29讲特征值与特征向量的进一步讨论 173 第29讲特征值与特征向量的 进一步讨论 设A为n阶方阵,λ是一个数,若存在一个n维非零列向量x使关系式Ax=x成立 则称入为A的一个特征值,相应的非零列向量x称为A的属于入的特征向量关系式Ax Ax可等价地写成(A-AE)x=0(或(AE-A)x=0,方程组(A-AE)x=0存在非零解x 的充要条件是它的系数行列式1A-AEI=0称矩阵A-AE为A的特征矩阵,称行列式 1A-AE为A的特征多项式,称方程|A-AE|=0为A的特征方程,称特征方程|A λEI=0的根为A的特征根,A的特征根即A的特征值,A的特征值可能是实数,也可能是 复数 性质1如果x是A的属于特征值λ的特征向量,则x一定是非零向量,且对任意非零 常数k≠0,kx也是A的属于特征值λ的特征向量同一个特征值λ的特征向量x1,x2,…, xn的任意非零线性组合k1x1+k2x2+…+kx。仍是属于λ的特征向量 性质2属于不同特征值的特征向量线性无关 证对特征值的个数作数学归纳法由于特征向量是不为零的,所以单个的特征向量必 然线性无关,设属于k个不同特征值的特征向量线性无关.下面证明属于k+1个不同特征 值λ1,A2,…,A41的特征向量41,52,…,541必线性无关 设有关系式 a11+…+a5+at5+t=0 (29.1) 成立.(29.1)式两边乘以λ1得 a1A451+…+a4Ak154+a1A415t=0 (29.2) (29.1)式两边左乘A,得 a1A51+…+a4A5k+a1A5k1=0, (29.3) 即有 a1A151+…+ax5.+a.115n1=0 (29.4) (29.4)式-(29.2)式,得 (A1-1)51+…+a( (29.5) 根据归纳法假设,1,…,5线性无关,于是 (入4-A+1)=0, (29.6) 但已知A1,…,A4,λ,互不相等即入-An1≠0(i=1,2,…,k),所以 ,= =aA=0 这时(291)式变成a151=0,但≠0,所以ak=0,这就证明了引1,…,5线
174 线性代数重点难点30讲 性无关 根据归纳法原理,性质2得证 注意性质1说明属于一个特征值的特征向量有无穷多个,性质2说明一个特征向量不 可能同时属于不同特征值 性质3设λ是方阵A的特征值且x≠0,则矩阵A,A2,aA+bE,A",A1,A·分别 有特征值A+6x设x是A对应的特征向量,则x也是M,A +E,A”,A,A对应特征值A,2,a+b,X”,,A的持征向量 证只证明x是A4的持征值,A是A·的特征值其余读者自证 要证明A-x=3x,由条件Ax=x可知,A-Ax=Aax,即x=x(A2x).即Ax 1x.也就是说:1是A的特征值 11 由AAA·及A-1x=-x 474·x=1x,即有Ax= A的特征值为Ax是A的属于的特征向量 例1(1)设入=2是非奇异矩阵A的特征值,则矩阵(A2)有一特征值 (2)三阶方阵A的特征值为1,-1,2,则B=2A3-3A2的特征值为 (3)设四阶方阵A满足M2E+A=0,AA=2E,1A1<0,求A·的一个特征值 解(1)由性质3知,当A有特征值x=2时,A2相应地有特征值x2=2=4;}A2有 特征的号=4=3号4)”有特征值1=(3)1=故应填 (2)当A有特征值λ=1,-1,2时,对应地,B有特征值2A3-3x2=-1,-5,4 (3)此题的关键步骤是:|2E+A|=|-√2E-A 2E+A|=0,而2E+A|=|(-1)(-2E-A)|=(-1)|-2E-A|= 2E-A|,|-√2E-A|=0.由此可知A=-2是A的一个特征值进而由性质3 知 1=11A A 分别是A-,A‘的特征值 因为AA=2E,所以|AAT|=12E|=2E|=16,即 A12=1A11A|=16
