西安石油大学：《高等代数 Advanced Algebra》精品课程教学资源（试题与答案）高等代数（2）试卷4答案

一大 本科课程考试参考答案与评分标准 2006/2007学年第2学期 课程名称:高等代数(2) 考试性质:考试试卷类型:A 考试班级:信息0601-0602数学0601考试方法:闭卷命题教师:王忠义 (10分)求g(x)=x2-3x+1在基{(x-2)2(x+2)3}下的坐标 解设gx)=x2-3x+1在基{(x2)2(x+23}下的坐标为k2,即有 k3 x2-3x+1=k(x-2)2+kx(x+2)3k3 (3分) 将右边整理,并比较x的同次幂的系数得 k 4k1+k2=-3 (3分) 解线性方程组得k=1,k1=1,k3=-5/3, k 所以k2 (4分 k3(-5/3 (12分)设a1=(1,100),02=(1,0,1,1),β=(0,0,1,1),β2=(0,1,1,0) V1=Span(a1,a2),V2=Span(β,B2),求dm(V+V2)与dim(Vnv2) 解因为 BrC rank(a1, a2)=2, dim( V1)=dim(Span(al, a2)=2 A(0011 rank(β1,β2)=2,dim(V2)dim(Span(β1,β2)=2 (3分) 1100 100)(1 10110-1110-111 又因为 B B)(0110)(0 10(002 第1页共6页

第 1 页 共 6 页 本科课程考试参考答案与评分标准 2006/2007 学年第 2 学期 课程名称：高等代数(2) 考试性质：考试 试卷类型：A 考试班级：信息 0601-0602 数学 0601 考试方法：闭卷 命题教师：王忠义 一、（10 分）求 g(x)=x 2-3x+1 在基{(x-2) 2 ,(x+2),3}下的坐标． 解 设 g(x)= x 2-3x+1 在基{(x-2) 2 ,(x+2),3}下的坐标为       3 2 1 k k k ，即有 x 2-3x+1=k1(x-2) 2+k2(x+2)+ 3k3 （3 分） 将右边整理，并比较 x 的同次幂的系数得              4 2 3 1 4 3 1 1 2 3 1 2 1 k k k k k k （3 分） 解线性方程组得 k1=1，k1=1，k3= -5/3， 所以       3 2 1 k k k =       5 / 3 1 1 （4 分） 二、（12 分）设α1=(1,1,0,0)，α2=(1,0,1,1)，β1=(0,0,1,1)， β2=(0,1,1,0)． V1=Span(α1, α2)，V2=Span(β1, β2)，求 dim(V1+ V2)与 dim(V1∩V2)． 解 因为       2 1   =       1 0 1 1 1 1 0 0 →       0 1 1 1 1 1 0 0 所以 rank(α1, α2)=2, dim(V1)=dim(Span(α1, α2))=2 又       2 1   =       0 1 1 0 0 0 1 1 rank(β1, β2)=2, dim(V2)=dim(Span(β1, β2))=2 （3 分） 又因为       4 3 2 1     =       0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 →        0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 →        0 0 2 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0

乡花油大学 本科课程考试参考答案与评分标准 2006/2007学年第2学期 课程名称:高等代数(2) 考试性质:考试试卷类型:A 考试班级:信息0601-0602数学0601考试方法:闭卷命题教师:王忠义 100 (3分) 0011 000-1 所以rank(a1,a2,B1,B2)4,dm(V1+V2)=dim(Span(a1,2,B1,阝2)=4(3分) 从而dim(VnV2)=dm(V1)dm(V2)dim(V+V2)=4-4=0 (3分) 三、(10分)在V=F3中,令o(a,a,a3)=(3a-a2-3a3,a1+4a-4a3,-a-a).证明: G是V的一个线性变换 证首先σ是V上的一个变换,又 o((al, a2, a3)+(b1, b2, b3))=o(ar+b1, a2+b2, a3+b3) =(3(a1+b)(a2+b2)3(a+b)(an+b)+4(a2+b2)4(a3+b)-2(an+b1)(a+b2) =(3a1-a-3a3,an+4a24a3,-2a-a2)+(3b-b2-3b;,bn+4b2-4b3,-2b-b2) g(a 3)+o(b1,b2,b3) (5分) X o(k(al, a2, a3)=o(kal, ka2, ka3) =(3kar-ka2-3ka3, kar+4ka2-4ka3,-2kaj-ka2) k(3a1-a-3a3,an+4a2-4as,-2a-a2)=ko(a,a,a3) (5分) 所以G∈(V) 四、(12分)在F中,令oa1,a,a3)=(2a1-a3,an+4a,a-a),求在基{e,e2, e3}下的矩阵.其中e=(1,0,0),ε2=0,1,0),ε3=(0,0,1) 解o(E1)=o(1,0,0=(2,1,1)=(,e2,e)1 (3分) 0 o(e2)=o(0,1,00,0,-1)=(e,E2,e3)0 (3分) 第2页共6页

