72 线性代数重点难点30讲 第14讲正交矩阵、正定矩阵、 相似矩阵、合同矩阵 、正交矩阵 若n阶方阵A满足:AA=AA=E,就称A为正交矩阵.用a1=(a1,a1, a1n),a2=(a2,a2,…,a2n),…,an=(an,an2,…,anm)表示正交矩阵A的行向量,则由 定义得 (a1,a1)(a1,ax2) I 0 (a2,ax1)(a2,ax2) a2,a,) 01 0 E a, a,)(a, a,)".(a, a. 00 叮见 (1,a1)=1(i=1,2 (a1,a,)=0(i≠j;i,j=1,2,…,n a1+a2+…+al=1(i=1,2,…,n), 十 =1,2,…,n) 或缩写为 A4,=O 1,2,…,n) 这个结果用文字叙述,就是:正交矩阵A的行向量组成一个正交向量组;正交矩阵A的行向 量都是单位向量.同理可知:正交矩阵的列向量也是一个正交单位向量组 由定义可直接推得正交矩阵A具有性质 (1)正交矩阵是可逆矩阵,且1A|=±1; (2)A是正交矩阵,则A,A也是正交矩阵,且AT=A (3)若A1,A2为同阶正交矩阵,则A1A2,A2A1仍是正交矩阵; (4)正交矩阵的n个行(列)向量组成两两正交的单位向量组 例1验证矩阵
第14讲正交矩阵、正定矩阵、相似矩阵、合同矩阵 222 0 0 是否是正交矩阵 解根据P为正交矩阵的充要条件是P的列向量(或行向量)都是单位向量且两两正 交,显然P的列向量都是单位向量且两两正交,故P是正交阵, 例2设x是n维列向量,x2x=1.令H=E-2xx2.证明:H是对称的正交矩阵 证设x=(x1,x2,…,xn),则xx=x2+x2+…+x2=1,而 xr=ti(ci, 2,d./=312 是一个n阶对称矩阵故H=E-2x2亦是对称矩阵 要证H=E-2xx是正交矩阵,只要能证H=E即可 而H=(E-2x)=E7-2(x2)·xT=E-2x HH=(E-2x2)(E-2x)=(E-2xx2)(E-2x2) -E2-2xxE-2Exx+4xxxx E-4xx+4x(xx)xT(因为x2x=1) E-4 E 故H是对称的正交矩阵 注意当x为n维列向量时,xx是一个n阶矩阵,而x2x却是一个数常称形如本题 中的正交矩阵H=E-2xx为初等正交矩阵 例3设A是正交矩阵.证明:A(A的伴随矩阵)也是正交矩阵 证因A是正交矩阵,故A|=±1,且A1=A.而 A A 即A=1A|A.又因 1·(A|A)=1A12A·A=E 故A是正交矩阵 例4设A、B均为n阶正交矩阵,且1A|=-1BI证明:|A+B=0
74 线性代数重点难点30讲 证由正交矩阵性质(1)知|A1=±1,|B|=±1,故由条件|A|=-1B1,知1A1 1.由正交矩阵定义有 TA=E. BB 所以1A+B|=1AE+EB|=1ABB+AAB =IA(B+ABIEIAIIB+AIIBI =-|B+A1=-1(B2+A)"1 =-|B+A|=-|A+B 移项,得21A+B|=0,故1A+B1=0. 注意本题证明中利用了“同阶方阵乘积的行列式等于各个方阵的行列式的乘积 AB|=1A|1B”及“方阵的行列式与其转置的行列式相等即|A|=1AT1 正交矩阵与正定矩阵是完全不同的概念 二、正定矩阵 设A为n阶实对称方阵(A1=A)且R(A)=n,若对于任意的n元非零向量x=(x1, 2,…,xn)≠0,均有 则称A为正定矩阵 例5设A是m×n实矩阵,E是n阶单位矩阵,求证当λ>0时,矩阵P=AE+AA 为正定矩阵 证首先要说明P是实对称矩阵,再根据上述正定矩阵的定义来证明P是正定的 由于P=(AE+AA)=AE+AA=P,所以P为实对称矩阵;又因对任意的非 零向量x,xPx=x(AE+AA)x=xx+xAAx=x'x+(Ax)"Ax=|x12+1 Ax12,于是当λ>0时,有xPx>0,所以P为正定矩阵 由定义容易推出正定矩阵常用的几条性质: (1)正定矩阵是可逆矩阵,且|A1>0; (2)若A、B是同阶正定矩阵,则A+B,kA(k>0),A,A1,A·也是正定矩阵(参考 第30讲); (3)n阶实对称矩阵A为正定矩阵的充要条件是存在可逆矩阵M,使A=MM(参考 第16讲) 由性质(3)可知:当A为正定矩阵时,由A=MTM(M可逆)两端取行列式,可得|A1 1M12>0,即正定矩阵的行列式必大于0,这是实对称矩阵为正定矩阵的一个必要条件 这与性质(1)是一致的 A O 例6设A,B分别为m,n阶正定矩阵,试证分块矩阵C= 是正定矩阵 0 B 分析根据上述性质(3)矩阵C正定的充要条件是存在可逆矩阵P使得C=PP,由
