第5章微分方程模烈 工传染病模 5.2经济增长模型 53人口预测和控制 5.4万有引力定律的发现
第5章 微分方程模型 5.1 传染病模型 5.2 经济增长模型 5.3 人口预测和控制 5.4 万有引力定律的发现
5.1传染病模型 问题。·描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 预报传染病高潮到来的时刻 预防传染病蔓延的手段 按照传播过程的一般规律, 用机理分析方法建立模型
5.1 传染病模型 问题 • 描述传染病的传播过程 • 分析受感染人数的变化规律 • 预报传染病高潮到来的时刻 • 预防传染病蔓延的手段 • 按照传播过程的一般规律， 用机理分析方法建立模型
模型1。已感染人数(病人)i( 假设·每个病人每天有效接触 (足以使人致病)数为x 建模(+△)-()=a0△t i ni di(t)=ie dt 1→)00→1→)00 则不能使病人数增加口 必须区分已感染者(病 人)和未感染者健康人)
已感染人数 (病人) i(t) • 每个病人每天有效接触 (足以使人致病)人数为 模型1 假设 i(t + t) − i(t) = i(t)t 若有效接触的是病人， 则不能使病人数增加 必须区分已感染者(病 人)和未感染者(健康人) 建模 0 i(0) i i dt di = = t → i → t i t i e 0 ( ) = ?
模型2区分已感染者(病人和未感染者(健康人) 假设—1)总人数M不变,病人和健康 人的比例分别为()s(t) SI模型 2)每个病人每天有效接触人数几~日 为λ,且使接触的健康人致病接触率 建模N[(+△)=(O=[s(O)NO△ i asi A(1一1) dt s(t)+i(t)=1 i(0)=i
si dt di = s(t) + i(t) =1 模型2 区分已感染者(病人)和未感染者(健康人) 假设 1）总人数N不变，病人和健康 人的 比例分别为 i(t),s(t) 2）每个病人每天有效接触人数 为, 且使接触的健康人致病 建模 N[i(t + t) −i(t)] = [s(t)]Ni(t)t = = − 0 (0) (1 ) i i i i dt di ~ 日 接触率 SI 模型
模型2 di t A(1-)1est模一 li(o)=i (t) I+ 1/2 1 t=2 In f=tm,dit最大 m传染病高潮到来时刻→1→1? a(日接触率八→tn个人可以治愈
t e i i t − + − = 1 1 1 1 ( ) 0 = = − 0 (0) (1 ) i i i i dt di 模型2 1/2 tm i i0 1 0 t = − − 1 1 ln 0 1 i t m tm~传染病高潮到来时刻 (日接触率) → tm t → i →1 Logistic 模型 病人可以治愈！ ? t=tm, di/dt 最大
3为健人,健康人可再次被感S楼二 增加假设3)病人每天治愈的比例为~日治愈率 建模M(+△)-()]=ANs()()△t-AMN()△t Ai(1-i)- 九~日接触率 i(0)= l/~感染期 =1/ 个感染期内每个病人的 有效接触人数,称为接触数
模型3 传染病无免疫性——病人治愈成 为健康人，健康人可再次被感染 增加假设 SIS 模型 3）病人每天治愈的比例为 ~日治愈率 建模 N[i(t + t) − i(t)] = Ns(t)i(t)t − Ni(t)t = / ~ 日接触率 1/ ~感染期 ~ 一个感染期内每个病人的 有效接触人数，称为接触数。 = = − − 0 (0) (1 ) i i i i i dt di
模型3d 1(1-)-10=4/==-Aii-(1-- aiat dt dt >1 >1 dildo1 接触数σ=1~阈值 i(∞) O ≤1 ≤1→i() >1 感染期内有效接触感染的健 小)按S形曲线增长康者人数不超过病人数 模型2(S模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例
− = 0, 1 , 1 1 1 ( ) i )] 1 [ (1 = −i i − − dt 模型 di 3 i0 i0 接触数 =1 ~ 阈值 = / 1 i(t) i(t)按S形曲线增长 感染期内有效接触感染的健 小 康者人数不超过病人数 0 1 i 1-1/ i0 i i i dt di = (1− ) − 模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例 i di/dt 0 1 >1 0 t i >1 1-1/ i 0 t 1 di/dt < 0
模型4传染病有免疫性一病人治愈SI模型 后即移出感染系统,称 假设1)总人数N不变,病人、健康人和移 出者的比例分别为()s(),P(() 2)病人的日接触率λ,日治愈率凸 接触数G=A/p 建模S()+()+r()=1 需建立()s(),()的两个方程
模型4 传染病有免疫性——病人治愈 后即移出感染系统，称移出者 SIR模型 假设 1）总人数N不变，病人、健康人和移 出者的比例分别为 i(t),s(t),r(t) 2）病人的日接触率 , 日治愈率, 接触数 = / 建模 s(t) + i(t) + r(t) =1 需建立 i(t),s(t),r(t) 的两个方程
模型4 SIR模型 M[i(t+△)-i(t)]=ANs(t)i()△t-Ni(t)△t M[s(t+△t)-s(t)]=-N(t)i(t)△t i asi- Lli t ds 无法求出()2s() asi dt 的解析解 i(0)=i0,s(0)=o 在相平面上 1(通常(0=很小)研究解的性质
N[i(t + t) − i(t)] = Ns(t)i(t)t − Ni(t)t 模型4 SIR模型 i 0 + s0 1(通常r(0) = r0 很小） 无法求出 的解析解 i(t),s(t) 在相平面 上 研究解的性质 s ~ i N[s(t + t) − s(t)] = −Ns(t)i(t)t = = = − = − 0 0 i(0) i , s(0) s si dt ds si i dt di
模型4 SIR模型 消去dt i asi-Lli G=4/ 1 ds asi SES dt (0)=i2S(0)=S0 相轨线 i(s)=(S0+b)-s+-n 相轨线i(s)的定义域 D={(s,)s≥0,i≥0,s+i≤1} 在D内作相轨线(s) D 的图形,进行分析
= = − = 0 0 1 1 i i ds s di s s 0 0 0 ln 1 ( ) ( ) s s i s s i s = + − + 模型4 = = = − = − 0 0 i(0) i , s(0) s si dt ds si i dt di = / 消去dt SIR模型 D ={(s,i)s 0, i 0, s + i 1} 相轨线 i(s) 的定义域 相轨线 1 1 s i 0 在D内作相轨线 D 的图形，进行分析i(s)