线性代数重点难点30讲 第4讲矩阵运算 矩阵运算与普通的代数运算相比较,有许多在原则上是新的东西.因此,在讨论过程 中,我们自始至终与普通的代数运算相对照,这样既有利于理解,又方便于论证,在讨论过 程中,既要注意到矩阵运算与代数运算的相似之处,又要分清它们的不同之处,更要着力掌 握矩阵运算在理论上和方法上的新的概念及新的发展 我们从下面一个典型例题开始讨论 310 10 例1设 121 2-25 求:(1)AB-BA,(2)A2-B2,(3)BA 解(1)因为 3101「1-10 AB=-1212-2 3×1+1×2+0 +1×(-2)+0×43×0+1×5+0×1 =(-1)×1+2×2+1×3(-1)×(-1)+2×(-2)+1×4(-1)×0+2×5+1×1 3×1+4×2+2×33×(-1)+4×(-2)+2×43×0+4×5+2×1 5-55 61 同理可得 188 所以 A BA 6-231-18 11-8 -17-173 l7-8-3-15 22-6 103101「1-101「1-10 (2)A2-B2=-121-121-2-2512-25 342 342 341L341
第4讲矩阵运算 15 8511「-1 =-274 5 -15-159 11198 14-721 326-13 1231「3-131 5617 (3)BA7=-1-2 4 51-3 012 51122 例1涉及矩阵的加减法、乘法(乘方)及转置等多种运算,这些运算结果使我们注意到了 许多新问题 注意例中A,B都是同阶方阵,AB与BA都有意义,但AB≠BA.这表明,代数乘法运 算中的交换律 b=ba(a,b为任意实数) 在矩阵运算中不成立.换言之,一般情况下矩阵乘法不满足交换律.原因何在?这得从定义 人手.例1中的积矩阵AB的元素c等于左矩阵A的第i行与右矩阵B的第j列对应元素 相乘之后相加.如AB的c1=3×1+1×2+0×3=5,按定义,积矩阵BA中的cn=1 3+(-1)×(-1)+0×3=4它们分别是不同的数相乘之后相加的结果,所以AB与BA 相同位置上的元素不相等就不足为怪了.有时甚至AB有意义,但BA却没意义,如 3 AB=(a,3x(,)x=(c)3x=20. 但BA没意义,因为左矩阵B的列数≠右矩阵A的行数即使AB与BA都有意义,它们 的阶数也不一定相等.如: 2 [8y 10 2(1,0)= ,BA=(1,0) 11=(1)y 注意由于矩阵乘法不满足交换律,所以代数运算中的乘法对加法的分配律 a(b+c)=ab+ac=l+c=(b+c)a(a,b,c为实数) 就不能毫无保留地套搬到矩阵运算中来.这时,矩阵乘法对加法的分配律有两条 (1)A(B+C)=AB+AC(左分配律); (2)(B+C)A=BA+CA(右分配律) 此,在矩阵运算中,左乘矩阵与右乘矩阵就绝不是一回事了!
16 线性代数重点难点30讲 注意在代数运算中若ab=0,则可知a=0或b=0.由矩阵乘法定义不难看出虽然 矩阵A非零矩阵矩阵B非零矩阵,但其积AB可能是零矩阵.这是因为虽然A的第;行的 元素an,a,…,am不全为0,B的第j列的元素b,b2…,b也不全为0,但这些元素对应 乘积的代数和∑a2b,即AB中的元素c可能为0.如 1-1J1-1 00 可见,在矩阵运算中,消去律不成立.即 AB=AC,不一定有B=C(当A≠O时) 在例1中我们计算出 5-55 AB=6111 (AB)=-51-3=BA 17322」 51122 这种相等的关系不是偶然的,但它与我们熟悉的代数运算中的(ab)"=a"b"(a,b为实 数,n为自然数)迥然不同 注意矩阵的转置运算满足反序定律,即(AB)=BA,一般地可证(A1A2…A,)T= AA1…42A1.事实上,当5=2时,有(A1A2)=AA1,结论成立;设结论对s-1成立 则对于s有(A1A2…A-A)=[(A1A2…A-1)A,=A(A1A2…A1)= AA1…AA1.特别有(A)=(A)*(k为整数) 在例1中还涉及了减法运算 注意在代数运算中加减计算总是可以进行的.设a,b为实数,则一定有唯一的实数 c,使a±b=c.但是在矩阵运算中,具有相同的行、列的矩阵才能相加减 111 例2设A=222,求A L333 解根据矩阵A的特点,可写成两矩阵之积 A=2222(1,1,1)=BC,这里B/1 1111「1 2,C=(1,1,1), 333L3 所以A=(BC) =(BC)(BC、BC)=B(CB)(CB)(CB)C(运用矩阵的结合律), 100个BC