第 2 页 共 6 页 本科课程考试参考答案与评分标准 2006/2007 学年第 2 学期 课程名称：高等代数(2) 考试性质：考试 试卷类型：A 考试班级：信息 0601-0602 数学 0601 考试方法：闭卷 命题教师：王忠义 →         0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 （3 分） 所以 rank(α1, α2, β1, β2)=4, dim(V1+ V2)=dim(Span(α1, α2, β1, β2))=4 （3 分） 从而 dim(V1∩V2)= dim(V1)+dim(V2)-dim(V1+ V2)=4-4=0 （3 分） 三、（10 分）在 V=F 3中，令σ(a1，a2，a3)=(3a1-a2-3a3，a1+4a2-4a3，-2a1-a2)．证明： σ是 V 的一个线性变换． 证 首先σ是 V 上的一个变换, 又 σ((a1，a2，a3)+ (b1，b2，b3))= σ(a1+b1，a2+b2，a3+b3) =(3(a1+b1)-( a2+ b2)-3(a3+b3),( a1+b1)+4(a2+b2)-4(a3+b3),-2(a1+ b1)-( a2+ b2)) =( 3a1-a2-3a3，a1+4a2-4a3，-2a1-a2)+ (3b1-b2-3b3，b1+4b2-4b3，-2b1-b2) = σ(a1，a2，a3)+σ(b1，b2，b3) （5 分） 又 σ(k(a1，a2，a3))= σ(ka1，ka2，ka3) =(3ka1-ka2-3ka3，ka1+4ka2-4ka3，-2ka1-ka2) =k(3a1-a2-3a3，a1+4a2-4a3，-2a1-a2)=kσ((a1，a2，a3)) （5 分） 所以σ∈ℒ(V)． 四、（12 分）在 F 3 中，令σ(a1，a2，a3)=(2a1-a3，a1+4a3，a1-a2)，求σ在基{ε1，ε2， ε3}下的矩阵．其中ε1=(1,0,0)，ε2=(0,1,0)，ε3=(0,0,1)． 解σ(ε1)= σ(1，0，0)=(2,1,1)=(ε1，ε2，ε3)       1 1 2 （3 分） σ(ε2)= σ(0，1，0)=(0,0,-1)=(ε1，ε2，ε3)      1 0 0 （3 分）

安柔站大学 本科课程考试参考答案与评分标准 2006/2007学年第2学期 课程名称:高等代数(2) 考试性质:考试试卷类型:A 考试班级:信息0601-0602数学0601考试方法:闭卷命题教师:王忠义 (e3)=o(0,0,1)=(-1.4.0)=(e2.)4 (3分) G在基{B2}下的矩阵为104 (3分) 1-10 五、(12分)求矩阵-437的若尔当标准形 解: +4-2 入E-A=42-3-7 4A-3-7 12-7)(2+4-2-10 -A+34 7→03-52-104+14 (4分) 2+4-10 02-2 2+4 10 0 10 032-5x2-104+14-01x2-4A+2→01 0A-2-2+4 02-2-22+4丿(00(x-2) 4分) A的初等因子为{(2-2)},A的若尔当标准形为 0 第3页共6页

