线性代数重点难点30讲 第5讲逆矩阵 矩阵求逆是矩阵运算中最为重要的基本内容之一.我们务必掌握求逆矩阵的各种计算 方法与技巧.求逆矩阵的步骤是:首先判定所讨论方阵A是否可逆;若A可逆,根据矩阵A 自身的特点选择最简便的求逆方法求A-1.矩阵A可逆的充分必要条件是下列三条之一成 立:①|A1≠0;②A的行(列)向量组线性无关(在第9讲中讨论);③A可变换为单位阵 (或初等变换化为阶梯形,对角线元素均不为零)(在第7讲中讨论) 矩阵求逆的方法有:①伴随矩阵法(在本讲讨论);②运用定义及性质求逆法(在本讲讨 论);③分块求逆法(下一讲讨论);④初等变换法(在第8讲中讨论) 伴随矩阵法 n阶方阵A有逆矩阵的充分必要条件是A为非奇异的,且A的逆矩阵为 Au A A,l AnA A A 2n A 其中A为元素a的代数余子式 所谓伴随矩阵法求逆,就是计算矩阵A的行列式|A及计算A的伴随矩阵A 例1求矩阵A= 的逆矩阵A(其中ad≠be) d ad- bc c d 注意到这里的A= 相当于把A 的主对角线元素换位,次对角 线元素变号所得 11-1-1 例2已知A ,求A 1-11 解由所给矩阵A,可求得|A1=-16,而且 4,A A A A
第5讲逆矩阵 A13 4,A A3=-4,A4=4, 14 Au=4 4-4 4444 4444 1111 1111 1 注意(1)用伴随矩阵法求逆要计算n2+1个行列式的值,其工作量很大,故该法只适 合阶数较低的矩阵(如例1中的A)或一些特殊矩阵(如例2中的A).但公式A-1 7A1A本身及矩阵可逆的充要条件在理论上却是很重要的 (2)初学者往往把伴随矩阵错误地写成 Au A A1 M1M21 M An A A Mu M M 或A A 前一个错误是没注意到伴随矩阵A中的元素A是原矩阵A的元素an的代数余子 式;后一个错误是忘记了给余子式M前应加写一个符号(-1)“,因此切记 A=(A)=(A2)n,A=(-1)“M,符号(-1)“不能忘记,即A·可看作 是将A中每个元素都换成他的代数余子式后所得的方阵的转置矩阵 二、利用定义及性质求逆 设A为n阶方阵若存在矩阵B使AB=BA=E,称A可逆,B为A的逆,记B (由此定义易推知:若A、B是n阶方阵,且AB=E,则A可逆,且A1=B).可逆矩阵 性质主要有:①逆阵唯一;②(AB)=B1A;③(A)=(A1);④(4)-1 (A-)(k为正整数);⑤(kA) A-(k为非零实数);⑥(A-1)=A 例3设A2-3A-2E=O,证明A可逆,并求A 解因A(A-3E)=2E,即A(A-3E)1=E,也就是存在B=1(A-3E),使 B=BA=E,按定义知A可逆,且 A1=B=5(A-3E). 例4设矩阵A、B和A+B均可逆,试证 (A+B-1)1=A(A+B)1B=B(A+B)-A 证依定义,要证A-1+B的逆是A(A+B)1B,即要证其积为单位矩阵E
线性代数重点难点30讲 (A1+B)[A(A+B)B] 右分配律 A-1A(A+B)B+BA(A+B)B 逆阵定义 (A+B)B+B-A(A+B)B (E+BA(A+B)B 逆阵定义 (BB+BA(A+B)B 左分配律 B(B+A(A+B)B BB 故A1+B1可逆,且(A1+B-1)1=A(A+B)B 同理有B(A+B)1A(A-1+B1)=B(A+B)+B(A+B)AB B(A+B)(E = B(A +B)(B+A)B=E 故 1)1=B(A+B)1A 例5设A可逆,求(A)1 解由AA/·知:A=1A1A1.从而由性质5得 (A)1=(A1A2)=74(A-1) A 例6已知矩阵A满足关系式A2+2A-3E=O.求(A+4E)-1 解欲求(A+4E)1,设法凑出因子A+4E 由A2+2A-3E=0得A2-16E2+2A+13E=O,即 (A+4E)(A-4E)+2(A+4E)+5E=O,或(A+4E)(A-2E)=-5E 即有(A+4E(3E-34)=E,由定义知(A+4)=3E-3A 注意例6的解题思路是:从已知的关系式的代数和中分解出要证明的可逆矩阵因子, 并把其写成要证的可逆矩阵与某些矩阵的乘积等于E的形式,再由定义既能判断方阵的可 逆性,又能求出逆矩阵这种求逆法称为“和化积”法 100 例7设A=2300 ,且B=(E+A)(E-A),求(E+B) 0-450 解显然A和A+E均可逆(因为|A|=105,|A+E|=384) 因B+E一(A+E)(E-A)+E
通阵足又(A+E)(E-A)+(A+E)(A+E) 分配律 (A +E(E-A+A+E =2(A+E)1. 故(E+B)1=(B+E)+=(2(A+E))151(A+E)1 性质6 2(A+B)=/-12 00 00-34 解矩阵方程 例8设A为n阶方阵,已知AX=A+X,求(A-E)及矩阵X 解用类似例6的“和化积”法求(A-E),由AX=A+X得 AX-A-X=O 在此两端同加单位矩阵得 AX-A-X+E=E, 即得(A-E)(X-E)=E,故A-E可逆,且(A-E)1=X-E.进而得 X-EE(A-E), EX=E+(A-E)- 例9设矩阵A和B满足关系式AB=A+2B,其中 「301 014 求矩阵B 解由AB=A+2B得(A-2E)B=A,又1A|=13≠0,故由A可逆推知A-2E 可逆(因|A-2EB|=|A|≠0) A-2E=1-10 012 计算得 (A-2E)1=(A-2E) 在(A-2E)B=A两端左乘(A-2E),得 B=(A-2E)A= 2-1110=4-3 223
线性代数重点难点30讲 注意解矩阵方程时,先化简,将给出的关系式变为 AX=B,或XA=B,或AXC=B 再通过左乘或右乘可逆阵将以上形式分别变为 X=A1B,或X=BA1,或X=A1BC1 00 例10已知A=110,B=101,且矩阵x满足AXA+BXB=AXB +BXA+E,求X 解这里,先进行矩阵符号运算,然后再代入数值,作具体的矩阵数值运算求矩阵X 时,要注意矩阵不满足交换律 AXA BXB= AXB+ BXA +E 由得或或或 AX(A-B)+BX(B-A)=E AX(A-B)-BX(A-B)=E (AX-BX)(A-B)=E (A-B)X(A-B)=E 由A-B|=01-1=1≠0知A-B可逆所以可将(*)式两边分别左乘 001 (A-B)1,右乘(A-B)-1,得 X=(A-B)1E(A-B)=[(A-B)1]2 利用伴随矩阵求逆法得 1-1-1 112 (A-B)1=0 001 001 X=011011=012 001001