·86· 线性代数重点难点、30讲 第16讲 二次型及其矩阵 n个变量组成的二次齐次多项式 a11x1+a22x2+…+a-x2+2a12x1x2+2a13x13…+2a-1.xn-1x 称为一个n元二次型，记为f(x1,x2,…,xn),即 a11a12 al C1 a21a22 …a2 X2 f(x1,x2,…,xn) = :: Lanl a2 … =xTAx (AT=A). 1.化二次型为标准型 二次型f(x1,…,xn)=xAx经过合同变换x=Cy可化为 f=xAx=yCTACy=∑dy2(r≤n), 称为∫的标准形. 二次型的标准形不是唯一的，与所作的合同变换有关，但系数不为零的平方项的个数由 (A的秩)唯一确定，任一实二次型f都可经合同变换化为规范型： f=i+…+--…-2, 其中r为A的秩，p为正惯性指数，r一力为负惯性指数，且规范型唯一， 化二次型为标准型的方法有：配方法、正交变换法： 2.正交变换矩阵的求法 设A是n阶实对称矩阵，按以下步骤进行： (1)求出A的全部特征值1,2，…，入，； (2)对每个入，(i=1,2,…,t),求出(E一A)x=0的一个基础解系i1,a2,…,a; (3)将ai,2,…,a正交化、单位化，得ea1,e2,…,e,它是单位正交向量组，而且是 A的属于入的线性无关的特征向量； (4)以e,e2,…,e1s1,e2,e2,,e22,…,en,…,e为列向量，构造出正交矩阵P,P 即为所求的正交变换矩阵，使P1AP为对角矩阵. 例1用矩阵记号表示下列二次型 (1)f(x1,x2,x3)=x+3x+7x3+2x1x2-4x1x3+x2x3; (2)f(x,y,z)=2x2+y2-4xy-4y2, 解(1)该二次型矩阵为实对称矩阵
笫16讲二次型及其矩阵 2 故f(x1,x2,x3)=[x1,x2,x3] 13 2x2,或简记为∫=xAx,其中x= 2 (2)该二次型矩阵为实对称矩阵 0-20 210 例2若二次型f(x1,x2,x3,x)的矩阵A= ,试求二次型 0300 000 f(x1,x2,x3,x4) 解f(x1,x2,x3,x4)=[x1,x2,x3,x] 0300x3 =-2x2+x2+2x1x2-x1x4+6x2x3 例3试求一个正交变换,把二次型 f(x1,x2,x3)=x2+4x2+4x3-4x1x2+4x1x3-8x2x 化为标准形 解二次型∫的矩阵
线性代数重点难点30讲 由A的特征方程 I A-AE I 4|=-2(A-9)=0, 44-A 解出A的特征值A1=A2=0,l3=9 A1=A2=0时,解方程组(A-0E)x=0.由 r2+2 200 2-4 得出同解方程:x1=2x2-2x3,其基础解系可取为 51=(0,1,1)2,52=(4,1,-1) 此时,51,52恰好正交.它们是特征值A1=A2=0对应的特征向量 λ3=9,解方程组(A-9E)x=0.由 8-22 8-2 A-9E 2-5-4 (-2) 020 001 011 011 +5y 得出同解方程组 基础解系为:3=(1,-2,2) 3是A3=9对应的特征向量 将相互正交的特征向量引1,2,53单位化 √2’√2 ‖2-3√2’3y2’3√2 I 53 3 可得正交矩阵 32 √23√2 112 √23√2 由此可得正交变换x=Py,其中y=(y1,y2,y2),它将二次型化为标准形 f( TAx=y P'A Py=933 注意上题在求A1=A2=0对应的特征向量时,若由方程组(A-0E)x=0的同解方
