线性代数重点难点30讲 第30讲判定二次型及其矩阵 正定性的方法与技巧 在第16讲中,我们重点地讨论了化二次型为标准形的基本方法,本讲集中讨论二次型 理论中的难点问题一二次型和矩阵的正定性的判定方法 所谓二次型是指含有n个变量x1,x2,…,xn的二次齐次函数 f( 2aaa ( a21a22 若令 A= 则二次型∫可改写成矩阵向量形式f(x1,…,xn)=xAx,其中A称为二次型的矩阵,因为 an=a(i,j=1,2,…,n),所以二次型的矩阵A均为对称矩阵,且二次型与对称矩阵一一 对应,并把矩阵A的秩称为二次型的秩 如果实二次型f(x1,…,x,)=x2Ax,对任意一组不全为零的实数x=(x1,x2 xn)2,都有f(x1,…,xn)=xAx>0,则称该二次型为正定二次型,正定二次型的矩阵A 称为正定矩阵(参考第14讲) 例1设A,B为同阶实对称阵,且A与B都正定,试证A+B,kA(k>0)也正定 证由A与B对称知(A+B)=A+B1=A+B,所以A+B也是实对称矩阵,又 A、B正定,对于任意非零向量x,恒有xAx>0,x2Bx>0,从而有 x(A+B)x=x Ax +x Bx >0,x'(kA)x= kx'Ax>0, 故由定义知A+B,kA正定 例2证明:若A是正定矩阵,则A也是正定矩阵 证因为A正定,所以1A1>0,从而A存在,且对任何y=(y1,y2,…,yn)≠0 恒有yAy>0,于是 xAx=xIAAx=laixa x=aix A AAx I AIx(A)AAr=lAIx(A)AAx 1A1(A-x)A(Ax)(这里用到了A的对称性) 因为A可逆,当x≠0时,y=Ax≠0,从而对任何x≠0, FTAx=IAI yAy>0
笫30讲判定二次型及其矩阵正定性的方法与技巧 183 根据定义知,A·是正定矩阵 例3设A为m阶实对称矩阵且正定,B为m×n实矩阵B为B的转置矩阵,试证: BTAB为正定矩阵的充要条件是B的秩R(B)=n, 证必要性设BTAB为正定矩阵则对任意的实n维列向量x≠0,有x2(BAB)x> 0,即(Bx)A(Bx)>0,于是Bx≠0,因此线性方程组Bx=0只有零解,从而其系数行列式 B的秩R(B)=n 充分性因(BAB)=BAB=BAB,即BAB为实对称矩阵若秩(B)=n,则线 性方程组Bx=0只有零解,从而任意实n维列向量x≠0,有Bx≠0.又A为正定矩阵,所 以对于Bx≠0,有(Bx)A(Bx)>0,于是当x≠0时,x(BAB)x>0,故BAB为正定 矩阵 例4证明:若实二次型f(x1,…,xn)= 了分4x中某一个平方项ax2的系数 ≤0,则f(x1,…,xn)不是正定二次型 证因为存在不全为零的n个实数x1=0,…,x1=0,x=1,x1=0,…,x=0, 使f(0,…0,1,0,…,0)=a≤0,所以由定义知f不是正定的二次型 注意本例给出了非正定二次型的判别条件:二次型中某一平方项的系数小于或等于 零则该二次型非正定;或从二次型的矩阵来看,主对角线上的元素存在小于或等于零的元 素,此矩阵为非正定矩阵但可以举例证明其逆不真就是说即使方阵A的主对角线上的元 素都大于零,也不能保证A一定是正定矩阵如 不是正定矩阵,事实上有1A1=-3 然而容易证明:若A为正定矩阵,则A的主对角线上元素an>0,=1,2,…,n 例5判定二次型f=∑x2 xx属于哪一种类型(正定负定还是半正定 证先用完全平方和公式可把二次型∫化为一些项的平方和形式,再根据二次型正定 的定义来判断 f=x1+x3+…+x2+x1x2+x2x3+…+xn-1x (2x2+2x2+…+2x2+2x1x2+2x2x3+…+2x2-1xn) 1[x2+(x1+x2)2+(x2+x3)2+…+(xn1+xn)2+x2]≥0 若f=0,则有x1=0,x1+x2=0,x2+x3=0,…,xn1+xn=0,x,=0,即有x =x2=…=xn=0;所以,对任意的非零向量x=(x1,x2,…,xn),总有f>0,依定义 知f是正定的
