第7章差分方程模型 7,1市场经济中的蛛网模型 7.,2减肥计划—节食与运动
7.1 市场经济中的蛛网模型 7.2 减肥计划——节食与运动 第7章 差分方程模型
7.1市场经济中的蛛网模型 供大于求价格下降〉减少产量 现 象 个数量与价格在振荡 量 增加产 价格上涨 供不应求 描述商品数量与价格的变化规律 间商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定 题当不稳定时府能采取什么干预手段使之稳定
7.1 市场经济中的蛛网模型 问 题 供大于求 现 象 商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定 当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定 价格下降 减少产量 增加产量 价格上涨 供不应求 描述商品数量与价格的变化规律 数量与价格在振荡
蛛网模型 xκ第k时段商品数量;y~第时段商品价格 消费者的需求关系需求函数y=f(x)减函数 生产者的供应关系供应函数x=h()增函数 Vk=g(k+ g ∫与g的交点P0xmb)~平衡点 yo 日 k=x0,则yk=y k+1Xk+2…三 0 0 Jk+1yk+2,…=y10
蛛 网 模 型 g x0 y0 P0 f x y 0 xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格 消费者的需求关系 ( ) k k y = f x 生产者的供应关系 减函数 供应函数 增函数 需求函数 f与g的交点P0 (x0 ,y0 ) ~ 平衡点 一旦xk=x0，则yk=y0 , xk+1 ,xk+2 ,…=x0 , yk+1 ,yk+2 , …=y0 ( ) k 1 k x = h y + ( ) k = k+1 y g x
蛛网模型y=fx)x=My)y=8(x) 设x1偏离x0x→y→x2→y2→>x→ Xk> xo,Jk> yo xk>Xo>Vk->yo B→B→B→>…→>B→B→>B→>…xP P0是稳定平衡点 P0是不稳定平衡点 g 曲线斜率 K<K yo K K 0 3x1 x 0
x y 0 f g y0 x0 P0 设x1偏离x0 x1 x2 y P2 1 P1 y2 P3 P4 x3 y3 x1 → y1 → x2 → y2 → x3 → P1 → P2 → P3 →→ P0 0 0 x x , y y k → k → P0是稳定平衡点 P1 P2 P3 P4 P0是不稳定平衡点 K f Kg x y 0 y0 x0 P0 f g ( ) k k y = f x ( ) k 1 k x = h y + ( ) k = k+1 y g x 0 0 x x , y y k → k → K f Kg 曲线斜率 蛛 网 模 型 P1 → P2 → P3 →→ P0
方程模型在P点附近用直线近似曲线 f(,) yk=-y==0(xk-x0)(a>0 k+1 h(k) x1-x0=B(yk-y0)(B>0 x1-x0=-0B(x-x0)x-x0=(0)(x-x0) a1(a>1)x→P0不稳定K>K 方程模型与蛛网模型的一致∝=K 1/B=K g
( ) k k y = f x ( ) k 1 k x = h y + 在P0点附近用直线近似曲线 ( ) ( 0) yk − y0 = − xk − x0 ( ) ( 0) xk+1 − x0 = yk − y0 ( ) 1 0 0 x x x x k + − = − k − ( ) ( ) 1 0 1 0 x x x x k k + − = − − 1 P0稳定 P0不稳定 0 x x k → xk → = K f = Kg 1/ ( 1/ ) ( 1/ ) 1 方 程 模 型 K f Kg K f Kg 方程模型与蛛网模型的一致
:::1"" 考察,B的含义 xk~第k时段商品数量;yk第k时段商品价格 Kyo CIX1-x k α~商品数量减少1单位,价格上涨幅度 xkl -xo=B(r-yo β~价格上涨1单位,(下时段)供应的增量 a~消费者对需求的敏感程度a小,有利于经济稳定 β~生产者对价格的敏感程度小,有利于经济稳定 c<1经济稳定
( ) 0 0 y y x x k − = − k − ~ 商品数量减少1单位, 价格上涨幅度 ( ) 1 0 0 x x y y k+ − = k − ~ 价格上涨1单位, (下时段)供应的增量 考察 , 的含义 ~ 消费者对需求的敏感程度 ~ 生产者对价格的敏感程度 小, 有利于经济稳定 小, 有利于经济稳定 结果解释 xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格 1 经济稳定 结果解释
结果解释经济不稳定时政府的干预办法 1.使α尽量小,如a=0 需求曲线变为水平 f 以行政手段控制价格不变 2.使β尽量小,如B=01 供应曲线变为竖直 靠经济实力控制数量不变
经济不稳定时政府的干预办法 1. 使 尽量小，如 =0 以行政手段控制价格不变 2. 使 尽量小，如 =0 靠经济实力控制数量不变 x y 0 y0 g f x y 0 x0 g f 结果解释 需求曲线变为水平 供应曲线变为竖直
模型的推广生产者管理水平提高x=M) 生产者根据当前时段和前一时 Vty 段的价格决定下一时段的产量。 2 设供应函数为x-x=A[(+y)2-y] 需求函数不变y-=0(x-x0) 2x2+a+a=214+0)xk 二阶线性常系数差分方稆 严衡点及其稳定性的概念与微分方程的有关概念是一 x0为平衡点研究平衡点稳定, 即k→>0,xk→x0的条件
[( )/ 2 ] 1 0 1 0 x x y y y k+ − = k + k− − 模型的推广 • 生产者根据当前时段和前一时 段的价格决定下一时段的产量。 ( ) 0 0 y y x x k − = − k − 生产者管理水平提高 设供应函数为 需求函数不变 2xk+2 +xk+1 +xk = 2(1+)x0 , k =1,2, 二阶线性常系数差分方程 其平衡点及其稳定性的概念与微分方程的有关概念是一致的 x0为平衡点 研究平衡点稳定， 即k→, xk→x0的条件 ( ) k 1 k x = h y + + = − + 2 1 1 k k k y y x h
模型的推广2x2+/+aB=2(1+a)xn 方程通解x=c1+c22(e1,c2由初始条件确定) 1,2特征根,即方程22+aB2+aB=0的根 平衡点稳定,即k>∞,xk→X0的条件2<1 aB±√(aB)-8aB 4 口A 2 平衡点稳定条件<2 比原来的条件C<1放宽了
4 ( ) 8 2 1,2 − − = 2 1 0 2x x x 2(1 )x k+ + k+ + k = + 方程通解 k k xk = c1 1 + c2 2 (c1 , c2由初始条件确定) 1, 2~特征根，即方程 2 0 的根 2 + + = 平衡点稳定，即k→, xk→x0的条件: 1,2 1 平衡点稳定条件 2 比原来的条件 1 放宽了 2 1,2 = 模型的推广
72减肥计划节食与运动 体重指数M=wkg(m2)185<BMI25 背景正常:BM25~超里;BM30~肥胖 多数减肥食品达不到减肥目标,或不能维持 适当的运动,在不伤害身体的前提下,达到减轻体 分析∵体重变化由体内能量守恒做坏引起 饮食(吸收热量)引起体重增加 代谢和运动(消耗热量)引起体重减少
7.2 减肥计划——节食与运动 背景 • 多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持 通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标 分析 • 体重变化由体内能量守恒破坏引起 • 饮食（吸收热量）引起体重增加 • 代谢和运动（消耗热量）引起体重减少 • 体重指数BMI=w(kg)/l 2 (m2 ). 18.525 ~ 超重; BMI>30 ~ 肥胖