线性代数重点难点30讲 第23讲矩阵运算方法与技巧(2) 、对称矩阵与反对称矩阵 关于对称矩阵即A=A或an=a1(i,j=1,2,…,n))与反对称矩阵(即A=-A 或a6=-an(i,j=1,2,…,n))命题的讨论要紧扣定义 例1设A是对称矩阵,B是反对称矩阵,则AB是反对称矩阵的充要条件是A,B可交 换:AB=BA 证必要性:即要由已知条件①A=An;②B=-B;③AB=-(AB)推导出AB BA.事实上由条件③得 AB =-(AB) 转置的反序律 BTAT条件(1),(2) (-B)·A=BA 充分性:即由已知条件①A=A",②B=-B;③AB=BA要推出AB=-(AB) 事实上,由条件③:AB=BA知 (AB)=(BA) 转置的反序律 条件(1),(2) A(-B)=-AB 即AB=-(AB) 例2证明任何一个n阶方阵都可以表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和,并 且这种表示法是唯一的 证本题使我们联想到在高等数学中曾用构造函数法证明过的一个命题,即任何一个 函数可表示成一个奇函数与一个偶函数之和 (x)=K(2)24(-2(奇函数)+(x)+(=2(偶函数 类似地有 A=A-A A 下面证明A4、A+分别是反对称矩阵与对称矩阵由定义得 (424)=2(A-41y=(A2-(41)=1(A2-A)=-424 A+ A A+A 下面证明唯一性:设A=B1+C1,又A=B2+C2,其中B1,B2是对称矩阵,C1,C2是 反对称矩阵,于是有B1+C1=B2+C2,即有B1-B2=C2-C1,两端取转置,得 B1-B2=(B1-B2)=C2-C1=-C2+C1=-(C2-C1 所以B1-B2=O,即B1=B2,且有C2-C1=O,即C1=C2 故命题得证
第23讲矩阵运算方法与技巧(2) 例3证明:如果A是n阶实对称矩阵,且A2=0,那么A=O 证用分块矩阵的形式来证明设A按列分块为A=[a1a2 an],其中a= (au,a2y,…,an)为A的第j列(=1,2,…,n),于是由题设条件有 O=A=AA ci1〖i a'an a az ca 比较两端的(j,j)元素,得 aa,=(a1,ay…,a),"=+a+…+a=0, 故有 a4=0(i,j=1,2,…,n), 二、分块矩阵 例4设 0 00 其中a1≠0(i=1,2,…,n),求A1 解令 0a2 0 A2= 00 0 A Au A O A,AH A Er O 设A ,有 解得
136 线性代数重点难点30讲 A1=O,A12=A2,A2=A1,A2=O. 因此 O A2 其中 A A21 例5设A是m阶可逆矩阵,D是n阶方阵,B是m×n矩阵,C是n×m矩阵,试证 A B IAIID-CA"'B 分析先利用矩阵的第三种(参看第7讲)初等变换化简左边的分块矩阵,这并不改变 其行列式的值再利用分块矩阵行列式的性质即可证明 证AB|三种加等交 B C-CAA D-CA B O D-CA B 分块矩阵行列式的性质 IAIID-CA"B 三、伴随矩阵 矩阵A与它的伴随矩阵A·间的基本关系是:AA=AA=1A|E 若A可逆,则A1 AA,或A·= I A IA 关于A·的命题,一般用上述关系式进行讨论 例6设A为三阶方阵,且1A1=1,求1(3A)1-2A1 解1(3A)+-2A·1=1A2-1A·|=1A+-A 341=(-3)A 16 例7若A,B为同阶可逆矩阵,则(AB)=B'·A 证由逆矩阵性质,当A,B可逆时,AB也可逆,由公式 (AB)= AB(AB)