第14讲正交矩阵、正定矩阵、相似矩阵、合同矩阵 75 A,B的正定性,可以构造一个满足C=PP的分块矩阵,从而得证C是正定矩阵 证因为A,B是正定矩阵所以存在可逆矩阵V、Q,使A=Vv,B=QQ成立 令矩阵P= V 01r vO PP OQ」!OQ Q 0 OTd=LO B/C 三、相似矩阵 设A、B为两个同阶方阵,如果存在一个可逆矩阵P,使PAP=B成立,则称矩阵A 与B相似,记为A~B 7-126 1001 例7已知A=10-1910,A=010,P 00-1 试验证A~A 解易计算得|P|=-1,P1= 612-7=6-127 51「7-1261「2-13 PAP= 10-19101 12-112-2413L016 =010=A. 故A 相似矩阵的性质:若A~B,则有 (1)A~B; (2)A1~B(若A、B均可逆); (3)A~B(k为正整数)(可推广为:对任意多项式f,f(A)~f(B)) (4)1AE-A1=1AE-B1,即A、B有相同的特征值; (5)1A1=|B1,即A、B的行列式相同,从而A,B同时可逆或同时不可逆; (6)R(A)=R(B),即A、B有相同的秩;
76 线性代数重点难点30讲 (7)A'-B'(在A可逆的假设下); (8)Pf(A)P=f(PAP)(f(4)为矩阵A的多项式) 证只证(7),(8)(1)至(6)的证明留给读者) (7)因为A可逆且A~B,所以由(5)知B也可逆,由(2)知A1~B1,即存在可逆矩 阵P使得PAP=B,两边同乘|A1,得 IA IPAP=IAIB, 又1A1=1B1,于是P1A1AP=1BIB1,即PAP=B',即A‘~B (8)设f(x)=x”+a1x”1+…+an1x+an,则有 P" f(AP=P(A"+a1A+.+aM-A+a,E)P =PAP+a,PAP+.+a-P AP+a, P EP =(PAP)“+a1(PAP) +am-1(P AP)+a,(P EP) ( AP) 注意区分矩阵“等价”与“相似”这两个概念.矩阵等价是同型矩阵之间的一种关系:若 矩阵A(不一定是方阵)经若干次初等变换可化成矩阵B,则称A与B等价或者说,若存在 可逆方阵P、Q,使得PAQ=B,则称A与B等价而矩阵相似是同阶方阵之间的一种关系 对于同阶方阵A、B,若存在同阶可逆矩阵P,使得PAP=B,则称A与B相似从定义可 见,若方阵A与B相似,则A与B必等价,但反之则未必例如方阵 2101 「1001 A=020与B=020 002 003」 因为A与B是有相同秩(为3)的同型矩阵,所以A与B是等价的,但A与B不相似,因 为相似矩阵有相同的特征值,而A的特征值为2,2,2,B的特征值为1,2,3,A与B的特征值 不完全相同,所以依上述性质(4)知A与B不相似 四、合同矩阵 设A,B为同阶方阵,若有可逆矩阵P,使B=PAP,则称A与B合同 例8问矩阵A=10-3与B=0-20是否合同? 解由于有可逆矩阵P=1-1-1,使 001 11010111「1131「000 PAP=1-1010-31-1-1=0-20= 1」L1-30」L0 006
14讲正交矩阵、正定矩阵、相似矩阵、合同矩阵 所以A与B合同 由合同矩阵的定义可见合同的矩阵具有相同的秩即R(B)=R(PAP)=R(A)合同变 换不改变矩阵的对称性即若A是实对称的,则经变换PAP所得矩阵B也是实对称的 注意矩阵的合同关系与矩阵的相似关系是不同的 如设 因为有可逆矩阵P= 02 使 o010 P: AP 所以B与A是合同的.但是它们的特征值并不相等,所以它们不相似 然面,如果A,B是两个相似的实对称矩阵(A~B,A=A,B=B),则A,B一定是 合同的,因为A,B相似,所以A,B的特征多项式的根全部相等,从而可找到正交矩阵 P(P=P1),使B=PAP=PAP 矩阵A正定的充要条件是A=MM(M可逆),由于 A=MEM(E为同阶单位矩阵), 所以,实对称矩阵A正定的充要条件是A与同阶单位矩阵E合同 例9设矩阵A=(an)33合同于3阶单位矩阵E,c1,c2,c3都是非零实常数,令 bn=anc(i,=1,2,3),证明矩阵B=(b)s也合同于E anCi CI a1 Ct C2 a13C1 C3 B的定义 a31 C3 C1 a3 C3 C2 a33 C3C3 001aa12a 矩阵乘法 21a22a 00 其中C=0c20,因为c1,c2,c3为非零实数,所以|C1≠0,即C可逆 因为A合同于E,故A正定,由正定矩阵性质(3)知:有可逆矩阵M,使A=MM,从 B=C(MM)C=(MC)(MC)=(MC)E(MC) 由MC可逆,故B合同于E
