线性代数重点难点30讲 第27讲线性方程组概念题选讲 一、克莱姆法则 2x1+a2x2+…+a2 线性方程组 如果系数行列式D=1A|≠0,则方程组有唯一解 D 其中D,是把D中第j列元素换成方程组右端的常数列所得的行列式 二、线性方程组的基本概念 br aiXi+ anI2+"+ amla b2, 方程组 a,la1+ am,I2+.+ amt,= b 称为m个方程n个未知量的非齐次线性方程组 be b 则上述方程组可记为(矩阵形式)Ax=b 若记 则上述方程可改写为(向量形式)x1a1+x2a2+…+x,an=b
笫27讲线性方程组概念题选讲 aIn b11 矩阵 A=[A: b 称为方程组(*)的增广矩阵 anx1+anx2+…+ aInt=0 a21x1+a2x2+…+a2xn=0 方程组 () 0 称为n个未知元m个方程的齐次线性方程组,它是非齐次线性方程组(*)的导出组,其矩 阵形式为 Ax=0, 向量形式为 r1a1+x2a2+…+x2an=0 线性方程组解的判定 1.齐次线性方程组Ax=0 定有解(至少有零解),且秩(A)=n时,有唯一零解;秩(A)=r<n时,有非零解 且有n-r个线性无关的解向量 2.非齐次线性方程组Ax=b 若秩(A)≠秩(A)=秩[Ab],无解 =n,有唯一解; 秩(A)=秩(A)=秩[Ab] <n,有无穷多解 注意设A为m×n矩阵,若R(A)=m,则R(A)=R(Ab),从面Ax=b一定 有解(参看第25讲例10) 四、非齐次组Ax=b与齐次组Ax=0解的关系 Ax=b有解台秩(A)=秩A={A=b有唯一解 <n台Ax=b有无穷多解 Ax=b有唯一解→Ax=0只有零解与秩(A)=n Ax=b有无穷多解→Ax=0有非零解台秩(A)</x=0 注意非齐次组Ax=b有无穷多解(唯一解),则Ax=0有非零解(仅有零解).但反过 来不成立,即Ax=0有非零解(仅有零解),不能推导出Ax=b有无穷多解,甚至Ax=b 可能无解.因为由秩(A)<n(=n),不一定能得到秩(A)=秩(A) 五、线性方程组解的性质 (1)如果n1,2是齐次线性方程组Ax=0的解,则n1+马2也是它的解 (2)如果η是齐次线性方程组Ax=0的解,则对任意常数k,k也是它的解
158 线性代数重点难点30讲 (3)如果?是非齐次线性方程Ax=b的一个解,而n是其导出组Ax=0的一个解则 +n是方程组Ax=b的解 (4)如果1,72是非齐次线性方程组Ax=b的两个解,则1-y2是其导出组Ax= 0的解 六、线性方程组解的结构 1.齐次线性方程组解的结构 设n,n2,…,n为齐次线性方程组Ax=0的一组线性无关解如果方程组Ax=0 意一个解均可表为n1,2,…,n的线性组合则称n,n,…,n为方程组Ax=0的一个 础解系 设A为m×n矩阵,若秩(A)=r<n,则齐次线性方程组Ax=0存在基础解系 基础解系包含n-r个线性无关的解向量,这时方程组的通解可表示为 其中k1,k2,…,k。,为任意常数,n1,n2,…,,为齐次方程组的一个基础解系 2.非齐次线性方程组解的结构 非齐次线性方程组Ax=b的任意一个解均可表示为方程组Ax=b的一个特解与其与 出组Ax=0的某个解之和 当非齐次线性方程组有无穷多解时,它的通解可表为 x=n。+k1n1+k2男2+…+k.,可 其中n为Ax=b的一个特解,k1,k2…,k,为任意常数,n1,n,…,n,为其导 组Ax=0的一个基础解系 建议读者:在解下列典型例题之前,最好能熟记住上述六个基本知识点,因为下面的 题是为考查读者对上述所列基本概念的理解程度及解方程组的能力面精选的 七、例题选讲 例1(2002年全国考研数学试题)已知4阶方阵A=(a1,2,a3,a4),a1,a2,ax3,Cm 均为4维列向量,其中a2,3,4线性无关,a1=2a2-a3,如果B=a1+ax2+a3+a 求线性方程组Ax=B的通解 解由于秩(A)=r=3,则齐次线性方程组Ax=0的基础解系包含n-r=4-3 1个线性无关的解向量n,从而非齐次线性方程组的通解的一般形式为x=n+k1n 中n是Ax=B的一个特解,k1为任意常数 把a1=2a2-a3代人Ax=B,即Ax=ax1+a21+a3+a4,得 ax1,(x2,(3,(4) =3a2+a4
