第9章·概率模型 9,1传送系统的效率 9,2报童的诀 93轧钢中的浪费 94随机人口模型
第9章 概率模型 9.1 传送系统的效率 9.2 报童的诀窍 9.3 轧钢中的浪费 9.4 随机人口模型
随机模型确定性因素和随机性因 素 随机因素可以忽略 随机因素影响可以简单 确定性模 地以平均值的作用出现 型 随机因素影响必须考虑 随机性模 型 统计回归模型马氏链模型
确定性因素和随机性因 素 随机因素可以忽略 随机因素影响可以简单 地以平均值的作用出现 随机因素影响必须考虑 概率模型 统计回归模型 马氏链模型 随机模型 确定性模 型 随机性模 型
91传送系统的效率 传送带 景挂钩 ●●●●●●● 工作台 工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩上运走,若工 作台数固定,挂钩数量越多,传送带运走的产品越多 在生产进入稳态后,给出衡量传送带效 三率的指标,研究提高带效的途径
传送带 挂钩 产品 工作台 工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩上运走，若工 作台数固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多。 背 景 在生产进入稳态后，给出衡量传送带效 率的指标，研究提高传送带效率的途径 9.1 传送系统的效率
问题分析 进入稳态后为保证生产系统的周期性运转,应假 定工人们的生产周期相同,即每人作完一件产品 后,要么恰有空钩经过他的工作台,使他可将产 品挂上运走,要么没有空钩经过,迫使他放下这 件产品并立即投入下件产品的生产。 可以用一个周期内传送带运走的产品数占 产品总数的比例,作为衡量传送带效率的 数羁产周期虽然相同,但稳态下每人生产 完一件产品的时刻不会一致,可以认为是随机的, 并且在一个周期内 刻的可能性相回
问题分析 • 进入稳态后为保证生产系统的周期性运转，应假 定工人们的生产周期相同，即每人作完一件产品 后，要么恰有空钩经过他的工作台，使他可将产 品挂上运走，要么没有空钩经过，迫使他放下这 件产品并立即投入下件产品的生产。 可以用一个周期内传送带运走的产品数占 产品总数的比例，作为衡量传送带效率的 数量指标。 • 工人们生产周期虽然相同，但稳态下每人生产 完一件产品的时刻不会一致，可以认为是随机的， 并且在一个周期内任一时刻的可能性相同
模型假设 1)n个工作台均匀排列,n个工人生产相互独立, 生产周期是常数; 2)生产进入稳态,每人生产完一件产品的时刻在 个周期内是等可的 3)一周期内 通过每一工作台 的上方,到达第一个工作台的挂钩都是空的; 4)每人在生产完一件产品时都能且只能触到一只 ,若这只挂钩是空的,则可将产品挂上运走; 若该钩非空,则这件产品被放下,退出运送系统
模型假设 1）n个工作台均匀排列，n个工人生产相互独立， 生产周期是常数； 2）生产进入稳态，每人生产完一件产品的时刻在 一个周期内是等可能的； 3）一周期内m个均匀排列的挂钩通过每一工作台 的上方，到达第一个工作台的挂钩都是空的； 4）每人在生产完一件产品时都能且只能触到一只 挂钩，若这只挂钩是空的，则可将产品挂上运走； 若该钩非空，则这件产品被放下，退出运送系统
模型建立 定义传送带效率为一周期内运走的产品数(记作s, 待定)与生产总数n(已知)之比,记作D=/m 为确定s,从工人考虑还是从挂钩考虑,哪个 方便出一周期内每只挂钩非空的概率,则s=mp 如设每只挂钩为空的概率为q,则p=1-q 同一设每只挂钩不被一工人触到的概率为r,则q=r 求 概设每只挂钩被一工人触到的概率为u,则r=1-u 率 一周期内有m个挂钩通过每一工作台的上方 =1/m口p=1-(1-1/m)yD=m[1(1 1/m)n]/
模型建立 • 定义传送带效率为一周期内运走的产品数（记作s, 待定）与生产总数 n（已知）之比，记作 D=s /n • 若求出一周期内每只挂钩非空的概率p，则 s=mp 为确定s，从工人考虑还是从挂钩考虑，哪个 方便？ 如 设每只挂钩为空的概率为q，则 p=1-q 何 求 概 率 设每只挂钩不被一工人触到的概率为r，则 q=rn 设每只挂钩被一工人触到的概率为u，则 r=1-u u=1/m p=1-(1-1/m) n D=m[1-(1- 1/m)n]/n 一周期内有m个挂钩通过每一工作台的上方
