第22讲矩阵运算方法与技巧(1) 第22讲矩阵运算方法与技巧(1) 在第4至第8讲中,我们重点讨论了矩阵运算(包括矩阵的加减乘及数乘求逆矩阵分 块和矩阵的秩)的基本方法,从本讲即第2讲至第24讲我们集中讨论矩阵运算的几个难 点问题.下面讨论求矩阵的高次幂的计算方法与技巧 1.应用矩阵乘法的结合律 若A=aB,其中a,B为n维列向量,则A"=ap·aB1…aB=a(Ba)…(Pa)P =(Ba)"1·aB2=(a)-A.注意:ap是矩阵,而pa是一个数 例1已知矩阵A=PQ,其中P=2,Q=(2,-1,2),求矩阵A,A2,A 解A=PQ=2(2-12)=4-24,QP=(2-12)2=2 A2=PQ·PQ=P(QP)Q=P·2·Q=2PQ=2A Am=PQ·p…PQ=PQP)(P)(QP)Q=224=2”4-24 100个PQ 例2已知AP=PB,其中 L00 求A及A 解利用初等行变换求逆法求出P=2-10,于是 A=PBP1=2-100002-10=200 211」00-1L-41 注意到B3= BBBBB=B(B是对角矩阵),有 A35=PBP·PBP1·PBP1·PBP1·PBP=PB3Pt=PBP=A 例3(2004年全国研究生入学考题)设A=100,B=PAP,其中P为 00-1
130 线性代数重点难点30讲 三阶可逆矩阵,则B20-2A2 0-100-10 100 (A2)2=E 00-1L00-1 Bm=PAP·P-AP…PAP=P-1AmHP=PP=E 100 B-2A2=010-20-10-030 001 2.递推法 先求出A2,A3,…,得出递推公式,并观察出规律,猜测A"的一般表达式,再用数学 纳法证明之 例4设A=/94 求A 2511 -94 8 1-10×2 4×2 25×21+10×2 1-10k 设A= 则 25k 1+10k 1-10k4k 4 A*=AA- -9-10k4+4k 25k1+10k 2511 -25-25k11+10k 1-10(k+1) 5(k+1)1+10(k+1) 1-10 4n I+10n 例5证明 na cosB sinno cone 证利用数学归纳法 (1)当n=2时, cos0-sine 12_[cos0-sin'0-2sin0cos0 1_[cos20-sin28 2sin0cos0 cos20-sin2 0 sin20020 (2)设n=k-1,结论成立,则n=k时, cos0 - sing n0 cosB sing ms(k-1)0 -sin(k-1)01[s0 -sin91Imsko-sinle in(k-1)0a(k-1)0儿sns」-[ sinAg msh
第22讲矩阵运算方法与技巧(1) 131· 于是由归纳法原理,命题得证 注意对于转换的坐标变换公式 sinb cos0- sine 几何意义表示坐标轴向逆时针方向旋转0角 sing COS COS 转n次,每次坐标轴向通时针方向旋转角,而 表示坐标轴向逆时针方 cone 向旋转n0角,这两者是一致的.因此 cosne- sinna 例6若A为方阵,且A2=A,试证 (A+E)=E+(2-1)A(k=1,2,3,…) 证用归纳法,k=1时,显然成立;设k=n-1时,结论成立,即 (A+E)”=E+(21-1)A 于是(A+E)"=(A+E)"(A+E)=[E+(2"1-1)A](A+E) =A+(21-1)A2+E+(2-1)A =A+(2”1-1)A+E+(21-1)A=E+(2”-1)A 由数学归纳法知:(A+E)=E+(2*-1)A对一切自然数k成立 3.二项式展开法 若矩阵A的主对角线上元素相同,这样A可表为一个对角矩阵AE与另一个矩阵B之 和,即A=AE+B,则 A”=(AE+B)=k"E+m1B+n(n-1k2B2+…+B 这里假设B的高次幂容易计算 例7证明: 入00 00 01 n(n-1)2 证由于 00 100 000 00 010 L000 A0010001”「A00 则1A0=0X0+100 00 00 10 00A
线性代数重点难点30 A00“1[000 λ001「0001 C.0x0100+C0x0100+…+ 00A 010 00x010 A00 n(n-1) 000 00A 入00. 00 0.(另外,也可用数学归纳法证明) 101 例8设A=010,求A 解法1A=010-010+000=E+B 001 001000 其中B=000,则B2=000000=000,所以B=O(k≥2) 000 000000 000 A"=(E+B)"=E+n·E1·B+(n-1) E"2B2+…+ =E"+nB=010 001 解法2因为A=E(1(1),3),A"=E·A…A=E·E(1(1),3)…E(1(1),3),所以 A相当于对E=010施行n次列初等变换(把第1列加到第3列),故 A°=010E(1(1),3)…E(1(1),3)=010E(1(1),3)…E((1),3) 10
第22讲矩阵运算方法与技巧(1) 例9设A=101,(1)证明:n≥3时,A"=A"2+A2-E,(2)求A 解(1)直接计算得A2=110,A2=201 00「100 001「100 A+A2-E=10 10-010=201|=A 010101001 110 所以,当n=3时结论成立; 假设n=k时结论成立,即A=A42+A2-E 现证明n=k+1时结论成立,事实上 A4=A·A4=A(A2+A2-E)=A+1+A3-A =A1+(A+A2-E)-A=A41+A2-E (2)反复应用已证公式有 A2-E=A.+2(A2-E 3(A2-E) =…=A++48(A2-E)=A2+49(A2-E)=502-4E 50500 0490 50050 0049 5001 1100 例10已知A 求A 0024 解可先对矩阵A进行分块,再利用求方幂的各种方法求出子块的方幂,进而求出矩阵 的n次幂 设A≈/4 0 其中A 则A 01 02 于是 00