线性代数电子课件 西安石油大学理学院 工程数学教研室制作
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第十七讲向量空间的基与维数 向量空间的定义 向量空间的基与维数 坐标及坐标变换
第十七讲 向量空间的基与维数 • 向量空间的定义 • 向量空间的基与维数 • 坐标及坐标变换 • 小结
向量空间的定义 定义37设是由一些n维向量组成的集合,如果V非空 且集合对于加法及数乘两种运算封闭,则称集合V为 向量空间。 由n维向量的全体所组成的集合R是一个向量空间 仅由零向量组成的集合也是一个向量空间 集合V1={0,x2,X3…xn)x2x32…xn∈R} Va,B∈V1,O=(0,x2x32…,Xn),B=(0,y2y32…yn) a+B=(0,x2+y2x3+y32…;Xn+yn) ∨k∈R,ka=(0,kx2kx3…,kxn),故V是向量空间
一、向量空间的定义 定义3.7 设V是由一些n维向量组成的集合，如果V非空， 且集合V对于加法及数乘两种运算封闭，则称集合V为 向量空间。 由n维向量的全体所组成的集合Rn是一个向量空间。 仅由零向量组成的集合也是一个向量空间。 （ ， 故 是向量空间。 （ ， （ ， （ ， 集合 （ ， 2 3 n 1 2 2 3 3 n n 1 2 3 n 2 3 n 1 2 3 n 2 3 n k R,k 0 kx ,kx , ,kx ), V 0 x y , x y , , x y ) , V , 0 x , x , , x ), 0 y , y , , y ), V { 0 x , x , , x )| x , x , , x R}
集合2={(x1,x2,x32;X)x1+x2+…+xn=0x,x2x3…,xn∈R} Va,BEV,a=(x, X2, x3, ,x),B=y, y2,y3,,y,), a+B=(X, +y1, x2+y2, x3+y3,,x+y,) X1+x2+…+xn=02y1+y2+…+yn=0 (x12+y1)+(x2+y2)+(x3+y3)+…+(xn+yn)=0 k∈Rka=(kx,kx2kx2kx) kx+kx+kx+…+kxn=k(x1+x2+…+xn)=k0=0 故V是向量空间
故 是向量空间。 （ ， （ （ （ 集合 （ 1 1 2 3 n 1 2 n 1 2 3 n 1 1 2 2 3 3 n n 1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 3 3 n n 2 1 2 3 n 1 2 3 n 2 1 2 3 n 1 2 n 1 2 3 n V kx kx kx kx k(x x x ) k0 0 k R,k kx kx ,kx , ,kx ), (x , y ) (x y ) (x y ) (x y ) 0 x x x 0,y y y 0 x , y ,x y ,x y , ,x y ) , V, x ,x ,x , ,x ), y ,y ,y , ,y ), V { x ,x ,x , ,x )|x x x 0,x ,x ,x , ,x R}
集合V3={(,x2Xx3…;X)x2x3…;Xn∈R a,B∈V2a=(1,x2,x32…,X),B=(,y2,y32…,yn a+ β=②2,x2+y2x3+y32…xn+yn)≠Ⅴ Vk≠1ka=(k,kx2,kx3…;kxn)≠V2故V不是向量空间 集合V={(x1x2x3…x)x1+X2+…+xn=12x1,x2x2…;xn∈R ya,P∈v4, VC=(x,X、X2…,X B=(y12y2 n aB=(x1,+y12x2+y2x3+y3;…2xn+yn) X1+X2+…+Xn=1,y1+y2+…+yn=1 (x12+y1)+(x2+y2)+(X3+y3)+…+(xn+yn)=1+1=2 Vk∈R,且≠1ka=(kx1,kx2kx3;…kx1) kx1+kx2+kx3+…+kxn=k(x1+x2+…+xn)=kl=k 故V不是向量空间
（ ， 故 不是向量空间。 （ ， （， （， 集合 （， 2 3 n 3 3 2 2 3 3 n n 3 3 2 3 n 2 3 n 3 2 3 n 2 3 n k 1,k k kx ,kx , ,kx ) V , V 2 x y ,x y , ,x y ) V , V , 1 x ,x , ,x ), 1 y ,y , ,y ), V { 1 x ,x , ,x )| x ,x , ,x R} 故 不是向量空间。 且 （ ， （ （ （ 集合 （ 4 1 2 3 n 1 2 n 1 2 3 n 1 1 2 2 3 3 n n 1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 3 3 n n 4 1 2 3 n 1 2 3 n 4 1 2 3 n 1 2 n 1 2 3 n V kx kx kx kx k(x x x ) k1 k k R, k 1,k kx kx ,kx , ,kx ), (x , y ) (x y ) (x y ) (x y ) 1 1 2 x x x 1,y y y 1 x , y ,x y ,x y , ,x y ) , V , x ,x ,x , ,x ), y ,y ,y , ,y ), V { x ,x ,x , ,x )| x x x 1,x ,x ,x , ,x R}
例3.10设α,是两个给定的n维向量,试证集合 L={2a+1|,∈R}是一个向量空间 证:设5=a+H1B∈L,m=2+2B∈L, 2+n=(4a+1B)+(2a+2B) =(A1+A2)a+(1+42)B∈L ks=k(na+uB)=(kma+(kuBEL 所以L是一个向量空间 更一般地,若 1>a2 α是s个给定的n维向量, 则集合{11+122+…+1、、|1,2、∈R} 是一个向量空间,称之为由a12a2…a、生成的 向量空间,记为L(a12a2…;a。)
