1鲑鱼数量的变化问题 问题的提出 海洋中鱼的数量通常是按繁殖期的长短呈周期 变化的。以太平洋里的鲑鱼为例,其生长繁殖过程 大致是,成年的鲑鱼产下大量的卵,在卵成长为幼 鱼和幼鱼长大的过程中,相当大的部分被成年的鱼 吃掉,剩下来的还要被恶劣的环境淘汰一些,而成 年的鱼在产卵后则活不了多久就会死掉。 试建立鲑鱼产卵期到来之前,其数量变化规 律的数学模型
海洋中鱼的数量通常是按繁殖期的长短呈周期 变化的。以太平洋里的鲑鱼为例，其生长繁殖过程 大致是，成年的鲑鱼产下大量的卵，在卵成长为幼 鱼和幼鱼长大的过程中，相当大的部分被成年的鱼 吃掉，剩下来的还要被恶劣的环境淘汰一些，而成 年的鱼在产卵后则活不了多久就会死掉。 一 问题的提出 试建立鲑鱼产卵期到来之前，其数量变化规 律的数学模型。 1.鲑鱼数量的变化问题
生长特点 1呈周期性变化; 2在每个周期里,经过了从卵、幼鱼到成年鱼 的变化过程。 般地,长期观察是呈离散变化,而在每个 离散时间段里呈连续变化。 如:树木的生长、冰箱温度的变化等, 嵌入式模型
二 生长特点 1 呈周期性变化； 2 在每个周期里，经过了从卵、幼鱼到成年鱼 的变化过程。 一般地，长期观察是呈离散变化，而在每个 离散时间段里呈连续变化。 如：树木的生长、冰箱温度的变化等， 嵌入式模型
嵌入式模型 它把一个个短期内描述连续变化过程的微分 方程,嵌入到一个长期的描述离散变化规律的差 分方程中,而那些描述短期演变过程的微分方程 三在定性上应该是相同的,只是在定量上参数与初 始条件有所改变
嵌入式模型 它把一个个短期内描述连续变化过程的微分 方程，嵌入到一个长期的描述离散变化规律的差 分方程中，而那些描述短期演变过程的微分方程 在定性上应该是相同的，只是在定量上参数与初 始条件有所改变
三符号的说明 x:第n个繁殖期(周期)开始时成年鲑鱼 (鲑鱼)的数量,以条数计,n=1,2,; y():在每个周期内,时刻t幼鱼的数量; 为了反映每个周期末和下个周期开始时 的突变性,引入下列记号: n<t≤t≤t<n+1 n+8, th=n+I-8 E可以很小。在区间[,[tb,n+1 内允许数量上的突变
三 符号的说明 ：第n个繁殖期（周期）开始时成年鲑鱼 （鲑鱼）的数量，以条数计，n=1,2,…； ：在每个周期内，时刻t 幼鱼的数量； 为了反映每个周期末和下个周期开始时 的突变性，引入下列记号： n x y(t) , , , = + = + − + 1 1 t n t n n t t t n a b a b 可以很小。在区间 [n,t ],[t ,n +1] a b 内允许数量上的突变
四模型的假设 y()与x成正比,比例系数为a,表示每 条鱼的产卵量; 2单位时间内y(减少的比例与x。成正比, 比例系数为B,表示鲑鱼吞食幼鱼的能力; 3x与(成正比,比例系数为y,表示在 繁殖期末幼鱼存活长成鲑鱼的比例
四 模型的假设 1 a n y(t )与x 成正比，比例系数为 ，表示每 条鱼的产卵量； 2 单位时间内 减少的比例与 成正比， 比例系数为 ，表示鲑鱼吞食幼鱼的能力； y(t) n x 3 ( ) n b x 与y t +1 成正比，比例系数为 ，表示在 繁殖期末幼鱼存活长成鲑鱼的比例
五模型建立 根据假设条件容易写出 y(ta)=a (1) n,n<t≤t≤tb<n+1(2) 1=2 (3) 方程(2)的解为 Bx y (4) 将(1),(4)代入(3)式得 Xn+l ae B(b-taxnn=0\2, (5)
五 模型建立 根据假设条件容易写出 ( ) a n y t =x = − x n t t t n +1 y y n ， a b ( ) n b x = y t +1 （1） （2） （3） 方程（2）的解为 ( ) ( ) ( ) n a x t t a y t y t e − − = （4） 将（1），（4）代入（3）式得 xn+1 = xn e − (t b −t a )xn ,n = 0,1,2, （5）
若记 a=ra, b=B(th-ta (6) 则方程(5)可写作 n+1 ax.e-mn,n=0.1,2 差分方程(7)是将每周期内的微分方程(2)嵌入 (1)、(3)得到的。这种嵌入式模型的一般形式 可以表为 t=f(r) g n<ta≤t≤tb<n+1 (8) xn=h(v(t, ) 差分方程(7)无法求出x的显式表达式,只能递推 求数值解。例如设=10x=1(表示1个数量单位
若记 ( ) b a a = ,b = t −t （6） 则方程（5）可写作 xn+1 = axn e −b xn ,n = 0,1,2, （7） 差分方程（7）是将每周期内的微分方程（2）嵌入 （1）、（3）得到的。这种嵌入式模型的一般形式 可以表为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) = = = n+ b a n x h y t y t g y y t f x 1 n t a t t b n +1 （8） 差分方程（7）无法求出 n x 的显式表达式，只能递推 求数值解。例如设 10 0 1 5 = ,x = （表示1个数量单位
