线性代数重点难点30讲 第20讲行列式计算方法与技巧(3) 拆行(列)法指的是利用行列式的性质:如果行列式的某一行(列)的所有元素都可表示 为两项之和,则该行列式等于相应的两个行列式的和.即 a12 : an+b1ab2…an+b,=anaa…a+b1b2…b :由 拆行(列)法是把一个较为复杂的行列式分解为较为简单的行列式,进而达到计算所 行列式值的目的 升阶法指的是给原行列式添加一行一列,从而便于应用行列式的性质进行化简,最终 出原行列式的值.下面通过典型例题讨论这些方法 例1计算行列式 b2 b3 ba D b3 b b, b2 b3 解该行列式的特点是每一列都有3个相同的元素,如果利用展开定理给行列式D河 加一行一列,并保持其值不变,则有 0000 b, b3 b4 h, b b4 2,1b1b2b:x4 将第1列依次乘以一b1,-b2,-b3,-b4分别加到第2,3,4,5列上去,并按第1列展开 0 0 0 0
第20讲行列式计算方法与技巧(3) 119 0 0 b1-b2 0 b 0 0x2-b2 0x3+b3 0x3-b3 0 b 0 b2-b3 b10 0 0 0 b30 b20 0 b b2 b b b1 0 b 0 0 显然第1,2行列式是对角、三角形行列式;而第3,4,5行列式只要分别按2、3、4列展开也就 都化为对角行列式了,于是可以求得结果(最后一步计算留给读者) 例2计算 (x1-1)x2(x2-1) D=.IIII 1)x2(x2-1) x2(xn-1) 1)x21(x2-1) 解法1由于x1-(x,-1)=1(i=1,2,…,n),则使用拆行法得 z2-(x2 (x2-1) x(x-1) (x1-1)x2(x2-1) t,(t =x2(x1-1)x2(x2-1) xr(r-1 x1(x1-1)x2(x2-1)
线性代数重点难点30讲 1 x1(x1 -1)x2(x2- x(x1-1)x2(x2-1) r(x,-1) x(x1-1)x2(x2-1) n2(xn-1) xx… )〔 解法2原行列式添加一行及一列,得 0 D=0x1(x1-1)x2(x2-1)…x,(xn-1) 0x1(x1-1)x21(x2-1)
第20讲行列式计算方法与技巧(3) 121· x II(, ri 2 x1(x1-1)x2(x2-1)…x(xn-1) n(x1-1)x22(x2-1)…x(x,-1) ∏(x-1)Ⅱ(x;-x) )〔Ix:-ⅡI ni>/ 例3证明: 1 11+a 证法1左式添加一行一列,得 1-1-1…- 0 0 2 左式=111+a1 0 0
122· 线性代数重点难点30讲 =a1a2…an(1+ S1I )(证法2见第21讲例2) 例4计算 D= x2…a+x2 解从D中最后一列开始,各列减去前列,得 D=x2+ax2(x2-1) x2(x2-1) xn(、x x1x1(x1-1) n1(x1-1) x2x2(x2-1)…x2(x2-1) a r,(22 x2(x2-1) xt(x-1) C1(x (x1-1) (x2-1)x2(x2-1) T器 Ir,I(x-x) l(x-x)(a+1)Ⅱx1-aH