第 3 页 共 6 页 本科课程考试参考答案与评分标准 2006/2007 学年第 2 学期 课程名称：高等代数(2) 考试性质：考试 试卷类型：A 考试班级：信息 0601-0602 数学 0601 考试方法：闭卷 命题教师：王忠义 σ(ε3)= σ(0,0,1)=(-1,4,0)=(ε1,ε2,ε3)       0 4 1 （3 分） σ在基{ε1,ε2,ε3}下的矩阵为         1 1 0 1 0 4 2 0 1 （3 分） 五、（12 分）求矩阵          3 1 7 4 3 7 4 2 10 的若尔当标准形． 解： λE-A=              3 1 7 4 3 7 4 2 10    →              4 2 10 4 3 7 3 1 7    →             2 4 10 3 4 7 1 3 7    →              0 2 2 4 0 3 5 10 14 1 3 7 2       （4 分） →             0 2 2 4 0 3 5 10 14 1 0 0 2      →            0 2 2 4 0 1 4 2 1 0 0 2     →        3 0 0 ( 2) 0 1 0 1 0 0  （4 分） A 的初等因子为{(λ-2) 3}，A 的若尔当标准形为 J=       0 1 2 1 2 0 2 0 0 （4 分）

乡花油大学 本科课程考试参考答案与评分标准 2006/2007学年第2学期 课程名称:高等代数(2) 考试性质:考试试卷类型:A 考试班级:信息0601-0602数学0601考试方法:闭卷命题教师:王忠义 六、(12分)用施密特正交化的方法,将β=1,B2=2,B=3标准正交化 解正交化得a1=B1=1 (3分) 2=P2 B2,a1) 3 as=(a,a)(a2a2)23-13/ (B3,a1)(B3,a2) 0 -2(3分) 单位化得nma=3 (3分) 七、(10分)设Ⅴ是一个欧几里得空间,(Ⅱ):{n,n2,,n}是V的一个标准正交 基,设σ是V的一个线性变换,证明:如果σ在(Ⅱ)下的矩阵是实对称矩阵,则σ 是V的一个对称变换 证设o(n1,n2,m)=(n1,n2,n)A 其中A是对称矩阵,对任意a,β∈V,用基表示成为 0=(1,n2…,nn) 阝=(n,n2,,n)L (3分) o(=(n1,n2…,nn)AK (β)=(n1,n2,np)AL (3分) 第4页共6页

第 4 页 共 6 页 本科课程考试参考答案与评分标准 2006/2007 学年第 2 学期 课程名称：高等代数(2) 考试性质：考试 试卷类型：A 考试班级：信息 0601-0602 数学 0601 考试方法：闭卷 命题教师：王忠义 六、（12 分）用施密特正交化的方法，将β1=       1 1 1 ，β2=       3 2 1 ，β3=       9 3 1 标准正交化． 解 正交化得 α1= β1=       1 1 1 （3 分） α2= β2 1 1 1 2 1 ( , ) ( , )      =       3 2 1        1 1 1 3 6 =       1 0 1 （3 分） α3= β3 1 1 1 3 1 ( , ) ( , )      2 2 2 3 2 ( , ) ( , )       =       9 3 1        1 1 1 3 13        1 0 1 2 8 =       1 2 1 3 2 （3 分） 单位化得 η1= 1 1 1   =       1 1 1 3 1 η2= 2 2 1   =       1 0 1 2 1 η3= 3 3 1   =       1 2 1 6 1 （3 分） 七、（10 分）设 V 是一个欧几里得空间，（Ⅱ）：{η1, η2,..., ηn}是 V 的一个标准正交 基，设σ是 V 的一个线性变换，证明：如果σ在（Ⅱ）下的矩阵是实对称矩阵，则σ 是 V 的一个对称变换． 证 设σ(η1, η2,..., ηn)= (η1, η2,..., ηn)A 其中 A 是对称矩阵，对任意α，β∈V，用基表示成为 α= (η1, η2,..., ηn)K β= (η1, η2,..., ηn)L （3 分） σ(α)= (η1, η2,..., ηn)AK σ(β)= (η1, η2,..., ηn)AL （3 分）