第16讲二次型及其矩阵 程x=2x2-2x3中,选取另一个基础解系: 51=(2,1,0),52=(-2,0,1) 则51,52虽线性无关,但不相互正交,因此,要正交化、单位化后才能作为正交矩阵P的相 应的列向量 例4设二次型f=x2+x2+x3+2ax1x2+2bx2x3+2x1x3(a>0,b>0)经正 交变换化成标准型f=y2+2y3试求常数a,b及正交变换矩阵P 分析根据二次型的矩阵和标准形的对角矩阵相似,从而有相同的特征值来求出常数 ,b,再把二次型的矩阵正交相似对角化可得正交变换矩阵 解因∫的矩阵A=a1b与对角阵A=1相似故A的特征值为x 2 =0时,因1A-0E|=0,即1A1=0,而 0a-b0 A 1 b 1 b (a-b)2=0, 故a=b;再由λ=1时,|A-E|=0,而 A-EI 01 0,b=0,A=010 1=0,解方程组(A-0E)x=0,可得基础解系,即A1=0对应的特征向量 5-(-101)单位化得,=(-是层) =1,解方程组(A-E)x=0,可得基础解系,即λ2=1对应的特征向量 2=(0,1,0),它已经是单位向量 A3=2,解方程组(A-2E)x=0.可得基础解系,即λ3=2对应的特征向量 5,=(101单位化可得6=(层) 由A的三个特征值相异,故对应的特征向量相互正交,由此得正交矩阵 P=010,则有PAP=010, Lo o 2 于是二次型f=x12+x2+x32+2ax1x2+2bx2x3+2x1x3,经正交变换x=Py化为
90 线性代数重点难点30讲 标准型∫=y2+2y3 例5已知二次型f(x1,x2,x3)=5x2+5x3+cx3-2x1x2+6x1x3-6x2x3的秩 为2,试求 (1)参数c及二次型对应的矩阵A的特征值; (2)方程f(x1,x2,x3)=1表示何种曲面 分析在此题(1)中主要涉及二次型的矩阵及矩阵的特征值的求法;(2)则综合线性代 数与解析几何的知识及二次型的标准形只有将二次型f化为标准形,才能显示出f(x1, x2,x3)=1表示何种二次曲面,所以(2)实际上是通过正交变换化二次型为标准形 解二次型f(x1,x2,x3)的秩即它的矩阵A的秩 3-3 因R(A)=2,故|A1=0.而 440 -16-3|=4(6c-18)=0, 解出c=3.再解A的特征方程|A-E|=0,即 A-AE1=-15 3=X(4-x)(x-9)=0 解得A1=0,A2=4,λ3=9 (2)由f的矩阵A的三个特征值互异,故可找到一个正交矩阵P以及正交变换x=Py 使∫化为标准形.即f(x1,x2,x3)=42+9,故f(x1,x2,x)=1表示椭圆柱面,其方程 为:4y2+9y=1 例6已知二次曲面方程为x2+ay2+x2+2y+2x+2y=4,可经正交变换y|= Py化为椭圆柱面方程y2+4y3=4试求a,b的值及正交矩阵P 解曲面方程左端为二次型f=x2+ay2+x2+2bxy+2x+2yx,经正交变换化为 标准形f=y2+4y23则f的矩阵A的特征值为A1=0,A2=1,A3=4 显然A1=0,A2=1分别满足特征方程|A-0E|=|A|=0,1A-E|=0.即
笫16讲二次型及其矩阵 91 1A1=ba1=-(b-1)2=0, 111 解出b=1,代入A中,再解方程 A-E|= 0,解得a=3 A1=0,解方程组(A-0E)x=0,得到入=0对应的特征向量 (-1,0,1),单位化得 1 λ2=1时,解方程组(A-E)x=0,得到A2=1对应的特征向量 p2 (1,-1,1),单位化得e2 3’3’√3 3=4,解方程组(A-4E)x=0,得到入3=4对应的特征向量 p3=(1,2,1),单位化得e3= 121 故所求正交阵 2 例7用配方法化二次型 f( a1 为标准形,并写出所用的可逆变换的矩阵 解先对x1配方,消去x1x2项,得 f 1 x2-4x2x3=2(x1-x 再对x2配方,消去x2x3项,即 f=2(x1-x2)2-(x3+4x2x3+4z3)+4xi 2(x1-x2)2-( )2+4x3 2 把二次型化为标准形f=2y-y2+4y3所作的可逆线性变换x=CF的可逆矩阵为:
