笫21讲行列式计算方法与技巧(4) 123 第21讲行列式计算方法与技巧(4) 有些n阶行列式D直接计算时感到难以入手,但通过计算其2阶D2、3阶D2甚至4阶 D4却发现它们随着阶数的增加呈现某种规律性,于是猜想其k阶D,也有相应的表达式(这 个表达式是k的函数),进而证明该表达式对k+1阶行列式D21也是对的,这就是应用数 学归纳法计算行列式的一股思路 利用行列式按行(列)的展开法则将原n阶行列式D化成同形但阶较低的行列式Dn1 的函数(即用D,1表达D),从而建立递推公式;反复应用这个逆推公式便可求得原行列式 Dn的值 例1计算行列式 解利用行列式的性质有 1xr-mti 2一 0 Dn=(-m)”xn+(-m)D4-1 反复应用这个递推公式便有 Dn=(-m)[-mDn2+(-m)2xn-1]+(-m)”lx =(-m)2D,2+(-m)“1xn1+(-m)"xn =(-m)Dny+(-m)"1xn2+(-m)1xn+(-m)lxn
124 线性代数重点难点30讲 (-m)D1+∑(-1)x,=(-m)"+(-m)∑ 例2证明 1+ D (其中a1≠0,i=1,2,…,n). 证根据行列式和的性质,有 1+a 111+a 11 D 1+ 将前一行列式的第n行乘以-1分别加到其他各行上去,得到三角形行列式,即可求 其值;后一行列式按第n行展开,再用递推公式则可得证 D= a =a1a2…an-1+an(a1a2…an-2+an-1D,-2 -1a1a2an-2 +1+1+1 例3证明 0 证用数学归纳法证 (1)D =x(x+a1)+a2=x2+a1x+a2=p2(x); (2)假设Dn1=pn1(x)成立; (3)证Dn=p2(x)=x"+a1x1+…+anx+an
第21讲行列式计算方法与技巧(4) 12 00: D 00:1 000 an an-I an-2 00 10 00 00 按第1列 0:0m +(-1)"an x十a =xDn+(-1)”an(-1) xpn1(x)+(-1)an(-1)”1=xpn(x)+an x(x1+a1x"2+…+an2x+an1)+ +……+an-2x2+an-tx+ P,(x) 例4证明 a+ B ap Ba… 000 000 1a+ 证法1记左式为Dn,由D第一列把行列式拆成两个,得 0 a+P aB 00 3 as 00 01 +P 0|+0 +β 00 + 00 00 =aD1+|o1a+…00(由第2行把行列式拆成两个)
126 线性代数重点难点30讲 1a0 0 + 000:1 0q3 00 Bo 1000…1a+Bl 00 1a+a3 00 n-1 +B…00 aDn-I+P 1a+β -1+P (21 同理有 由(21.2)·a-(21.1)·B得 证法2行列式D按第一列展开得 (a+B)Da-1-aBD 即 M-1=P(L 同理有 P(D-2-aD-3) 因此由递推公式(21.3)得 D- aD P”2(D2-aD1) =P"2[(a+B)2-q-a(a+p)]=P (21. 同样由a,P的对称性可得 D。-pD 故由(21.4)式与(21.5)式得 证法3用第二数学归纳法证明
第21讲行列式计算方法与技巧(4) 127 (1)n=2,结论显然正确 (2)设n≤k-1时结论成立; (3)当n=k时,根据行列式D,按第一列展开得 D, =(a+B)Dm-I-aBD,-2 则 D=(+pD1-q92=(+)2=1-2a-B 由归纳法原理,等式成立 例5证明: 0 0 sin(n +10 0 2cos8 证用数学归纳法证明 (1)当n=2时, 91|4cs20-1 2sin20cos8-sin8 sin30+ sin@- sing sin30 sin(2 +1)8 即结论成立; (2)设n≤k-1结论成立 (3)当n=k时,根据行列式D按第一行展开得 D2=2cosD-1-D2-2 acos sinko sin(k-1)8 sin(k+1)0+sin(k-1)0 sin(k-10 sin(k+ 1)0 例6证明: aa )"+( 证法1记左式为D,,D中第一行减去第二行得
128 线性代数重点难点30讲 T 0 D a (x +a)D,+(x-a axl(n-1)阶 0 0 )Dn1+( (x +a)D-l 即 行列式D。中所有a与-a位置对换,其D,值不变,故得 , =(x-a)D,.+ (21 (21.7)式·(x+a)-(21.6)式·(x-a)得 )+(x-a)" 证法2当n=2时, 设n=k-1结论成立,当n=k时,由于 (x+ 由归纳法原理,命题得证