模型解释 传送带效率(一周期内运走 产品数与生产总数之比)~D=“1-(1-)” 若(一周期运行的挂钩数m远大于工作台数n,则 772 nn(n-1 n-1 D≈[1-(1 )=1 772 2m 2m 定义(周期内未运走产品数与生产总数之比) 当n远大于1时,E≈n/2m~E与n成正比,与m成 反比若m=10,mF=40, 提高效率·增加m D≈ (89.4%0)的途径:·习题1
模型解释 若(一周期运行的)挂钩数m远大于工作台数n, 则 )] 2 ( 1) [1 (1 2 m n n m n n m D − − − + 传送带效率(一周期内运走 产品数与生产总数之比） ) ] 1 [1 (1 n n m m D = − − 定义E=1-D (一周期内未运走产品数与生产总数之比） 提高效率 的途径： • 增加m • 习题1 当n远大于1时, E n/2m ~ E与n成正比，与m成 反比 若n=10, m=40, D87.5% (89.4%) m n 2 1 1 − = −
9.2报童的诀窍 报童售报:a(零售价)>b(购进价)>c(退回价 问 题出份赚ab;退回一份赔bC 每天购进多少份可使收入最大? 购进太多→卖不完退回→赔钱 分讲太少→不够销售>赚钱少 存在一个合 析 适的购进量 三应根据需求确定购进量 每天需求量是随机的 每天收入是随机的 优化问题的目标函数应是长期的日平均收入 等于每天收入的期望
9.2 报童的诀窍 问 题 报童售报： a (零售价) > b(购进价) > c(退回价) 售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c 每天购进多少份可使收入最大？ 分 析 购进太多→卖不完退回→赔钱 购进太少→不够销售→赚钱少 应根据需求确定购进量 每天需求量是随机的 优化问题的目标函数应是长期的日平均收入 每天收入是随机的 存在一个合 适的购进量 等于每天收入的期望
准调查需求量的随机规律—每天 备需求量为r的概率f(,r=04,2 建设每天购进n份,日平均收入为G(n) 模 已知售出一份赚a-b;退回一份赔b-c r≤n→售出→赚(a-b →退回n-→赔(b C)(n-7 r>n→售出n→赚(a-b)n G(n)=∑|(a-b)-(b-c)(n-r)lf(r)+∑(a-b)/() 求n使G(n)最 大
建 模 设每天购进 n 份，日平均收入为 G(n) 调查需求量的随机规律——每天 需求量为 r 的概率 f(r), r=0,1,2… 准 备 ( )( ) ( ) n r b c n r r n r a b r − − − − 退回 赔 售出 赚 r n 售出n 赚(a −b)n = = + = − − − − + − n r r n G n a b r b c n r f r a b nf r 0 1 ( ) [ ( ) ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) 求 n 使 G(n) 最 大 • 已知售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c
求解”将视为连绩变/()→p()(概率密度) G(n)=[u-b)r-(b-c)(n-rlp(r)dr+(a-bnp(r)dr dG (a-b)np(n)-(b-o)p(r)dr dh (a-bnp(n)+L(a-b)p(r)dr -(b p(rdr+(a-b p(rdr dG 0 。p()da-b p()dr b
= − − − − + − n n G n a b r b c n r p r dr a b np r dr 0 ( ) [ ( ) ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) = dn dG 求解 将r视为连续变 量 f (r) p(r) (概率密度） = 0 dn dG b c a b p r dr p r dr n n − − = ( ) ( ) 0 = − − + − n n b c p r dr a b p r dr 0 ( ) ( ) ( ) ( ) − − + − n (a b)np(n) (a b) p(r)dr − − − n a b np n b c p r dr 0 ( ) ( ) ( ) ( )