比如10条),第1代(m=0)鲑鱼吞食掉90%的幼鱼 即 01,代入(4),(6)是可以算出 0.1=e B(h-ta) ,b=B(-tn)=h10≈2.3 若y分别取05×10411×10-1.5×10,则由(6)式 a=y0=5,11,15 将abx代入(7)式递推计算x,考察鲑鱼数量的 周期变化规律,结果见表
比如 8 10 条），第1代（ n = 0 ）鲑鱼吞食掉90%的幼鱼 即 ( ) ( ) 0.1 y t y t a b = ，代入（4），（6）是可以算出 ( ) 0.1 e ,b (t b t a ) ln10 2.3 t t b a = = − = − − 若 分别取 4 4 4 0 5 10 1 1 10 1 5 10 − − − . , . , . ，则由（6）式 a = = 5, 11, 15 将 0 a,b,x 代入（7）式递推计算 n x ，考察鲑鱼数量的 周期变化规律，结果见表
n a=5a=lla=5 a=5a =11 a=15 0=10010004100011069791.7391:84 10.5001.1001.500120.6996034880.3691 20.79060.96110.7115130.69861.7192.367 30.64021.,1562.074140.69920361401526 40,73290.8760.2625150.69881.7301.611 50.67781.2652.151160.69910.35450.5919 60,71170.75620.2278170.69891.7242.272 10.69121.4582022180.69900.358101821 8-0.70370.55840.2882190.69891.7271.796 90.69611.6982.226200.69900.356204308 10070070.3744|0198321 17252.396
0 1.000 1.000 1.000 11 0.6979 1.739 1.884 1 0.500 1.100 1.500 12 0.6996 0.3488 0.3691 2 0.7906 0.9611 0.7115 13 0.6986 1.719 2.367 3 0.6402 1.156 2.074 14 0.6992 0.3614 0.1526 4 0.7329 0.8876 0.2625 15 0.6988 1.730 1.611 5 0.6778 1.265 2.151 16 0.6991 0.3545 0.5919 6 0.7117 0.7562 0.2278 17 0.6989 1.724 2.272 7 0.6912 1.458 2.022 18 0.6990 0.3581 0.1821 8 0.7037 0.5584 0.2882 19 0.6989 1.727 1.796 9 0.6961 1.698 2.226 20 0.6990 0.3562 0.4308 10 0.7007 0.3744 0.1983 21 1.725 2.396 n a = 5 a =11 a =15 n a = 5 a =11 a =15
na=11a=151a=11a=15 220.35720.1443320.35680.4531 231:7261552331.7262.394 240.35670.6526340.35680.1449 251.7262.178351.7261.557 260.356902167360.35680.6481 271.7261.973371.7262.186 280.356803147380.356802137 291.7262.287391.7261.960 300.35690.1771400356803225 311.7261676 按(7)式(b=23和不同的a)计算的x
22 0.3572 0.1443 32 0.3568 0.4531 23 1.726 1.552 33 1.726 2.394 24 0.3567 0.6526 34 0.3568 0.1449 25 1.726 2.178 35 1.726 1.557 26 0.3569 0.2167 36 0.3568 0.6481 27 1.726 1.973 37 1.726 2.186 28 0.3568 0.3147 38 0.3568 0.2137 29 1.726 2.287 39 1.726 1.960 30 0.3569 0.1771 40 0.3568 0.3225 31 1.726 1.676 n a =11 a =15 n a =11 a =15 按（7）式（b=2.3和不同的a）计算的 n x