本科课程考试参考答案与评分标准 200/200学年第学期 课程名称:高等代数(1) 考试性质:考试试卷类型 考试班级 考试方法:闭卷命题教师: (12分,每小题6分)计算行列式 a b 0 -204 00 (1)D2-51-3 41-26 (2)Dn=/00 00 0 bb 解:(1)D4=706 (2)Da=a"+(-1)+b (12分)解矩阵方程AX=B,其中 01 A 2-1 1/31/3-1/3 解:A1161/626 (6分) 2/3-1/31/3 X1/61/6 /3-1/3 2: 1/31/65/6 (6分) 4/3-1/34/3 三、(12分)讨论ab取什么值时下面的线性方程组无解,有惟一解,有无穷多 解 x1+x2-X3=2 x1+2x2+x3= 解:增广矩阵为B121301 1a25b 0a24 当a≠2且a≠-2时,方程组有唯一解 分) 当a=2或a=2,但b≠0时,方程组无解 (4分) 当a=2或a-=2,且b=0时,方程组有无穷多解 (4分) 第1页共3页
第 1 页 共 3 页 本科课程考试参考答案与评分标准 200/200 学年第 学期 课程名称：高等代数(1) 考试性质：考试 试卷类型： 考试班级： 考试方法：闭卷 命题教师： 一、（12 分，每小题 6 分）计算行列式 (1) D4=| 1 -2 0 4 2 -5 1 -3 4 1 -2 6 -3 2 7 1 | (2) Dn=| a b 0 ┅ 0 0 0 a b ┅ 0 0 0 0 a ┅ 0 0 ┆ ┆ ┆ ┆ ┆ 0 0 0 ┅ a b b 0 0 ┅ 0 a | 解：（1）D4=-706 （2）Dn=a n+ (-1) n+1 b n 二、（12 分）解矩阵方程 AX=B，其中 A= 1 0 1 1 2 -1 -1 2 0 B= 1 0 2 -1 1 1 1 0 1 解：A-1= 1/3 1/3 -1/3 1/6 1/6 2/6 2/3 -1/3 1/3 (6 分) X= 1/3 1/3 -1/3 1/6 1/6 2/6 2/3 -1/3 1/3 1 0 2 -1 1 1 1 0 1 = -1/3 1/3 2/3 1/3 1/6 5/6 4/3 -1/3 4/3 (6 分) 三、（12 分））讨论 a,b 取什么值时下面的线性方程组无解，有惟一解，有无穷多 解？ x1+x2-x3=2 x1+2x2+x3=3 x1+x2+(a 2-5)x3=b 解：增广矩阵为 B3= 1 1 -1 2 1 2 1 3 1 1 a 2-5 b ~ 1 1 -1 2 0 1 2 1 0 0 a 2-4 b-2 当 a≠2 且 a≠-2 时，方程组有唯一解 ． （4 分） 当 a=2 或 a=-2，但 b≠0 时，方程组无解． （4 分） 当 a=2 或 a=-2，且 b=0 时，方程组有无穷多解． （4 分）
四、(12分)判别向量组α=(0,0,2,3),2=(1,2,34),3=(1,2,1,1),a=(1,0,10)是否线 性相关,并求a1,2,a3,a4的一个极大线性无关组 3/21/21 000-2 (6分) 由于向量组α1,α2,ω3,4的秩为3,且等价的阶梯形矩阵前3行的1,2,4列构成的 3阶子式不为0,所以a,2,a4是a,a2,a3,a4的一个极大线性无关组 (6分) 五、(12分)判别下列方程组是否有解,若有解,求出其通解 2x1+x2-x3+x4=1 2x1+x2-x3-X=1 解增广矩阵为 n21-11np1-1 n11/2-1/201/2 B=42-2121000 000 0 (4分) 0000 +1/2x2-1/2x3=12 对应的同解方程为 (2分) 令 (6分) 六、(12分)求下面实二次型的正惯性指数和负惯性指数 f(x1,x2,x)=x12+4x1x2+2x1x+4x2+4x2x+3 解f=(x1+2x2+x)2+2x2 (4分) 1=x1+2x2+x3 = y1-2y2-y3 y2=X2 即{x2=y2 y3=X3 X3=y3 得f=y (2分) 次型的正惯性指数为2,负惯性指数为0 (2分) 七、(14分,每小题7分)证明题 (1)设B是一个mxr矩阵C是一个rxt矩阵,rank(B)=r,证明:如果BC=0,则 C=0 (2)证明:rank(A,B)≤rank(A+rank(B) 证(1)记 由于rank(B=,所以线性方程组BX=0的基础解系含rr=0 个非零解向量,即线性方程组只有零解.如果BC=0,说明C的每一列向量都是BX=0 第2页共3页