第29讲特征值与特征向量的进一步讨论 175 于是,1A1=±4,又因1A1<0,所以1A|=-4,从而得22为A的一个特征值 注意一般地,若b为非零常数,方阵A满足1aE+bA|=0,则类似本题解法可得方 阵A有一个特征值为-b 性质4设A1,A2,…,A是n阶方阵A=(a)的特征值,则 事实上,在 RIs I E-A I= 的展开式中,有一项是主对角线上元素的连乘积 展开式中的其余各项,至多包含(n-2)个主对角线上的元素,其积关于A的次数最高是n 2,因此特征多项式中含λ的n次与n-1次的项只能在主对角线上元素的连乘积中出现,它 们是 在特征多项式中令A=0,即得常数项1-A|=(-1)”|A 因此,如果只写出特征多项式的前两项与常数项,就有 1AE-A1=A”-(an+a2+…+am)A+…+(-1)"|A1. 由根与系数的关系可知,A的全体特征值的和A1+λ2+…。为A的主对角线元素之 和,即a1+a2+…+am,而A的全体特征值的积1A2…k。为|A 注意由性质4知:A可逆的充要条件是A的特征值都不为0 例2设n阶矩阵A的特征值为1,2,…,n,试求|2A+E1 解由性质3知2A+E的特征值为2×1+1,2×2+1,…,n×2+1;由性质4知 12A+E|=II(2i+1) 例3设a=(1,0,-1),矩阵A=aa2,n为正整数,试求|aE-A"1的值 解由A=a-0(1,-1)及a2a=(1,0,-1)0=2,得 aa= a(a'a)a=2A 设λ是A的特征值,x是A的属于x的特征向量,则从A2x=2Ax,得A2x=2x,即
176 线性代数重点难点30 (x2-2)x=0;又x≠0,所以x2-2=0,进而知A的三个特征值为A1=2,2=A3= 由性质3知:aE-A"的三个特征值为p1=a-2",2=3= 由性质4知:aE-A”1=p1k243=a2(a-2”) 例4设方阵A=(a)可逆,且A的特征值为1,23试求1A1的代数余子式 A1,A2,As之和An+A2+A3 解A1,A2,As为A的主对角线元素由性质4知:A·的主对角线元素之和等于 A‘的全部特征值之和. 由于A1的特征值为1,,3 故由性质3知A的全部特征值为1,2,3(因为A是A-1 的逆)由性质4知1A1=1×2×3=6又利用性质3得知A的全部特征值为号号 即6,3,2.所以A1+A2+A=6+3+2=11 例5已知四阶矩阵A与B相似A的特征值为3,,3,试计算1B2-E 解因为A~B,所以B的特征值亦为234,5(相似矩阵有相同的特征值)B1- E的特征值为1,2,3,4.再由性质4知,|B1-E|=1·2·3·4=24 例6已知A=2x2,B=020,且A~B,求x和y的值 解B为对角矩阵,A的特征值即为B的对角线元素-1,2,y,而特征方程为 1AE-A|=0, 即 (+2)[2-(x+1)A+(x-2)]=0 以A=-1代人得x=0,由x=0知A有特征方程 (+2)(2--2)=0,即(A+2)(A+1)(A-2)=0 故特征值为-1,2,-2,比较特征值知y=-2 性质5(方阵与对角矩阵相似的充要条件)n阶矩阵A与对角矩阵相似的充要条件是 有n个线性无关的特征向量 证只证必要性(充分性留给读者)设A可对角化,即存在可逆矩阵P=(a1,a an)(其中a1(i=1,2,…,n)为n维列向量),使 PAP 或A(a1,ax2,…,an)=(a1,a2,…,an)
正值与特征向量的进一步讨论 177 即有 (Aa1,Aa2,…,Aan)=(k1a1,A22,…,A,an), 所以 Aa=dIa1, Aa2=A2 a2, Aa.=A, a, 由此可知,α1是A的属于特征值λ,的特征向量(i=1,2,…,n),又因P是可逆的,所以 ax1,x2,…,an线性无关 由于不同特征值所对应的特征向量线性无关,所以由性质5可推出如下两个常用结论 推论1A可对角化的充要条件是有n个互不相等的特征值A1,A2,…,。 推论2A可对角化的充要条件是对A的任一特征根λ,其重数k,与对应线性无关特 征向量的个数相同,即n-R(λE-A)=k,=齐次方程组(λE-A)x=0的基础解系中 线性无关向量的个数 例7设A=0 问A能否对角化 入-1 入-1 A-1-4 (-1)4-10 5a+2A-2 +2A-2 =(A-1) 0 a-5a+2A-2 入-10 2 (A-1)0 2 (1)当2a-1≠1,2,即a≠1,3时,A有三个不同的特征值,所以由性质5知A可对 角化 (2)当2a-1=1,即a=1时,A的特征值为A1=1(二重),A2=2 由 1A1E-A=|E-A|=00-4 可知 R(λ1E-A)=R(E-A)=2 因λ1的重数≠n-R(A1E-A)=3-2=1,由性质5的推论知A不能对角化