线性代数重点难点30讲 二次型的正定性除了用定义外还常用下面的充要条件来判别 设二次型f(x,…,xn)=xAx,则下列命题等价 (1)A为正定矩阵,即f为正定二次型 (2)A合同于单位矩阵E,即f(x1…,x)的正惯性指数为n,其规范形为 (3)A的特征值全大于零即存在正交矩阵Q,使 2 AQ=QAQ >0(i=1,2,…,n) A (4)A的所有顺序主子式全大于零 (5)存在可逆矩阵P使A=PTP 例6实二次型f(x1,…,xn)=x2Ax为正定的充要条件是() (A)|A|>0 (B)存在n阶可逆矩阵C,使A=CC; (C)负惯性指数为零;(D)对某一x=(x1,…,x,)≠0,有xAx>0. 解(A),(C),(D)均只是∫正定的必要条件,但不是充分条件,对任意x≠0,C为可 逆矩阵故Cx≠0,从而f=xAx=x2CCx=(Cx)Cx>0,说明∫是正定的,故(B) 为正确答案 例7n阶实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是( (A)所有k级子式为正(k=1,2,…,n);(B)A的所有特征值非负; (C)A-1为正定矩阵; (D)秩(A)=n 解(A)是充分但非必要条件,(B)、(D)是必要而非充分条件,只有(C)为正确选项 事实上设A的特征值为A,…,入,则A的特征x,因A1正定,故>0(i =1,2,,n),从而A>0(i=1,2,…,n),即A正定 注:由本例知.A正定曰A1正定,由例1知A正定kA(k>0)正定,从而得A正定 A=1A1A·正定 例8设A正定,试证A”也正定(m为正整数) 证由于A为正定矩阵,则A"是可逆实对称矩阵,当m=2k时,A"=A2=AEA (A)EA,可见A与单位矩阵E合同,即A"为正定矩阵;当m=2k+1时,Am A2=(A2)A(A4),由此知A"与A合同,又已知A与E合同,所以A"与E合同,即A 是正定矩阵(这里,多次用到了上述等价命题) 例9设A为n阶实对称矩阵,且A3-3A2+5A-3E=O,证明A正定 证只要证明A的全部特征值大于零.设是A的任一特征值,对应特征向量为x≠0
第30讲判定二次型及其矩阵正定性的方法与技巧 185· 即Ax=x,代人已知等式A3-3A2+5A-3E=O,得 (A3-3A2+5A-3E)x=(x3-32+5A-3)x=0, 因x≠0,故λ满足A3-32+5A-3=0.解得入=1或入=1±2i因A为实对称矩阵 其特征值一定为实数,故只有λ=1,即A的全部特征值就是λ=1>0,这就证明了A是 正定矩阵 例10设A是n阶正定矩阵,E是n阶单位矩阵,证明E+A的行列式大于1 证法1因为A为正定矩阵,不妨设A的特征值分别为A1,A2,…,,且λ>0,;=1, 2,…,n,则A+E的特征值分别为λ1+1,A2+1,…,An+1且有λ+1>1(i=1,2,…, n),从而有 1A+E1=(x1+1)(x2+1)-(xn+1)>1 证法2因A是正定矩阵,故存在正交矩阵Q,使 QAQ=QAQ= 其中入>0(i=1,2,…,n)是A的特征值,因此 λ2+1 a= Q Q,于是A+E=Q 入+ 从而有 A2+1 I A+EI=IQI I QI =(A1+1)(2+1)…(An+1)> 例11试指出二次曲面x2+(2+)y2+Ax2+2xy-2x-y2=5中参数λ取什么 值时,该曲面为椭球面 解问题是当λ取何值时二次型∫=x2+(2+)y2+kx2+2xy-2x-y为正定 的.它所对应的矩阵为 12+A
186 线性代数重点难点30 若它是正定的,必须顺序主子式A1=1,A2 12+x|=1+x,A=1A1=x2 11 5地大工0:、巧.即当入>2时,是正定的,相应的二次曲面x2+(2+A)y2+x2 +2xy-2xx-y=5为椭球面 例12设二维随机变量(X,Y)的密度函数为 Kx,12-15x10≤y≤2 其他 求二次曲面f=x1+2x2+Yx3+2x1x2+2Xx1x3=0为椭球面的概率 I 1 X 解二次型f=x+2x+Yx3+2x1x2+2Xm1x3的矩阵为A=120 X Y 设A的特征值为A1,A2,A3,存在正交阵Q,使 2AQ= 即二次型f=A1y2+A2y2+k3y 要使二次曲面f=A1y+A2y2+A3y3=0为椭球面,必须A1,A2,k3均大于0或 均小于0 A的顺序主子式a1=1>0 1>0,∴A只能是正定矩阵 20=y-2x2>0, X0 Y 二次曲面f=0为椭球面的概率为 PY-2x2>0=」dx2a4y