第4讲矩阵运算 又 CB=(1,1,1)2|=(6) 111 数乘矩阵的性质 Am=B6…6C 6”(B 99个6 333 注意代数运算中有结合律(a+b)+c=a+(b+c),(ab)c=a(bc)(a,b,c为实 数),在矩阵运算中,也有类似的性质:(A+B)+C=A+(B+C),(AB)C=A(BC) (但必须假设矩阵A,B,C满足运算所要求的一切条件) 注意由上例可见:在矩阵运算中,特别是方阵的幂运算中应用结合律,能使计算简化 下面讨论矩阵与行列式的联系与区别 联系:只有方阵(即行、列相等的矩阵)A才有对应的行列式|A1,若方阵A可逆则A A(A是A的伴随矩阵 区别:①行列式是一个数,不同阶的行列式的值可以比较大小,矩阵是一个表,不是 个数,所以矩阵只有是否相等的关系,而不能比较其大小;②行列式的各种运算是数与算式 的运算,而矩阵的各种运算是在矩阵范畴内进行的,两个行列式的加减,是展开后数值的加 减,所以不同阶的行列式,也可以加减;但矩阵只有当它们的行列数对应相同时才能加减,并 且归结为每个对应元素间的加减.数乘行列式可以表现为该数乘行列式中的某一行(列)的 各元素,也可以表现为乘行列式的展开式,所以它的本质仍是数与算式的运算;数乘矩阵规 定为该数乘矩阵中的每一个元素所得的结果仍是矩阵,据此,AA1与1MA4有着巨大的 差异 Aa1Aa12… da 而矩阵A-A|anan…an|-n12-…,所以141=2x1A1. 如设E是n阶单位矩阵,21E|=2,而|2E|=2 例3设A= 34,求12A1,21A1
线性代数重点难点30讲 解12A/=212/ 34=4×(-2)=-8;2|A|=2 34/~2×(-2)=-4 例4设A为n阶方阵|A|=2,计算A1A的值 解因为|A1=1A1,1A|=2且A为n阶方阵,所以 A1A|=12AT1=2|AT|=2|A|=2 例5设四阶方阵 b d d A= d b 求|A 解由于|A=1A11,且 b AA +b2+c2+d a-+b-+c-+ 0 0 a2+b2+c2+d2 +b2+c2+d2 1AA1=1A1A'1=1A12=(a2+b2+c2+d2)4 而由|A1的展开式中含a4项的符号为正,知 (a2+b2+c2+d2)2 例6设四阶矩阵A=(a,v2,v3,v),B=(B,v2,v3,V4),其中a,B,v2,v3,v4均为 4维列向量,且已知行列式A1=4,B1=1.求|A+B|及|A|+|B|之值 解首先应区分矩阵相加是对应元素相加,而对于行列式相加(或拆分),只有一行(列) 不同,其余各行(列)都相同时才能相加(或拆分) A+B=(a+,v2+v2,v3+v3,v4+v4)(矩阵加法) 1A+B|=|(a+B,2v2,2v,2v)|=1(a,2v2,2v3,2v4)|+1(B,2v2,2v3,2v4)1 (行列式加法) =8|A|+8|B|=40(行列式性质)
第4讲矩阵运 而 1A|+|B|=1(a,v2,v3,v4)1+1(阝,v2,v3,v4)1 =1(a+B,v2,v3,v4)1=5 注意(1)设A,B为n阶矩阵,一般地 1A±B|≠|A|±|B|; (2)设A,B为n阶矩阵,一般地AB≠BA,但|AB|=1BA|=1A|·B1; (3)设A为n阶矩阵,则AA1=k1A1,特别注意1kA1≠k1A1(k∈R) (4)|A=|A|,特别地,若A为n阶反对称矩阵,即A=-A,则当n为奇数时 0 小结就运算规律而言,矩阵的运算与数的运算有许多相同的地方,也有许多不同之 处,学习时要特别注意它们的不同之处,切不可将数的运算照搬到矩阵的运算中来.为了有 助于读者掌握矩阵的运算规律,现将数的运算与矩阵的运算的异同点归纳为表4.1(其中 “不同点”中的矩阵运算是指不能一般地肯定成立) 表4.1数的运算与矩阵的运算规律比较 数的运算 矩阵的运算 1.1×a=ax1=a 1.E。A=A.xE,=Anxn 2.0×a=a×0=0 2. OmkmAmxu A k,Ox,=Ox 3. A+O=A 4. a+b=b+a 4.A+B=B+A 5.(a+b)+c=a+(b+c) 5.(A+B)+C=A+(B+C) 6.a+ 0 6.A+(-A)=0 相7.,k(a+b)=知+Mb 同 7. k(A+B)=kA+kA 点8.(k+D)a=k+a 8.(k+ D)A-AA+IA 9.(abc= a(bc) 9.(AB)C=A(BC 10, (a+b)c=ac +be 10.(A +B)C= AC + BC 11. a(b+c)=ab+ac I1. A(B+C)= AB+AC 12.(k)b=a()=k(ab) 12.(KA)B= A(kB)= k(AB) 13 14.(a")=a 14.(Am)°=A 1. ab= ab 2.ab=0→ 或b=0 2.AB=O中O或B=O 不3.a=c,a≠0→b=c 3.AB=AC,A≠OB=C 点4.(mb)”=ab 4.(AB)“≠A"B 5.(a±b)2=a2±2ab+b2 5.(A±B)2≠A2±2AB+B 6.(a+b)(a-b)=a2-b2 6.(A+B)(A-B)≠A2-B2