性方程组 （Ⅰ）                     c x c x c x u a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b n n n n nn n n n n n n ... ... .......................................... ... ... 1 1 2 2 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 （Ⅱ）                     b x b x b x v a x a x a x c a x a x a x c a x a x a x c n n n n nn n n n n n n ... ... .......................................... ... ... 1 1 2 2 1 1 2 2 12 1 22 2 2 2 11 1 21 2 1 1 如果（Ⅰ）有解．证明：当且仅当 u=v 时，（Ⅱ）有解． 证 设方程组（Ⅰ）的解为 x1 *, x2 *,…, xn *，代入方程组（Ⅰ）得 （Ⅲ）                     c x c x c x u a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b n n n n n n n nn n n n * * 2 * 1 * * 2 * 1 2 * 2 * 22 * 21 1 * 1 * 12 * 11 ... ... .......................................... ... ... 1 2 1 2 1 2 1 2 当 u=v 时，因为 A=(aij)是 n×n 可逆矩阵，A 的行列式不等于零，根据克莱姆法则，方

程组(Ⅱ)的前n个方程作为一个线性方程组,它有唯一解,记该解为x",x2 代入方程组(Ⅱ)的前n个方程中得 (ⅣV) a,nx, +ant 对等式组(Ⅳ)中第1个等式的两端同时乘以x'第2个等式的两端同时乘以x,…,第n 个等式的两端同时乘以x然后将n各等式的左边全部相加,也将右边全部相加,并利用 (Ⅲ)式,可得 it. -Cu t cxr 由 得bx1*+b 即x”,x",…,x“也满足(Ⅱ)中最后一个方程.所以方程组(Ⅱ)有解 反之,若方程组(Ⅱ)有解,设其解为x",x2“,…,x",代入(Ⅱ)得到 a1x1+a21x2+…+an1x。=C1 ,x+b 对等式组(Ⅲ)中第1个等式的两端同时乘以x”,第2个等式的两端同时乘以x,…, 第n个等式的两端同时乘以xn",然后将n各等式的左边全部相加,也将右边全部相加,并 利用(V)式,可得 C,xI+C3x2+.+cx,=bx+bx2+.+bx 将上式左端与(V)式中最后一个等式比较,将上式右端与(Ⅲ)式中最后一个等式比较 得 7设A是n×n矩阵.证明:A=AP 证因为AA'=AE,两边取行列式得AA'=AP.如果A≠0,两边除以A,得 如果A=0,也可写成A卡=AP1,总之,有AAP1成立

程组（Ⅱ）的前 n 个方程作为一个线性方程组，它有唯一解，记该解为 x1 **, x2 **,…, xn **， 代入方程组（Ⅱ）的前 n 个方程中得 （Ⅳ）                         n n nn n n n nn n n n a x a x a x c a x a x a x c a x a x a x c a x a x a x c n n n n ** ** 2 ** 1 1 ** 1 ** 2 1 ** 1 1 2 ** 2 ** 22 ** 12 1 ** 1 ** 21 ** 11 ... ... .......................................... ... ... 1 2 1 2 1 2 1 2 对等式组（Ⅳ）中第 1 个等式的两端同时乘以 x1 *,第 2 个等式的两端同时乘以 x2 *,…, 第 n 个等式的两端同时乘以 xn *，然后将 n 各等式的左边全部相加，也将右边全部相加，并利用 （Ⅲ）式，可得 b1x1**+b2x2**+…+bnxn**=c1x1*+ c2x2*+…+ cnxn*=u 由 u=v，得 b1x1**+b2x2**+…+bnxn**=u 即 x1 **, x2 **,…, xn **也满足（Ⅱ）中最后一个方程．所以方程组（Ⅱ）有解． 反之，若方程组（Ⅱ）有解，设其解为 x1 **, x2 **,…, xn **，代入（Ⅱ）得到 （Ⅴ）                      b x b x b x v a x a x a x c a x a x a x c a x a x a x c n n n n n n n nn n n n ** ** 2 ** 1 1 ** ** 2 ** 1 2 ** 2 ** 22 ** 12 1 ** 1 ** 21 ** 11 ... ... .......................................... ... ... 1 2 1 2 1 2 1 2 对等式组（Ⅲ）中第 1 个等式的两端同时乘以 x1 **,第 2 个等式的两端同时乘以 x2 **,…, 第 n 个等式的两端同时乘以 xn **，然后将 n 各等式的左边全部相加，也将右边全部相加，并 利用（Ⅴ）式，可得 c1x1*+c2x2*+…+cnxn*=b1x1**+ b2x2**+…+ bnxn** 将上式左端与（Ⅴ）式中最后一个等式比较，将上式右端与（Ⅲ）式中最后一个等式比较， 得 u=v． 7.设 A 是 n×n 矩阵．证明：|A* |=|A|n-1 证 因为 AA*=|A|E，两边取行列式得 |A||A* |=|A|n．如果|A|≠0，两边除以|A|，得 |A* |=|A|n-1 如果|A|=0，也可写成|A* |=|A|n-1，总之，有|A* |=|A|n-1成立．