第二章初等模型 谢授内容 1公平席位分配 2双层玻璃功效 3动物身长与体重 4量纲分析
第二章 初等模型 • 讲授内容 ： • 1 公平席位分配 • 2 双层玻璃功效 • 3 动物身长与体重 • 4 量纲分析
1位分配间题 某校有200名学生,甲系100名,乙系60名, 丙系40名,若学生代表会议设20个席位,问三系各 有多少个席位? 1.1问题的提出 按惯例分配席位方案,即按人数比例分配原则 m表示某单位的席位数 DN 表示某单位的人数 表示总人数 表示总席位数
1 席位分配问题 某校有200名学生，甲系100名，乙系60名， 丙系40名，若学生代表会议设20个席位，问三系各 有多少个席位？ 按惯例分配席位方案，即按人数比例分配原则 N p m = q m 表示某单位的席位数 p 表示某单位的人数 N 表示总人数 q 表示总席位数 1.1 问题的提出
20个席位的分配结果 系别人数」所占比例分配方案席位数 甲三100100200650/10020=10 10 60 60/200-(30/100)20=6 6 40 40/200(20/10020=4 4 现丙系有6名学生分别转到甲、乙系各3名 「系圳人数」所古比例分配方案席位数 甲103103/200=515%51.5%20=10.3 10 6363/200=31.5%31.5%°20=6.3 6 丙343420017.0%17.0%20=3.4 4 象1丙系虽少了6人,但席位仍为4个。(不公平!)
20个席位的分配结果 系别 人数 所占比例 分配方案 席位数 甲 100 100/200 (50/100)•20=10 乙 60 60/200 (30/100)•20=6 丙 40 40/200 (20/100)•20=4 现丙系有6名学生分别转到甲、乙系各3名。 系别 人数 所占比例 分配方案 席位数 甲 103 103/200=51.5% 51.5 %•20 =10.3 乙 63 63/200=31.5% 31.5%•20=6.3 丙 34 34/200=17.0% 17.0%•20=3.4 10 6 4 10 6 4 现象1 丙系虽少了6人，但席位仍为4个。（不公平！）
为了在表决提案时可能出现10:10的平局,再设一个席位 21个席位的分配结果 别人数所占比例 分配方案 席位数 103103/200=51.5%51.5%21=10.81511 乙6363200315%315%21=6615 丙3434/200=17.0%17.0%21=3.570 3 象2总席位增加一席,丙系反而减少一席。(不公平!) 償例分配方法:按比例分配完取整数的名额后,剩下的名额 按惯例分给小数部分较大者。 存在不公平现象,能否给出更公平的分配席位的方案?
为了在表决提案时可能出现10：10的平局，再设一个席位。 21个席位的分配结果 系别 人数 所占比例 分配方案 席位数 甲 103 103/200=51.5% 51.5 %•21 =10.815 乙 63 63/200=31.5% 31.5%•21=6.615 丙 34 34/200=17.0% 17.0%•21=3.570 11 7 3 现象2 总席位增加一席，丙系反而减少一席。（不公平！） 惯例分配方法：按比例分配完取整数的名额后，剩下的名额 按惯例分给小数部分较大者。 存在不公平现象，能否给出更公平的分配席位的方案？
2建模分析 目标:建立公平的分配方案。 反映公平分配的数量指标可用每席位代表的人数来衡量。 系别」人数席位数每席位代表的人数 甲 100 10 100/10=10 60 6 60/6=10 丙 40 4 40/4=10 系别人数席位数每席位代表的人数公平程度 甲10310103/10=103 中 乙63 6 63/6=10.5 丙34 34/4=8.5 差好
1.2 建模分析 目标：建立公平的分配方案。 反映公平分配的数量指标可用每席位代表的人数来衡量。 系别 人数 席位数 每席位代表的人数 公平程度 甲 103 10 103/10=10.3 中 乙 63 6 63/6=10.5 差 丙 34 4 34/4=8.5 好 系别 人数 席位数 每席位代表的人数 甲 100 10 100/10=10 乙 60 6 60/6=10 丙 40 4 40/4=10
系别人数席位数每席位代表的人数公平程度 甲10311103/11=936 63 7 63/7=9 丙34 3 34/3=11.33 中一好—差 般地, 单位人数席位数每席位代表的人数当 A pip B P272 席位分配公平
系别 人数 席位数 每席位代表的人数 公平程度 甲 103 11 103/11=9.36 中 乙 63 7 63/7=9 好 丙 34 3 34/3=11.33 差 一般地， 单位 人数 席位数 每席位代表的人数 A B p1 p2 n1 n2 1 1 n p 2 2 n p 当 2 2 1 1 n p n p = 席位分配公平
但通常不一定相等,席位分配的不公平程度用以下标准来 判断。 1 称为“绝对不公平”标准。 此值越小分配越趋于公平,但这并不是一个好的衡量标准。 单位人数p席位数n每席位代绝对不 表的人数平标准 12010 12 12-10=2 ABCD 110010 10 102010 102 102-100 100010 100 2 C,D的不公平程度大为改善!