178 线性代数重点难点30讲 (3)当2a-1=2,即a=3时,A的特征值为入,=1,k2=2(二重) 10 「10 I A2E-AI=I2E-AI= 可知R(2E-A)=2,因n-R(2E-A)=3-2=1≠A2的重数,由性质5的推论知A 不能对角化 综上,当a≠1,亏时,A可对角化 例8设矩阵A=x4y,已知A有三个线性无关的特征向量,x=2是A的 二重特征值,试求可逆矩阵P使得PAP为对角形矩阵 解因为A有三个线性无关的特征向量,A=2是A的二重特征值,所以由性质5知A 的对应于A=2的线性无关的特征向量有两个,故R(2E-A)=1 经过行的初等变换 1 1 2E-A 33-3 于是解得x=2,y=-2,从而矩阵A=24-2,其特征多项式 3-35 AE-A1=-2-42|=(A-2)2(A-6), 3A-5 由此得特征值A1=A2=2,A3=6 解(2E-A)x=0,得对应A1=A2=2的特征向量为 ax1=(1,-1,0)r, a2=(1,0,1) 解(6E-A)x=0,得对应A3=6的特征向量为a3=(1,-2,3) 200 令 P=(a,2,a3)=-10-2,则PAP=020 006
第29讲特征值与特征向量的进一步讨论 性质6(实对称矩阵A的性质)设A为实对称矩阵(A=A),则:①A的特征值为实 数,且A的特征向量为实向量;②A的不同特征值对应的特征向量必定正交;③A一定有n 个线性无关的特征向量,从而A相似于对角矩阵,且存在正交矩阵P,使PAP=PAP diag(A1,A2,…,λn)(主对角线元素依次为入1,A2,…,An的对角矩阵)其中λ1,…,λ为A的 特征值 例9设 4000 A B 则A与B() (A)合同且相似; (B)合同但不相似; (C)不合同但相似 (D)不合同且不相似 解因为A为实对称矩阵,故必有正交矩阵C,使得 CA 其中λ1,A2,A3,A4为A的特征值要证A与B合同且相似,须证A1=4,A2=k3=A4=0 1A-1-1 1A-1 1 1A-1 入00 000A 令1AE-A1=0,得出A的特征值A1=4,A2=A3=A4=0,所以对于实对称矩阵A,必 有正交矩阵C,使 CACE CAC= B
180 线性代数重点难点30讲 故A与B合同且相似故选(A) 例10若A1,A2为3阶实对称矩阵A的相异特征值,对应的特征向量分别为51=(1, 1,3),52=(4,5,a),则常数a= 解由于实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量必正交得 0=512=1×4+1×5+3×a,即a=-3 例11设三阶实对称矩阵A的特征值为A1=-1,A2=A3=1,对应于A1的特征向量 为51=(0,1,1)2,求A 提示关键是实对称矩阵属于不同特征值的特征向量必正交,且实对称矩阵必与对角 形矩阵A相似,即存在可逆矩阵C使CAC=A,或存在正交矩阵P使PAP=A求出 C或P,即可求得A,此题解题思路灵活性较强 解法1设x=(x1,x2,x3)为A的属于特征值A2=A3=1的特征向量,因为A为 实对称矩阵,故x=x2与5=1必正交,即x2+x=0.此方程组的基础解系为2 =0,53=1.52,53为A的属于2=A3=1的线性无关的特征向量 因为A=-1与A=1互异,故51,52,5线性无关,三阶方阵A有3个线性无关的特征 向量,于是A与对角形矩阵相似,即可逆矩阵C=(51,2,53),使得 CAC= 从而 100 010 10 0 0 10 10 0 法2设x=(x1,x2,x3)为A的属于2=A3=1的特征向量因为A为实对称 矩阵,故
第29讲特征值与特征向量的进一步讨论 181 x2与51=1 010 必正交,即 x2+x3=0 其基础解系 0 ,53 为A的属于A2=3=1的线性无关的特征向量 向量51,52,53两两正交,将它们单位化,则 0 0 √2 100 为A的两两正交的单位的特征向量,令 P-(1,2,e3)=0 √2 则P为正交矩阵,且 AP=010 001 00 A=P010P=P010p 001 001 01 0 100 0 00