线性方程组解的结构 第11讲线性方程组解的结构 、齐次线性方程组 nU,=0 211+a 定义.a1,a2,…,a,为齐次线性方程组的一组解,如果满足:①ax1,a2,…,a,线性无 ammAn=0 关;②齐次线性方程组的任一解均可用a1,a2,…,a,线性表示,则a1,a2,…,ax,称为齐次 线性方程组的一个基础解系 齐次线性方程组的性质 (1)两个解的和仍是方程组的解 (2)一个解的若干倍仍是方程组的解 2.齐次线性方程组的有关定理 (1)如果方程组的系数阵A的秩为n,则方程组只有零解; (2)如果A的秩r<n,则方程组有非零解,此时方程组有基础解系51,52,…,n,其 含向量个数为n-r,其通解为x=k151+k252+…+kn5n- (3)方程的个数少于未知量的个数时,方程组有非零解; (4)如果方程个数等于未知量的个数,方程组有非零解的充分必要条件是|A 、非齐次线性方程组 设有非齐次线性方程组: +a1nx,=b:, x2+… br 它的导出组为 amICI+ am2 2+".+amma b 0 42x1+a 1x1+an2x2+…+anxn=0. 令A为(11.1)的系数矩阵,B为(11.1)的增广矩阵 解的判定定理 (1)如果秩R(A)=R(B)=n,则方程组有唯一解; (2)如果R(A)=R(B)=r<n,则方程组有无穷多解; (3)如果R(A)≠R(B),则方程组无解 2.解的性质定理
52 线性代数重点难点30讲 (1)如果a,B是方程组(11.1)的解,则a-阝是它的导出组(11.2)的解 (2)如果a是方程组(11)的解,B是方程组(112)的解则a+β是方程组(11.1)的解 3.解的结构定理 如果η是方程组(11)的一个特解,51,52,…,5是方程组(112)的一个基础解系, 则方程组(11.1)的全部解是 +k151+k252+…+kn-5,-,, 其中r为矩阵A的秩,k1,k2,…,k,,为数域R的任意数 4.线性方程组求解方法 方法1对于方程组个数等于未知量个数的方程组,可用克莱姆法则(这时要求A≠ 当系数矩阵的行列式D=1A1≠0时,方程组有唯一解,可表示为 (j=1,2,…,n), 其中D,为D中第j列的元素用方程组右端常数列代换所得到的行列式 方法2对增广矩阵B作行的初等变换,将其化为行最简形,得到其所对应的阶梯形方 程组,利用这个阶梯形方程组与原方程组的等价关系来求解 例1求下列齐次线性方程组的一个基础解系 3 0, 2x3 x1-x2 2+x3+3 (2) +2x3-x4 +5x4=0. 1 7x 解(1)对方程组的系数矩阵A施行初等行变换,化成行最简形: 12 10-12 2-6 显然 R(A)=2 由此可得到原方程组的同解方程组: x1=3-2x,(x1,x,是可任意取值的自由未知量) 3 2 令[]依次取4-R(A)=2组线性无关的数组(小依次得(-(3[1 从而求得原方程组的一个基础解系为 这里应注意,解空间的基即基础解系不唯一,只要令取另外两组线性无关的数组
第11讲线性方程组解的结构 则可求得原方程的另一个基础解系: 51 (2)对系数矩阵A施行初等行变换, 0-66150 A 0622 0 210-5 10-3 022 110-3 P, x 0 0 100 l010 01-1 0 (5) 0001 0001 00000 由此可得同解方程组: x3+÷x x2=x3+÷x3,(x3,x3是可取任意值的自由未知量)
线性代数重点难点30讲 令 依次得x2=1./5 0 1 从而方程组的一个基础解系为: 0, 2x1+2x2+x 例2试求下述齐次线性方程组的通解: 1 2 x1+x2+2x3+x:=0 11 330-1 133 2 rI 000 l11-1 110 013 001 r3-r2 0 000 000 由此可得同解方程组 故原方程组通解为
第11讲线性方程组解的结构 55 1 2=k2 x4=k4 若令 -[01 则可得到一个基础解系 1 故方程组通解也可以表示为 x=k51+k2与2(其中k1,k2为任意常数) 小结求齐次线性方程组通解的一般方法是:对系数矩阵A做初等行变换,把其化为阶 梯形矩阵(即行最简形),便得到其所对应的阶梯形方程组,它和原方程组是等价的.根据这 个阶梯形方程组可求出原方程组的一个基础解系,根据解的结构可得到原方程组的通解 例3试求下列非齐次方程组的通解 C2-r3-r4t ts- +2x3+x4=1 2x1+2x2+x3+ 2x1-x2+x3+2x4=3 (2) 3x1+3x2 x4+2x5=1, +2x3+ 解对增广矩阵B进行初等行变换 110 32-11 B 33 12i1 1000 1000 32 2 000 0130 001 0 000
