106· 线性代数重点难点30讲 第18讲行列式计算方法与技巧(1) 从第1讲至第17讲,着重对线性代数的重点内容进行详细讲解,侧重于基本知识的 习和基本计算的训练;从第18讲至第30讲,着重对线性代数的难点内容进行精细剖析, 重于解题方法和技巧方面的综合训练,希望读者在前17讲基本训练的基础上更上一层楼 达到较高的水平 从第18至21讲,着重讨论行列式计算的方法与技巧.计算n阶行列式的一般的思维程 序是:①看能否利用行列式的性质把它化为特殊行列式,即对角行列式、三角形行列式、范 德蒙行列式或可以利用乘法公式的行列式(即|AB|=1AHB1)(在第18、19讲讨论);② 看能否利用拆项法或升阶法求解(在第20讲讨论):③看能否设法将原行列式化成同形但阶 较低的行列式的函数,从而建立递推公式;或用数学归纳法求解(在第21进讨论). 这一讲除了灵活应用行列式的各种性质外,还要注意某些公式在计算中的运用.如 公式1 0 0 C b 公式2: bu b a21.a2 b Ca!cn2… 其中cn=anb+a2b2y+…+amb(i,j=1,2,…,n) 例1单项选择题 (1)设方阵A经若干次初等变换变成方阵B,则必成立() (A)|A|=1Bl; (B)|A|≠1B; (C)若|A1>0,则|B1>0;(D)若|A|=0,则|B|=0 cos a cos B cos y (2)3阶行列式sin2asin2sin2y=( (A)1 (B)-1 (C)0 (D)3
第18讲列式计算方法与技巧(1) 107 11 (3)方程 0的所有根为( (A)0,1,2;(B)1,2,3;(C)0,1,2,3;(D)1,2,3,4 000 00 00 (4)n阶行列式0a30…00=() 000 0 (A)a1,a2…an; (B (C)(-1)”a1a2…an; (D)(-1)"2a1a2…an (5)设A bI 且已知A1=2,|B1=-7,则|A+B (B)-5; (C)10; (D)-10 (6)设D4= b;b2b。f ,则第1列各元素的代数余子式之和 dd, d3 f Aa=() (A)0;(B)一f;,点(C)f;(D)随∫取值的不同而不同 解(1)应选(D)因为经初等变换,方阵行列式的值可能改变,也可能不改变,但方阵 行列式等于0或不等于0的性质不会改变,所以,只有(D)正确 (2)应选(C).因为将行列式第1行加到第2行上之后,行列式的第2行就与第3行相 同,从而行列式等于0. (3)应选(A)因为这是一个3次代数方程,它最多有3个根,面x=0,x=1和x=2 显然都满足方程,因而就是该方程的所有根 (4)应选(C)按第1行展开,得所求行列式等于 0/-) 0 =(-1)a1a2…an=(-1)”a1a2…a (5)应选(D).因为
108 线性代数重点难点30讲 T1+yr 2b A+B x2+y22b2 所以 tI+y x,+y, 2b 1x2+y2 2/1b.|yb =2×(2-7)=-10 这里要注意,一般地1A+B1≠A|+1B1,所以选择(B)就错了 (6)应选(A).第1列元素代数余子式之和可以表示为 Au+A,+Au+Aa= d2 d, f 事实上,由于上式右端的行列式与题给的行列式D4仅仅是第1列元素不同,而元素的 余子式与该元素所在行及所在列的元素是无关的,因此上述两个行列式第1列的对应 具有相同的代数余子式,而右端行列式第1列与第4列成比例,利用行列式的性质即得 Au t Az A3+ AM=0. 例2计算 2143 1323 分析该行列式具有各行元素之和相等的特点,可将2,3,4列都加到第1列,则第 元素全相等,再利用行列式的性质便很容易计算其值 解 1+23+3+428-2764 82764 1+23+3 781 16418 -7 -44 =10056-26-5610010-26-56 1937 63 437-63 19-37 =100-20-562401-35-561-1678 56-26
