线性代数作业8班级 姓名 学号 习题3.2 判断正误 (1)若两个n维向量组的秩相同,则这两个向量组等价 (2)n维零向量可由任一组n维向量线性表示 (3)若向量组a1,ax2;…,an中任意m-1个向量线性无关,则该向量组线性无关() (4)若向量组a1,a2,…,am线性相关,则an可由a1,a2,…,am线性表示 (5)若a1,a2,…,am线性相关,则该向量组至少有r个(r<m)向量线性相关() 二、选择题 1.向量组a1,a2,…,an线性无关的充要条件是(). (A)a,≠0,i=1,2,…,m; (B)零向量不能由a1,a2,…,am线性表示 (C)a1,ax2,…,am中任意一个向量都不能由其余m-1个向量线性表示; 的与 (D)对于任意一组全不为零的数k1,k2,…,km有∑a1≠0.,,D)=A(,E 2.设矩阵Anxn的秩R(A)=m<n,下述结论中正确的是().基(1 (A)A的任意m个列向量必线性无关.一)生的1量 (B)A的任意一个m阶子式不等于零 (C)若对A施行初等列变换,得到矩阵B,则B的列向量组与A的列向量组等价 (D)若对A施行初等列变换得到矩阵B,则B的行向量组与A的行向量组等价 3.已知n维向量组A:1,m2;…,a1与n维向量组B:B1,品,…B有相同的秩r,则下述说法 中错误的是(). (A)如果A二B,则A与B等价; (B)当s=t时,A与B等价; (C)当A可由B线性表示时,A与B等价; (D)当R(ax1,ax2,…,a,B1,围,…,B)=r时,A与B等价 设a,a2,…,a1与B1,B……,是两组n维向量,证明: R(a1,2,…,a,B1,B2,…B)≤R(a1,a2;…,ax)十R(B,B2,…,B)
四、设A,B是同型矩阵,证明:R(A+B)≤R(A)+R(B)量回 (提示:不妨设a1,a2,…,a是A的列向量组B,B2,…是B的列向量组,则A+B中任 列向量,可由a1,a2,…,a3,,,…,线性表示,从而R(A+B)≤R(a1,a2;…,,呙, B2,…B)≤RA)+R(B) 天大景量向余其共,且关大景 秀量量向善民交计,子 五、设a1,a2,…,an是一组n维向量,若n维基本单位向量组eB2……,能由它们线性表示,证 明:a1,a2,…,cn线性无关.(,,)=,(1,0,,1)=,0,D)=A(
六、设a1,2,…,an是一组n维向量,试证它们线性无关的充要条件是:任一n维向量都可由它 们线性表示,量向的一,,A,量回是,…,,m不:示 是,示,,,A,D 出,量间民 B)+(k=(A…,0 七、用初等行变换求下列各向量组的秩及一个最大无关组,并将其余向量表成最大无关组的线 性组合: (1)a1=(2,0,2),a12=(3,1,1),a3=(2,1,0),a4=(4,2,0)T;,分 (2)B1=(1,0,2,1),B=(1,2,0,1),房=(2,1,3,0),具=(2,5,-1,4)7;
八验证:a1=(1,-1,0)2,a2=(2,1,3)2,a3=(3,1,2)7是R的一个基,并求向量=(5, 0,7)在该基下的坐标 量国个国经,同 量同个 景回n一升由国量向零( 大量向海,关天 D量( n,关到0,…,1,B量( 关量向(m>1)个,量对原,关当2 余其出不量 九、已知R的两个基:a1=(1,1,1),a2=(1,0,-1),a3=(1,0,1)及=(1,2,1)°,B (2,3,4),B2=(3,4,3)F 试求:(1)由基a1,a2,a3到基月,,的过渡矩阵C (2)若向量5在a1,a2,a3下的坐标为(4,-1,2),求占在基B1,B,B2下的坐标 量民的的,,交 量向计的A量向, A,=(,,A 员,,,已