第 2 页 共 3 页 四、（12 分）判别向量组α1=(0,0,2,3), α2=(1,2,3,4)，α3=(1,2,1,1)，α4=(1,0,1,0)是否线 性相关，并求α1, α2, α3, α4的一个极大线性无关组． 解 0 1 1 1 0 2 2 0 2 3 1 1 3 4 1 0 ~ 1 3/2 1/2 1/2 0 1 1 1 0 0 0 -2 0 0 0 0 （6 分） 由于向量组α1, α2, α3, α4的秩为 3，且等价的阶梯形矩阵前 3 行的 1，2，4 列构成的 3 阶子式不为 0，所以α1, α2, α4是α1, α2, α3, α4的一个极大线性无关组． （6 分） 五、（12 分）判别下列方程组是否有解，若有解，求出其通解． 2x1+x2-x3+x4=1 4x1+2x2-2x3+x4=2 2x1+x2-x3-x4=1 解 增广矩阵为 B= 2 1 -1 1 1 4 2 -2 1 2 2 1 -1 -1 1 ~ 2 1 -1 1 1 0 0 0 -1 0 0 0 0 -2 0 ~ 1 1/2 -1/2 0 1/2 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 （4 分） 对应的同解方程为 x1+1/2x2-1/2x3=1/2 x4=0 （2 分） 令 x2=c1,x3=c2得 x1 x2 x3 x4 = 1/2 0 0 0 +c1 -1/2 1 0 0 c2 1/2 0 1 0 （6 分） 六、（12 分）求下面实二次型的正惯性指数和负惯性指数． f(x1, x2,x3)= x1 2+4x1 x2+2 x1x3+4x2 2+4 x2 x3+3x3 2 解 f=( x1+2x2+x3) 2+2x3 2 （4 分） 令 y1= x1+2x2+x3 y2=x2 y3= x3 即 x1=y1-2y2-y3 x2=y2 x3=y3 （4 分） 得 f=y1 2+2y3 2 （2 分） 二次型的正惯性指数为 2，负惯性指数为 0 （2 分） 七、（14 分，每小题 7 分）证明题 （1）设 B 是一个 mr 矩阵,C 是一个 rt 矩阵，rank(B)=r，证明：如果 BC=0,则 C=0． （2）证明：rank((A,B))≤rank(A)+rank(B)． 证（1）记 X= x1 x2 ┆ xr ，由于 rank(B)=r，所以线性方程组 BX=0 的基础解系含 r-r=0 个非零解向量，即线性方程组只有零解．如果 BC=0,说明 C的每一列向量都是 BX=0
的解,而BX=0只有零解,所以C的每一列都是零向量,从而C=0 (2)记A=(a1,a2,.),B=(B1,B2,B),这里{a1,a2,as}是A的列向量组,{β β2,…,D}是B的列向量组.设{a.a2,,as}的秩为r,它的一个极大线性无关组为 a2…};设{BB2,…}的秩为p,它的一个极大线性无关组为 则向量组{1,α2,…,asB,β2,…,β}能由向量组 {a12…,04B1B2…B2}线性表示,所以{,a2,…aB,B2…,B的秩≤ {102…,B1,B2…,Bn}的秩.从而ran(AB)≤rank( A)+rank(B) 八、(14分,每小题7分)简答题 (1)所有偶数所成的数集能否构成一个数域?所有奇数呢?说明理由 (2)简述n维向量组的“秩”与n维向量子空间的“维数”这两个概念的区别 与联系 答:(1)所有偶数所成的数集不能构成一个数域,因为2÷4不是偶数;所有奇数 所成的数集也不能构成一个数域,因为1÷3不是奇数 (2)n维向量组的“秩”是指该向量组的极大线性无关组所含向量的个数;n维 向量子空间的“维数”是指该子空间的基所含向量的个数.将子空间看作一个含 无穷多个向量的向量组,那么它的一个基也是它的一个极大线性无关组.但一般 向量组的极大线性无关组不能称为向量组的一个基 第3页共3页
第 3 页 共 3 页 的解，而 BX=0 只有零解，所以 C 的每一列都是零向量，从而 C=0． （2）记 A=(α1, α2,…, αs)，B=(β1, β2,…, βt)，这里{α1, α2,…, αs}是 A 的列向量组，{β1, β2,…, βt}是 B 的列向量组．设{α1,α2,…,αs}的秩为 r,它的一个极大线性无关组为 {αi1 , αi2 ,…, αi r} ; 设 {β1,β2,…,βt} 的 秩 为 p, 它 的 一 个 极 大 线 性 无 关 组 为 {βj1 , βj2 ,…, βjp} ， 则 向 量 组 {α1, α2,…, αs ,β1, β2,…, βt} 能 由 向 量 组 {αi1 ,αi2 ,…, αi r ,βj1 , βj2 ,…, βjp} 线性表示，所以{α1, α2,…, αs ,β1, β2,…, βt}的秩≤ {αi1 ,αi2 ,…, αi r ,βj1 , βj2 ,…, βjp} 的秩．从而 rank((A,B))≤rank(A)+rank(B)． 八、（14 分，每小题 7 分）简答题 (1) 所有偶数所成的数集能否构成一个数域？所有奇数呢？说明理由． (2) 简述 n 维向量组的“秩”与 n 维向量子空间的“维数”这两个概念的区别 与联系． 答：（1）所有偶数所成的数集不能构成一个数域，因为 2÷4 不是偶数；所有奇数 所成的数集也不能构成一个数域，因为 1÷3 不是奇数． （2）n 维向量组的“秩”是指该向量组的极大线性无关组所含向量的个数；n 维 向量子空间的“维数” 是指该子空间的基所含向量的个数．将子空间看作一个含 无穷多个向量的向量组，那么它的一个基也是它的一个极大线性无关组．但一般 向量组的极大线性无关组不能称为向量组的一个基．