56 线性代数重点难点30讲 显然R(A)=R(B)=2.故方程组有解.由行最简形得出同解方程组 1323 x4-3 则方程组的通解为 x1=-x2+3x4-7xs+ x3=-3x4+3x+ (x2,x4,x3可取任意数值) 或写成向量形式: 3「-3 0 x-k10+k22|+k1 3/31,其中n=1是非齐次方程组的一个特解 0 01300 5=k0+k22+k31(其中k1,k2,k;为任意常数) 是对应的齐次方程组的通解 (2)对方程组的增广矩阵进行初等行变换, r3-3 02 2363 0:2
第11讲线性方程组解的結构 57 121:1 10-11:2 01-301n+n01-301 r3-2r20000:0 00000 0000:0 显然R(A)=R(B)=2,由行最简形可得方程组的同解方程组: 3x3+1, 则通解为 (x3,x4可取任意常数 亦可写成 3+k20 +0(k,k2为任意常数 小结求非齐次线性方程组通解的一般方法是:对增广矩阵B做初等行变换,把其化为 阶梯形矩阵(即行最简形),便得到其所对应的阶梯形方程组,它和原方程组是等价的.根据 这个阶梯形方程组可求原方程组的一个特解和它的导出组的一个基础解系,进而根据解的 结构可得到原方程组的通解 例4设a1=(a1,a2,a3)",a2=(b1,b2,b3)2,a3=(c1,c2,c3)2,且a2+b2≠0(i =1,2,3),则三条直线a1x+b1y+c1=0,a2x+b2y+c2=0,a3x+b3y+c3=0交于 点的充要条件是( A)a1,a2,巛3线性相关; (B)a1,a2,a3线性无关; (C)向量组a1,a2,3与向量组a1,a2有相同的秩; (D)a1,a2线性无关,而a1,a2,ax3线性相关 解因三条直线相交于一点的充要条件是线性方程组 3x+b3y+c3= 有唯一解,该方程组的增广矩阵为 b2 b3 根据线性方程组解的理论可知,该二元方程组有唯一解的充要条件是R(A)=R(B)=2 由此可知ax1,a2线性无关,1,a2,-a3线性相关,从而a1,a2,a3也线性相关,故应选
线性代数重点难点30讲 例5讨论λ取何值时,方程组 「Ax1+x2+x3=1 t1+ncz+ 3=d, +x,+A (1)有唯一解?(2)无解?(3)有无穷多个解? 11 d: d 1 a 0-11-xA-x2 11:A2 01-k1-x2:1-x3 00(1-x)(2+A)(1-)(1+A)2 (1)当λ≠1及入≠-2时, B一C 00(1-A)(2+x)(1-)(1+A)2 x可104-11-414-42 02+(1+A)2 由此可知R(A)=R(B)=3,因此方程组有唯一解,其解为 (A+1) (1+A)2 2+A 2+A 十 (2)当λ=-2时, B→→C=0-331-6,即R(A)≠R(B)故方程组无解 (3)当A=1时 1 B→C=0000 000:0 即R(A)=R(B)=1<3,故方程组有无穷多个解通解为 +1, (x2,x3取任意常数)
第11讲线性方程组解的结构 例6试证方程组 xxxx = 有解的充要条件是∑a,=0,并在有解情形下求其解 证必要性:设x ,x3为方程组的解,则有 = a 各式相加得 充分性:方程组的增广矩阵 1-1000 0 01100 00011 001-10 B=00 0001-1 00000 因为∑a=0,所以R(A)=R(B),即方程组有解,其解为 a3+a x2=a2+a3+at.s, a,+ azt a3t aata 其中,x5为任意数(自由未知量) 例7设 2,B 0
60 线性代数重点难点30讲 A=aB,B=Ba,其中B是B的转置,求解方程2B2A2x=A‘x+Bx+y 解由题设得 B=(1,,012 由 A2=(aB )(aB)=a(Ba)B=2aB=2A 知 23A=8A 将以上结果代入原方程整理得 8(A-2E) 其中E为三阶单位矩阵,x=(x1,x2,x3),于是得到非齐次线性方程组 2x1 2 对方程组的增广矩阵B施行初等行变换化为阶梯形矩阵 B 01-21 0000 方程组 与方程组(*)是同解方程组.其中x3为自由未知量,令x3=0,得到方程组的一个特解 1,0 令x3=1,得到此方程组对应的齐次线性方程组 .s, 2 的基础解系 n=(1,2,1) 于是所求方程组的解x=5+kn=(3,1,0)+k(1,21),其中k为任意常数