92· 线性代数重点难点30讲 注意用正交变换和配方法所化成的二次型f=xAx的标准形不一定一样.若用正 交变换x=Py(P为正交矩阵)将二次型f=xAx化成为标准形,则标准形中变量平方项 的系数必组成A的全部特征值,但配方法化成的标准形则不然.例如,用配方法化二次型 f(x1,x2)=x2+2x1x2+2x为标准形:f=(x1+x2)2+x2,令x1+x2=y1,x2=y2 处Jx1=y-当”则在此满秩线性变换下就将f化成了标排形/=+,但标准形中 的系数1,1都不是f的矩阵A= 的特征值(A的特征值为+√5 例8(1)若二次型f(x1,x2,x3)=x2+x2+5x3+2tx1x2-2x1x3+4x2x3是正 定的,试求t的取值范围 (2)已知二次型f(x1,x2,x3)=mx2+mx2+mx3+2x1x2+2x1x3-2x2x3,则当 t为何值时,f是正定的;当t为何值时,f是负定的? 分析对一个具体的二次型,可通过判断其对应矩阵的顺序主子式来判断二次型的正 定和负定,所以此题可通过顺序主子式的正负性来确定二次型正定和负定的t的取值 解(1)∫的矩阵为 由∫正定的充要条件是A的各阶主子式都大于零,故有 1|=1>0, 1/≈1-t2>0,t12=-1(5t+4)>0 由1-2>0,-2(5t+4)>0,解得:-30 所以∫正定,当且仅当{(m+1(m-1)>0.于是m>2 (m+1)(m-2)>0
第16讲二次型及其矩阵 93 0,而f(0,0,1)=-40(i=1,2,…,n),且 存在正交矩阵P,使 PAP=PAP= 而 HA = F MM
94 线性代数重点难点30讲 其中M= P是可逆矩阵 充分性:已知存在可逆方阵M,且有A=M1M而A=(MM)=MM=A,故 A是对称矩阵因M为可逆矩阵故对任何非零列向量x都有Mx≠0(否则若Mx=0,则 由M'Mx=0,而MM=E,必有x=0).故对任何非零列向量x,f=xAx= xMMx=(Mx)Mx=‖Mx‖2>0,即二次型f=xAx为正定的,故A为正定矩阵 例11已知二次型f(x1,x2,x3)=2x+3x2+3x3+2ax2x3(a>0)通过正交变换 化成标准形f=y2+2y2+5y3,试求a及所用的正交变换矩阵 分析此题的特点是给出了二次型的标准形,这就相当于给出了二次型对应的实对称 矩阵A的特征值解特征方程1AE-A1=0就可以定出参数a.而A的属于入1=1,A2 2,A3=5的两两正交的单位特征向量p1,P2,P3构成的矩阵P=(p1,P2,P3)就是所求的 正交变换矩阵 200 解∫的矩阵A=03a,则对实对称矩阵A可找出正交矩阵P使PAP=A 2,即A与对角阵A相似故A的特征值A1=1,A2=2,A3=5 A1=1,由特征方程|A-E|=0,即 0 1A-E|=02a=4-a2=0, 解出a=2(因a>0),则 200 032 023 解方程组(A-AE)x=0(i=1,2,3),分别求出λ1=1,A2=2,A3=5对应的特征 向量 p1=(0,1,-1),p2=(1,0,0),p3=(0,1,1) 因为A的特征值A1,A2,A3互异,故P1,P2,P3必正交将它们单位化,可得正交矩阵 010 1