第18讲行列式计算方法与技巧(1 109 例3设f(x)=2x2-328x+8937,且 88 7897 7 求f(D)之值 解首先,第一列加上第二列对应元素的-1倍,再根据按一列展开定理,得 3389 D 0076 965 -33967=164 096 075 因此 f(D)=2D2-328D+8937=8937. 例4设 D 1111 badc d b 求(MD)2之值 解法1设M为M的转置行列式,则M=MMT 0 0 b2+c2+d2 0a2+b2+c2+d0 0 0 a2+b2+c2+d =(a2+b2+c2+d2)4 D 400 0040 0004 (MD)2=MD)2=256(a2+b2+c2+d2) 解法2按行列式M的第一列展开 b+b d a-b-c a-d c+dla-d =(a2+b2+c2+d
110· 生代数重点难点30讲 11 4000 400-2 0-2 (MD)2=256(a2+b2+c2+d2) 例5计算: +bb b-a a-b d-c c-d 0a-b0 bb 0 d o c+d a+b d b (利用公式1)M1 0 =(a+b)2-(c+d)2)(a-b)2-(c-d)2 (a +b+c+d(a+b-c-d(a-b+c-da-b-ct d) 例6计算: sin(a, +a2) n( D sin(a + as) sin(a,+a sin2a 分析此行列式的每个元素都是两项的和:sn(a,+a,)=sina,osa,+osa,sna,(i, 1,2,…,n).比较符合两个矩阵乘积后的形式,所以试把其分解成两矩阵之积的形式,再 用公式2计算行列式的值 解当n≥3时,根据公式2有
笫18讲行列式计算方法与技巧(1) 111 COsa CosQ cOsa sinaI Csa 1 0 sna1sina2… sinan则(1) 0 0 0 0 注意判断一个行列式D是否为0常用的方法有 (1)如果行列式D有1行或1列的所有元素全为0,则D=0; (2)如果D有两行或两列的对应元素相同或成比例,则D=0;渔c( (3)如果n阶行列式D中等于0的元素个数大于n2-n,则D=0 (4)如果D的转置行列式D=-D,则D=0 例7计算n阶行列式 2 2 0 解将第2至n列都加到第1列上去,得 n(n+1) 23 …00 00… 再按第1列展开,即得下三角形行列式 0 D=n(n+1)2-2…0 (-1)”(n1)!(n+1) 例8计算行列式 00|0 0 00 (1)D= (2)Dn=10a2 0 0000
112 线性代数重点难点30 其中a0,a1…aa,全不为零, 解(1)按第1列展开,即得到两个三角形行列式之和 00 0 00 ::+(-1y-yoxy…00=x+(-1y“y 000 :::(:: 000…0x|0 000…xy (2)第2行的-1倍加到第1行:第3行的一1倍加到第1行,…,第n+1行的- 倍加到第1行,即得 1_1..1 00 a1a2'"an( ao 00 例9计算行列式 D 解用行列式的性质将第1行的-1倍分别加到第2,3,…,n行上去,得 再将第2,3,…,n列分别加到第1列上去,有 0 D =(-m)m)=(-1ym(1 例10计算行列式
第18讲行列式计算方法与技巧(1) 113 D 解将第1行的-1倍分别加到第2,3,…,n行中去,得 D xix 0 0 再将第2,3,…,n列加到第1列,得上三角形行列式 0 0=(x+(n-1a(x-a) 例11计算行列式 D=|bBaB…B bB 9 P 解法1从第三行起各行减去第二行得 0 β
114 线性代数重点难点30讲 (n-2)3PB (n-1)a +(n-2)3 0 )(Aa+(n-2)λ9-(n-1)ab 解法2将第一行的(-P)倍加到其余各行,便得 b-d 0 0 D=b-d 0 0 00 B 0 0 B 1) (b-A