第23讲矩阵运算方法与技巧(2) 137 得(AB)=AB1(AB)1=|AB|BA=|B|B1A|A1=B‘A 例8设A为n阶可逆矩阵,且A2=1AE,试证A的伴随矩阵A=A 证A=1A|A1=1A|E·A1=A2·A1=A 例9设可逆矩阵A的伴随矩阵A·反对称,证明A的转置矩阵A也反对称 证由(A)=-A·及A1=1A·得 (A)=(42) 1=1-(A)=-A 故A1也反对称 又由AA1=E得 (AAT=(AATE-AATEE=E 因而 =A=(A) 故A也反对称 例10设A为可逆的n阶方阵(n≥2),则() (A)(A)=|A|1A; (B)(A)=|A|"A (C)(A)=|A2A (D)(A)=|A|m2A 解由基本关系式AA=1A1E知,若A可逆,则A·也可道 (A·)·利用A=41A-1A·1(A”)2 再利用A·=1A1A-1 A1A(A|A-1)-1 行列式性质 矩性质(1A|"|A1 逆矩阵性质 1 A=IAIA IAIA I 故选(C) 例11设A为n阶非零方阵,且A=A,试证|A|≠0 证用反证法,若设|A|=0,由基本关系式AA=1A1E及条件A‘=A,得 AATEIAIE=O. 设A=其中行向量a,=(an,a,…,an)(i=1,2…,n),则 AA [a,a2,…,an]=O
138 线性代数重点难点30讲 「a1alaa…a1an「00…0 aia,a a00…0 aa1a,a}…a,an」100…0 所以主对角线上的元素 =0(i=1,2,…,n), 即 或 a=aa=…=an=0(i=1,2 也就是a1=0(i=1,2,…n).于是A=O,与A是非零方阵矛盾,故1A1≠0 小结总结例6至例11的解题经验,可见 AA=AA=AIE 是处理有关逆矩阵及伴随矩阵问题的一个基本公式,并且由此公式得到了如下有用的结果 (1)当1A1≠0时,A可逆,且有A1 LETATA'i (2)当|A1≠0时,A‘可逆,且有(A)1=1 (3)对任何n(n≥2)阶方阵A,恒有1A‘1=1A1(参考第24讲例10); (4)对任何n(n≥2)阶可逆方阵A,(A)=1A12A成立; (5)若A≠O,但|A|=0,则AA=O 利用上述小结,可以轻松地解答如下考研试题 例12(200年全国研究生入学试题)设矩阵A=120,矩阵B满足ABA 001 2BA+E,其中A·为A的伴随矩阵,E是三阶单位矩阵,则|B|= 解由ABA=2BA'+E,得(A-2E)BA=E,而 1010 A-2E|=100=1,故|B||A‘|=1 00-1 因A可逆,所以A·可逆,且由|A|=3,A|=|A|1知A|=3-1=9,从而 四、初等矩阵 初等矩阵具体性质:①初等矩阵均为可逆矩阵;②E(i,j)=E(i,j),E(i(k))= E(i(),E(i,j+i(k)=E(i,+i-k)):③对A作初等行(列)变换,相当于左 (右)乘同类型的初等矩阵 例13设
第23讲矩阵运算方法与技巧(2) 139 all a12 13 14 24a23a22421 e\as A 44a43a42a 100 0100 P2=0010 0100 其中A可逆,则B等于( (A)APP:(B)PA":(C)P,P2A;(D)P2A'Pr 解观察易见,矩阵B是通过交换A的第2第3列和交换第1,第4列后得到的,即 B=AE(2,3)E(1,4)=AP2P1, 于是B=P1P2A1=P1P2A,故应选(C) 例14(2004年考研试题)设A是3阶方阵将A的第1列与第2列交换得B,再把B 的第2列加到第3列得C,则满足AQ=C的可逆矩阵Q为() 010 (A)100;(B)101;(c)100:(D)100 解C=BE[2,3+2(1))=AE(1,2)E[2,3+2(1)〕,可见满足AQ=C的可逆矩阵 Q=E(1,2)E[2,3+2(1) 11=100 00 01 001 故选(D)