但通常不一定相等，席位分配的不公平程度用以下标准来 判断。 1) 称为“绝对不公平”标准。 2 2 1 1 n p n p − 此值越小分配越趋于公平，但这并不是一个好的衡量标准。 单位 人数p 席位数n 每席位代 表的人数 绝对不公 平标准 A 120 10 12 12-10=2 B 100 10 10 C 1020 10 102 102-100 D 1000 10 100 =2 C,D的不公平程度大为改善！
2)相对不公平 P表示每个席位代表的人数,总人数一定时,此值 越大,代表的人数就越多,分配的席位就越少 则A吃亏,或对A是不公平的 定义“相对不公平” 若 则 (n1,n2) 1/m1-p2/m2=P 对A的相对不公 P2/n2 p2n 平值; 同理,可定义对B的相对不公平值为:
2） 相对不公平 n p 表示每个席位代表的人数，总人数一定时，此值 越大，代表的人数就越多，分配的席位就越少。 2 2 1 1 n p n p 则A吃亏,或对A 是不公平的。 定义“相对不公平” 若 ， 则称 2 2 1 1 n p n p ( , ) 1 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2 = − − = p n p n p n p n p n rA n n 对A 的相对不公 平值； 同理，可定义对B 的相对不公平值为：
称 ,人一=互一对B的相对不公 P/P2平值 建立了衡量分配不公平程度的数量指标A,/B 制定席位分配方案的原则是使它们的尽可能的小 1.3建模 若A、B两方已占有席位数为172,用相对不公平值 讨论当席位增加1个时,应该给A还是B方 不失一般性,若> 有下面三种情形
若 ， 则称 2 2 1 1 n p n p ( , ) 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 = − − = p n p n p n p n p n rB n n 对B 的相对不公 平值； 建立了衡量分配不公平程度的数量指标 A B r ,r 制定席位分配方案的原则是使它们的尽可能的小。 1.3 建模 若A、B两方已占有席位数为 , , n1 n2 用相对不公平值 讨论当席位增加1 个时，应该给A 还是B 方。 不失一般性， 2 2 1 若 1 ， n p n p 有下面三种情形
情形1 说明即使给A单位增加1席,仍对A n1+1m2 不公平,所增这一席必须给A单位 情形2 说明当对A不公平时,给A单 n1+1 位增加1席,对B又不公平。 计算对B的相对不公平值 (n1+1,m2) P2m2=p1/(n1+1)p2(n1+1) P1/(n1+1) pin2 情形。卫> 说明当对A不公平时,给B单 12+1 位增加1席,对A不公平。 计算对A的相对不公平值 (1n2+D)=B1二P2/(2+1D P1(n2+1) P2/(n2+1)
情形1 1 2 2 1 1 ， n p n p + 说明即使给A 单位增加1席，仍对A 不公平，所增这一席必须给A单位。 情形2 1 2 2 1 1 ， n p n p + 说明当对A 不公平时，给A 单 位增加1席，对B 又不公平。 计算对B 的相对不公平值 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1, ) 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 − + = + − + + = p n p n p n p n p n rB n n 情形3 1 2 2 1 1 ， + n p n p 说明当对A 不公平时，给B 单 位增加1席，对A 不公平。 计算对A 的相对不公平值 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( , 1) 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2 − + = + − + + = p n p n p n p n p n rA n n