第27讲线性方程组概念题选讲 159 x1a1+x22+x3a3+x44=3a2+a4, (2x1+x2)a2+(x3-x1)a3+x:a=3a2+a4 2x1+x2=3 x2=3-2x1, 故有 0 x3=x1, x4=1 分别令x1=0,x1=1,得Ax=B的两个特解=(0,3,0,1),5=(1,1,1,1).则其差 是其导出组Ax=0的解n=5-n=(1,-2,1,0) 故线性方程组Ax=B的通解为x=m+kn1= 0 例2已知B1,B2是Ax=b的两个不同的解,a1,a2是相应齐次方程组Ax=0的基 础解系,k1,k2是任意常数,则Ax=b的通解是() (A)ka, +k(a, +a,)+51 B2:(B)k,a, + k, (a-a)+B+p2 (C)k1a1+k2(B2-B1)+ k;a1+k2(B1-B2)+B1+B 解因为5(B1-B2)为Ax=0的解,而非Ax=b的解由解的结构理论知,(A)、(C) 不正确虽然a1,B1-阝2均为Ax=0的解,但是否线性无关不确定,因此不一定为基础解 系,排除(D),故正确选项为(B).事实上,a1,a1-gx2均为Ax=0的解且易证线性无关(由 k1a1+k2(a1-a2)=(k+k2)a1-k22=0,可推出只有k1=k2=0).于是a1,a1 a2也可作为Ax=0的基础解系,由A/B1+B2 MB+⊥AB2=2b2b=b知, B2B为Ax=b的特解故(B)式为Ax=b的通解表达式 例3设方程组 anx1 +a1r2+.+aimex =0, anI+ an2r3+ 的系数行列式A|=0,A中某元素a的代数余子式A≠0.试证(A1,A2…,An)是该 方程组的一个基础解系 ∴|A|=0,A3≠0,即A有一个n-1阶非零子式,∴秩(A)=n-1,故方程组 x=0的基础解系含一个解向量.由A≠0知(A1,A2…,A=)2≠0,所以只要验证
线性代数重点难点30讲 (An,Aa,…,An)是方程组的一个解即可,事实上 au a1 A 例4设A是n阶方阵,a是n维列向量,若秩 =秩(A),则线性方程 (A)Ax=a必有无穷多解; (B)Ax=a必有唯一解; -0仅有解:(0030多有半 解R(A)≤R(A!a)≤R =R(A),∴,R(Aia)=R(A)故方 组Ax=a有解,但不能判定Ax=a是有唯一解还是无穷多个解因而(A)、(B)都不 aa 是n+1阶方阵,且 =R(A)≤n<n+ 0 Aa1「x 所以方程组 =0必有非零解,显然(C)不正确.只有(D)正确,应选(D) 例5已知向量n1= 0/= 是方程组 2 4 a1x1+2x2+a3x3+a4x4=d1, x1+b2x2+3x3+b4n=d2 的三个解求该方程组的通解 解由线性方程组解的结构定理知:只要求出已给非齐次线性方程组的导出组
第27讲线性方程组概念题选讲 16l a1x1+2x2+a3x3+a4x4=0 3x1+c2x2+5x3+c4x4=0 的一个基础解系即可.下面确定系数矩阵 2 a, a 3c25c4」0 的秩,由于A有二阶子式/3 ≠0,所以R(A)≥2,又由线性方程组解的性质(4)知 52=-η 9 是相应的齐次方程组的解由于引1与2不成比例,所以线性无关,进而知基础解系中线性 无关解向量的个数=4-R(A)≥2,从而R(A)≤2,所以R(A)=2,齐次方程组的基础 解系包含2个解向量,1,2构成齐次方程组的一个基础解系,所以已给非齐次方程组的通 解为 +k151+k252(k1,k2为任意常数) 例6证明:齐次线性方程组x1+x2+…+xn=0的一个基础解系和齐次线性方程 组x1=x2=…=xn的一个基础解系构成R”的一个基 分析方程组x1+x2+…+xn=0的基础解系含有n-1个向量,方程组x1=x2= xn的基础解系只含有一个向量,此题关键是证明这个向量与那n-1个向量线性无关 可利用矩阵来证明 证方程组x1=x,=…=x的一个基础解系为η=(1,1,…,1) 方程组x1+x2+…+xn=0的一个基础解系为 0,5 0 111 l10…0 010 0 因为5 -101