， 是一个向量空间。 例 设 是两个给定的 维向量，试证集合 L { | R} 3.10 , n 所以 是一个向量空间。 （ ） （ 则 （ ）（ ） 证：设 ， ， L k k ( ) (k ) (k ) L ) L L L 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 L( , , , ) , , , , { | , , , R} , , , s n 1 2 s 1 2 s 1 1 2 2 s s 1 2 s 1 2 s 向量空间，记为 是一个向量空间 称之为由 生成的 则集合 更一般地，若 是 个给定的 维向量
定义38设V及V2都是向量空间,若VcV2 则称V是V的子空间。 任意一个向量空间V至少有两个子空间, 个是它本身,一个是零子空间。 我们称这两个子空间为V的平凡子空间, 而将Ⅴ的其他子空间称为非平凡子空间。 本讲开始的向量空间V1,V2显然是R的非平凡子空间 V1={0,x2,x32…,Xn)x2x32Xn∈R} V2={(x1x2x32;X)x1+x2+…+xn=0,x12X2x32xn∈R}
则称 是 的子空间。 定义 设 及 都是向量空间，若 1 2 1 2 1 2 V V 3.8 V V V V 而将 的其他子空间称为非平 凡子空间。 我们称这两个子空间为 的平凡子空间， 一个是它本身，一个是 零子空间。 任意一个向量空间 至少有两个子空间， V V V 本讲开始的向量空间V1，V2显然是Rn的非平凡子空间。 V { 0 x , x , , x )| x , x , , x R} 1 （ ， 2 3 n 2 3 n V { x ,x ,x , ,x )|x x x 0,x ,x ,x , ,x R} 2 （ 1 2 3 n 1 2 n 1 2 3 n
二、向量空间的基和维数 定义39设V为向量空间,如果ⅴ中的r个向量满足: (1)ax1,ax2…a1线性无关, (2)Ⅳ中任何一个向量都可由a,a2…;a线性表示, 那么,向量组a,a2;,就称为向量空间V的一个基 称r为向量空间的维数,记为dimV=r,称Ⅴ为r维向量空间 规定零子空间的维数为零。 除零子空间外,任意一个向量空间都有基 定理311设向量a1,aa,…,an是向量组 ,a的最大无关组,则 (1)L(a1,a2,…,a3)=L(an,aa,……,an) (2)dimL(ax1,a2,…,a)=R(a1,a2
二、向量空间的基和维数 称 为向量空间的维数，记为 称 为 维向量空间。 那么，向量组 就称为向量空间 的一个基。 中任何一个向量都可由 线性表示， 线性无关， 定义 设 为向量空间，如果 中的 个向量满足： r dimV r, V r , , , V (2)V , , , (1) , , , 3.9 V V r 1 2 r 1 2 r 1 2 r 规定零子空间的维数为零。 除零子空间外，任意一个向量空间都有基。 (2)dimL ( ) R ( ) r. (1)L ( ) L ( ), 3.11 1 2 s 1 2 s 1 2 s i1 i2 ir 1 2 s i1 i2 ir ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的最大无关组，则 定理 设向量 ， ， ， 是向量组
证(1)∵{a1,a2;…,a}→{a 15i2 12 }→L{a1,aa2;…;ar 又因为{a1,a2…,a}~{1,2…am} 由线性表示的传递性, 凡是a1,a2;…,a的线性组合, 也可以表示成a12C12…C1的线性组合 Lia 1502y SCAi,a2, ,air) 故L(1,a2,…,O、}=L{a1,2am}
证 L{ , , , } L{ , , , } (1) { , , , } { , , , } 1 2 s i1 i2 ir 1 2 s i1 i2 ir L{ , , , } L{ , , , } L{ , , , } L{ , , , } , , , , , , { , , , } ~ { , , , } 1 2 s i1 i2 ir 1 2 s i1 i2 ir i1 i2 ir 1 2 s 1 2 s i1 i2 ir 故 也可以表示成 的线性组合。 凡是 的线性组合， 由线性表示的传递性， 又因为
(2)因为an,aa,ar线性无关, 且L{an,a…,an}中的任一向量 可表示成a1,aa,,am的线性组合, 所以an,aa…,αi是向量空间 L{a1,a2…as}的一个基,于是 dimli a,a2,,as=r=Ri a, a C 如果向量空间V的维数为r,则V中任意r个线性无关的向 量就组成V的一个基。 向量组a1,a2,,a,是向量空间V的一个基, 则V可表示为 V={λ1a1+22+……+x,ar|1,x2,…,λr∈R}
dimL{ , , , } r R{ , , , } L{ , , , } , , , , , , L{ , , , } ( 2 ) , , , 1 2 s 1 2 s 1 2 s i1 i2 ir i1 i2 ir i1 i2 ir i1 i2 ir 的一个基，于是 所以 是向量空间 可表示成 的线性组合， 且 中的任一向量 因为 线性无关， 如果向量空间V的维数为r，则V中任意r个线性无关的向 量就组成V的一个基。 V { | , , , R }. V , , , V 1 1 2 2 r r 1 2 r 1 2 r 则 可表示为 向量组 是向量空间 的一个基