线性代数作业18班级)姓名学号 交五很泡为,中比=1纸 线性代数期末考试模拟试题(二) 一、填空题 1.已知3阶方阵A的特征值λ1=1,A2=-1,A=2则|A-5E|= 若B=A3-5A2,则|B 2设A是3阶矩阵A的伴随矩阵,而|A|=3,01(34)-34|= (A·)-1|= 3若a1,a2,a3,1,都是4维列向量,且4阶行列式|a 1|=a,|a1,a2,B2,a3 b则|a1,a2,m3,+2B2|= ,|a,a2,aB1+2B2|= 4.设x=2是非奇异矩阵A的一个特征值,则矩阵B=(1A2)1+2E必有一个特征值为 ,C=(A·)2+E必有一个特征值为 5已知二次型f(x1,x2,x3)=(1-a)x+(1-a)+2a+2(1+a)xx的秩为2,则 a 二、计算下列行列式 111 10 0 100 (1-0.D)=0,(1,1,D=B:(1)基个两的( (,B)=,(E,)=,(1,, 率(1基(1)基由(D 坐(1)基AE
011 民,正 10x…xNx非虽,一D,…,,,我XmA货(D 法A式:即面 只且,的关天 下靠三(一,,2 中其,( 1 T =(一k)9+(a+A)只:五,=A虽南同() ()+(A)≥(8+A)只:当:≥(8)只+()只,0=队由:示) ≤(3一A只+(2+A只m≥(一A)9+(a+A)只: 设A·是3阶可逆矩阵A的伴随矩阵,且A=121,试求(A) 113 江十++ 其出求容, 界欢,康AD,六 四、设a1=(1,1,1,3),a2=(-1,-3,5,1),a3=(3,2,-1,t+2),a4=(-2,-6,10, t)7.(1)t为何值时,a1,a2,a3,a4线性无关;并在此时将向量阝=(4,1,6,10)T用它们线性表 示;(2)t为何值时,a1,a2,a3,a4线性相关;并在此时求其一个最大无关组
五、证明下列各题 (1)设A是mXn矩阵,a,a1,…,a-,是非齐次线性方程组Ax=b的n-r+1个线性 无关的解,且R(A)=r,证明:方程组AX=O的通解为X=k1(a1-a)+k2(a2-a0)+… k。(an-a),其中k(i=1,2,,n-r)为任意常数 (2)设n阶矩阵A满足条件A2=E,证明:R(A+E)+R(A-E)=n (提示:由结论1当AB=O时,R(A)+R(B)≤n以及结论2:R(A+B)≤R(A)+R(B 证明:R(A+E)+R(A-E)≤n以及R(A+E)+R(A-E)≥n) (A)为, A且,联带A养E是“A x1+x2+x3+x+x5=1 +2x2+x3+x4-3x5 六、当ab取何值时,线性方程组 a+2x2+2zx+6x=3有解,有解时求出其 1,1-bx1+4x2+3x3+3x-x3=b1,10)=分 全部解.013,1)=量向铁,美天,,,诗 关大大量个一其:关 的读1(
七、已知二次型f=2x1+3a2+3x+2ax2x3(a为参数,且a>0)通过正交变换可化为标准 形∫=y+2y+5y,试求参数a及所用的正交变换矩阵 (-)面端涂来鼠升为 32A=1一=.=的去次联 8,A (AE),=1A面,的去E最“AS D员,01,B=A,,0,民》且,量向民的》物,,B,,容 八、解下列各题 即+A,B:0 大(1)证明:由a1=(0,1,1),a2=(1,0,1),a3=(1,1,0)所生成的向量空间就是R. 区直个一处3+(A)= (=1)+(0-1)= (2)设R的两个基为(I):a1=(1,1,1),a2=(1,0,-1),a3=(1,0,1)T,(Ⅱ):b (1,2,1),b2=(2,3,4),b3=(3,4,5)T试求 (1)由基(I)到基(Ⅱ)的过渡矩阵 (2)向量b=b1+2b2-3b3在基(I)下的坐标