线性代数重点难点30讲 所以η,51,52,…,5。线性无关,它们构成R"的一个基 例7设n阶方阵A的秩为r,证明:存在秩为n-r的方阵B,使得AB=O 分析因为n阶方阵A的秩为r,所以齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系含有n y个向量,这n-r个向量是线性无关的,可用它们构造一个秩为n-r的方阵B,便满足 证因为n阶方阵A的秩为r,所以齐次线性方程组Ax=0一个基础解系含有n-r向 量,设引1,52,…,5n,是Ax=0的一个基础解系则它们线性无关,取矩阵B=(51,52,…, 5,0,…,0),则矩阵B的秩为n-r,且有AB=A(51,2,…,5n-,0,…,0)=(A51 A52,…,A5n,0,…,0),即有AB=O 例8设有线性方程组 anx1+anC+.+ aint, = b2 anTi +an2x2+.+am,= b, Anxi+Anx2+.+ AImin =cI A21x1+A2x2+…+A A,lTI+ A.22+. AcR =c. 其中A为a在行列式A|=1(an)中的代数余子式,b(=1,2,…,n),C1(=1,2, n)不全为零,证明:方程组(*)有唯一解的充分必要条件是方程组(**)有唯一解 证根据克莱姆法则,非齐次线性方程组有唯一解的充要条件是系数行列式的值不为 零.可利用第23讲伴随矩阵的公式来证明两个方程组系数行列式不为零是等价的.设方程 组(*)的系数矩阵为A,方程组(**)的系数矩阵为B,则有 )t=(A|A-)2 所以 1B|=|A1A2|=1A1”1A-11=1A1"1A11=1A1”, 于是1B|≠0的充要条件是1A1≠0,故若方程组(*)有唯一解,则A|≠0,可得|B ≠0,从而方程组(#*)有唯一解;反之,若方程组(**)有唯一解,则1B|≠0,可得|A 1≠0,从而方程组(*)有唯一解 例9设A=4 3,B为三阶非零矩阵,且AB=O,则t= 提示n个方程n个未知量的齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分条件是|A1
第27讲线性方程组概念题选讲 163 解设B=(x1,x2,x3),则 AB=A(x1,x2,x3)=(Ax1,Ax2,Ax3)=(0,0,…,0), 即 Ax1=0(i=1,2,3) 由矩阵B≠O,知Ax=0有非零解,从而|A|=0.即 A|=4t3=0t-811=7(+3)=0, -77 所以t=-3.故应填-3 例10要使引1=(1,0,2),52=(0,1,-1)都是线性方程组Ax=0的解,只要系 数矩阵A为( (A)[-211] (B) 1011 1-1 (D)4 01-1 解因为向量5,52不成比例故51,52线性无关若1,52都是Ax=0的解,而 (1)线性方程组Ax=0中未知量的个数n=3; (2)Ax=0的基础解系中含2个线性无关的解向量 因此Ax=0系数矩阵的秩 R(A)=3-2=1 由矩阵秩的定义知,(A)对应的矩阵秩为1,而(B)、(C)、(D)对应的矩阵的秩均大于 1,所以选(A) 例11非齐次线性方程组Ax=b中未知量个数为n,方程个数为m,系数矩阵A的秩 为r,则() (A)r=m时,方程组Ax=b有解; (B)r=n时,方程组Ax=b有唯一解; (C)m=n时,方程组Ax=b有唯一解; (D)r<n时,方程组Ax=b有无穷多解 解由题意知,A为m×n矩阵,且R(A)=r,若r=m时,则A的m个行向量线性 无关,增广矩阵(Ab)的m个行向量也线性无关,因为线性无关向量组每个向量添加若 干个分量后所得到的向量组仍线性无关,故R(A)=R(A)=m,所以方程组Ax=b有解 另外无论是r=n,还是r<n时都不能保证R(Ab)=R(A),即不能保证方程组 Ax=b有解,可见选(B)、(D)均不对,而m=n时,不能保证A1≠0,因此没有办法说 明方程组Ax=b有唯一解即选(C)也不对,故选(A)