乡花油大学 本科课程考试参考答案与评分标准 2006/2007学年第2学期 课程名称:高等代数(2) 考试性质:考试试卷类型:A 考试班级:信息0601-0602数学0601考试方法:闭卷命题教师:王忠义 由于{n,n2,n}是V的一个标准正交基,内积(,)在其下的度量矩阵是E,所 以 (o(a) B(AK)L=KTAL=KTAL (a,(β)=K(AL)=(o(a),β) (4分) 即σ是V的一个对称变换 八、(14分)设A=031,求正交矩阵P,使得PAP是对角矩阵(要求写出对 角矩阵) 2-400 解|EA=02-3-1|=(x20-4)2 得入1=2,2=3=4,解方程组(2E-A)X=0, (3分) 200丫x1)(0 0 得ξ 3分) 解方程组(4E-A)X=0 000 (3分 以上特征向量已经两两正交,令 1,P2=0,R32 (3分) 0 则矩阵P=(P,P2P,使PAP=040 (2分) 第5页共6页

第 5 页 共 6 页 本科课程考试参考答案与评分标准 2006/2007 学年第 2 学期 课程名称：高等代数(2) 考试性质：考试 试卷类型：A 考试班级：信息 0601-0602 数学 0601 考试方法：闭卷 命题教师：王忠义 由于{η1, η2,..., ηn}是 V 的一个标准正交基，内积（，）在其下的度量矩阵是 E，所 以 (σ(α), β)=(AK)TL=KTATL=KTAL (α, σ(β))=KT (AL)= (σ(α), β) （4 分） 即σ是 V 的一个对称变换． 八、（14 分）设 A=       0 1 3 0 3 1 4 0 0 ，求正交矩阵 P，使得 P -1AP 是对角矩阵（要求写出对 角矩阵）． 解 |λE-A|= 0 1 3 0 3 1 4 0 0         =(λ-2)(λ-4) 2 得λ1=2，λ2=λ3=4，解方程组(2E-A)X=0， （3 分） 即                         0 0 0 0 1 1 0 1 1 2 0 0 3 2 1 x x x 得 ξ1=      1 1 0 （3 分） 解方程组(4E-A)X=0 即                      0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 3 2 1 x x x 得 ξ2=       0 0 1 ，ξ3=       1 1 0 （3 分） 以上特征向量已经两两正交，令 P1=      1 1 0 2 1 ，P2=       0 0 1 ，P3=       1 1 0 2 1 （3 分） 则矩阵 P=(P1,P2,P3),使 P -1AP=       0 0 4 0 4 0 2 0 0 （2 分）

资石油大 本科课程考试参考答案与评分标准 2006/2007学年第2学期 课程名称:高等代数(2) 考试性质:考试试卷类型:A 考试班级:信息0601-0602数学0601考试方法:闭卷命题教师:王忠义 九、(8分)设σ∈(V),dim(V=n,设W是一个G子空间,并且dim(W)=n-1.证 明:G有特征值 的E“设,B…Bn是W的一个基,将其扩充为的一个基{B,B,, W是一个σ子空间,所以o在基{β1,B2,Bn}下的矩阵有如下形式 B 0 其中Bn1是n阶方阵,a是数字,特征多项式为 f()= PEn-A=JLEn-BI n-al 显然A有特征值a,即σ有特征值. 第6页共6页

第 6 页 共 6 页 本科课程考试参考答案与评分标准 2006/2007 学年第 2 学期 课程名称：高等代数(2) 考试性质：考试 试卷类型：A 考试班级：信息 0601-0602 数学 0601 考试方法：闭卷 命题教师：王忠义 九、（8 分）设σ∈ℒ (V)，dim(V)=n,设 W 是一个σ子空间，并且 dim(W)=n-1．证 明：σ有特征值． 证 设{β1, β2,..., βn-1}是 W 的一个基，将其扩充为 V 的一个基{β1, β2,..., βn}， 由于 W 是一个σ子空间，所以σ在基{β1, β2,..., βn}下的矩阵有如下形式 A=         a Bn n 0 1  1 其中 Bn-1是 n 阶方阵，a 是数字，特征多项式为 f(λ)= |λEn-A|=|λEn-B| |λ-a| 显然 A 有特征值 a，即σ有特征值．