164 线性代数重点难点30讲 例12设a1,a2,a3是四元非齐次线性方程组Ax=b的三个解向量,且秩(A)= a1=(1,2,3,4)T,a2+a3=(0,1,2,3)2,c表示任意常数,则线性方程组Ax=b的通解 为( (A) 0123 ;(D) 解因为a2,a3为Ax=b的解,故 =(Aa2+Aa3)= (a2+a3)=(0,1,2,3) 为Ax=b的解向量由Ax=b解的性质知 a1-2(a2+a)=(1.2, 为Ax=b对应的齐次线性方程组Ax=0的解,而Ax=0的基础解系含n-r=4-3= 1个解向量,所以 ax=(2,3,4,5)≠0 为Ax=0的一个基础解系.于是线性方程组Ax=b的通解 x=a1+ca=(1,2,3,4)+c(2,3,4,5) 故选(C 例13(2004年全国研究生入学考试试题)设A,B为满足AB=O的任意两个非零知 阵,则必有( (A)A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关 (B)A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关; (C)A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关; (D)A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关 解设A=(a,)mn是m行n列的非零矩阵,则B是n行的非零矩阵因矩阵B是 零矩阵,所以齐次方程组Ax=0有非零解,从而R(A)=r<n(方程组中未知数的个 即A的列数),即A的列向量组的秩为r,故A的列向量组线性相关由A≠O知R(A) 1,因此又得知Ax=O的基础解系所含向量个数为n-R(A)≤n-1<n.所以B的n 行向量线性相关故选(A) 例14试利用齐次线性方程组的基础解系的理论证明: (1)若方程组Ax=0的解都是方程组Bx=0的解,则R(B)≤R(A)
第27讲线性方程组概念题选讲 165 (2)若方程组Ax=0与方程组Bx=0同解,则R(A)=R(B); (3)若R(An)=n,则对任一n×p矩阵B,有R(AB)=R(B) (4)若R(Ann)=n为实矩阵则R(AA)=R(A)=R(AA 证(1)设Ax=0及Bx=0都是n元方程组,即矩阵A及B的列数都是n,如果Ax =0只有零解,则R(A)=n,此时显然有R(B)≤n=R(A),如果Ax=0存在非零解 则R(A)<n,此时Ax=0的基础解系含n-R(A)个向量,由题设条件,这些向量都是方 程组Bx=0的解,因此,方程组Bx=0至少有n-R(A)个线性无关解,故Bx=0的基 础解系所含向量个数至少为n-R(A),即n-R(B)≥n-R(A),亦即R(B)≤R(A), (2)由题设条件并利用(1)已证的结论,既有R(B)≤R(A),又有R(A)≤R(B),从 而R(A)=R(B) (3)由(2)的结论,只要证明方程组Bx=0与ABx=0同解即可.设x为Bx=0的 解,则Bx。=0,两端左乘A,得ABx。=0,这表示x0也是方程组ABx=0的解,由x0的任 意性知方程组Bx=0的解都是方程组ABx=0的解,反之,设x1为方程组ABx=0的解, 则ABx1=0,即A(Bx1)=0,这表明Bx1是方程组Ax=0的解,由题设条件R(A)=n(A 的列数)知齐次线性方程组Ax=0只有零解,故Bx1=0,即x1也是方程组Bx=0的解 从而知方程组ABx=0的解都是方程组Bx=0的解,以上两方面说明,方程组Bx=0与 方程组ABx=0同解,于是由本题(2)的结论,得R(AB)=R(B) (4)要证明R(AA)=R(A),由本题(2),只要证明两个方程组AAx=0与Ax=0 同解即可.若x满足Ax=0,两端左乘A,即得x满足AAx=0,故方程组Ax=0的解 都是方程组AAx=0的解.反之,若x满足AAx=0,两端左乘x,得xAAx=0,即 (Ax)(Ax)=0,设列向量Ax=(y1,y2,…,yn),则(Ax)(Ax)=(y1,y2,…, )=+y2+…+y2,于是(Ax)(Ax)=0意味着y=y2=…=ym=0,即Ax =0.这表明方程组(A)(Ax)=0的解也都是方程组Ax=0的解.以上两方面,表明方程 组AAx=0与方程组Ax=0同解,于是由本题(2),即得R(AA)=R(A)利用这一结 果,可得R(AA1)=R(A),又因R(A)=R(A3),便有R(AA)=R(A)=R(A)= R(AA)
