第17讲线性空间与线性变换 95 第17讲线性空间与线性变换 线性空间是线性代数中一个最基本的概念,线性代数主要研究有限维线性空间和线性 变换(或映射)的基本性质.随着这门学科的发展,人们发现线性方程组的解的理论(线性 代数早期的研究对象),只不过是有限维线性空间和线性变换(映射)理论的一个具体应用 而已.线性运算是线性空间的本质所在,至于其中的元素具体是什么并不重要,因此,线性 空间的概念更为抽象,高度的抽象性决定了其应用的广泛性,读者应仔细体会 在具体学习过程中,要以向量空间R"作为具体模型,去理解一般线性空问.这里,只要 将一般线性空间的元素比拟为R”空间的n维向量,则R"中的有关线性运算的性质都可以 移植到一般线性空间中去.但必须注意,所定义的线性运算,必须满足线性运算的八条运算 规律, 一、线性空间的概念与性质 例1检验下列集合对指定的加法和数量乘法是否在实数域上构成线性空间 (1)集合R2={(x,y)1x,y∈R,对通常向量的加法与如下定义的数量乘法: (2)集合R"=(a1,a2,…,an)a1∈R'(即a>0)},对如下定义的加法与数量乘 法 (a1,a2,…an)④(b1,b2,…,b)=(a1b,a2b2,…,ab); λO(a1,a2,…,an)=(a1,a2,…,a) (3)集合V为区间[a,b]上所有函数值≥0的实变量函数,即 V=f1f(x)≥0,Yx∈[a,b 对通常的函数加法及数与函数的乘法 (f⊕g)(x)=f(x)+g(x) (aof)(x)= af(x) 解按照线性空间定义,实际上要验证: ①对所定义的加法及数量乘法,要检验对运算的封闭性(若对运算不封闭,则不能构成 线性空间) ②若①满足,则要检验其八条线性运算规律是否成立(若有一条不满足,则不能构成 线性空间) (1)①设(x,y),(x1,y1)∈R2,则 (x,y)+(x1,y1)=(x+x1,y+y1)∈R2, 故所定义的加法对运算封闭 VA∈R,(x,y)∈R2,则AO(x,y)=(Ax,y)∈R2
线性代数重点难点30讲 故所定义的数量乘法对运算亦封闭 ②八条线性运算规律中,显然有第(ⅶ)条不满足,即 (A+)O(x,y)≠10(x,y)+0Xx,), 故R2对所定义的运算不能构成实数域上的线性空间 (2)①v(a1,a2,…,an),(b1,b2,…,bn)∈R:(a,b∈R),有 (a1,a2,…,an)(b4,b2,…,bn)=(a1b1,a2b2,…,anbn)∈R"(a;,b,∈R) 故所定义的加法对运算封闭,而A∈R,(a1,a2,…an)∈R有 oO(a1,a2,…,an)=(ai,a2,…,a2)∈R"(a∈R'), 所定义的数量乘法对运算封闭 ②由于 (1)(a1,a2,…,an)④(b1,b2,…,bn)=(a1b1,a2b2,…,abn) =(b1a1,b2a2,…,ban)=(b1,b2,…,bn)④(a1,a2,…,an); n)④(b1,b2…,b,)]e =(a1b1,a2b2…,abn)④(c1,c2,…,cn) (a, bici, a2 b2 c2,",a, b,cn) (a1,a2,…,an)⊕[(b1,b2…,b,)⊕(c1,c2,…,cn)]; (ⅲ)在R"中存在零元素(1,1,…,1),对任意的(a1,a2,…,an)∈R,有 n)④(1,1,…,1)=( (Ⅳ)对任何元素(a1,a23,…,an)∈R",都有负元素 n)∈R 使 (a1,a2,…,an)④(a,a2,…-1)=(1,1,…,1) (v)10(a1,a2,…,an)=(ah,al,…,a)=(a1,a2,…,an); ()AOwO(a1,a2,…,an)]=O(ai1,a2,…,a) =[(a1)3,(a2),…,(a")2]=(a",a2,…,a) (au)o(a, a2 (Ⅶ)(λ+a)O(a1,a2,…,an)=(a1",a2",…,an") 12,…,a2a) =AO(a1,a2,…,an)④uO(a1,a2,…,an); (ⅷ)xO[(a1,a2,…,an)④(b1,b2,…,b,) =O(a1b1,a3b2,…,abn)=[(a1b1),(a2b2)2,…,(a,bn) =(a1b1,a2b2,…,ab) AO(a1,a2,…,an)④AO(b1,b2,…,bn) 故R:对所定义的运算构成线性空间 (3)显然对所定义的加法,运算是封闭的,但对所定义的数与函数乘法:HA∈R,f(x ∈V,而
第17讲线性空间与线性变換 97 (A00)(x)=/(x),当λ<0时,xf(x)∈V, 即所定义的数与函数乘法对运算不封闭,故不能构成实数域上的线性空间 例2判断下列子集是否为给定的线性空间的子空间 (1)W1=1(x,1,0)∈R},W2=1(x,y,0)∈R' (2)W1=(x,y,2)∈R1x-y+5z=01, W2=1(x,y,x)∈R'x-y+5=1 解利用线性空间v的子集(非空)L构成子空间的充要条件是L对V的线性运算封闭 来判定 (1)设(a,1,0),(b,1,0)∈W1,A∈R,A≠1,则 (a,1,0)+(b,1,0)=(a+b,2,0)∈W1, A(a,1,0)=(a,,0)∈W1(A≠1), 即W1对R中的线性运算不封闭,因而W不能构成R的子空间而设(a1,a2,0),(b1,b2, 0)∈W2,λ∈R,则 (a1,a2,0)+(b,b2,0)=(a1+b1,a2+b2,0)∈W2, 即W2对R3的线性运算是封闭的故而W2构成R的子空间 (2)设(a1,a2,a3),(b1,b2,b3)∈W1,A∈R,则 (a1,a2,a3)+(b,b,b1)=(a1+b1,a2+b2,a3+b2), 而a1+b1-(a2+b2)+5(a3+b3)=a1-a2+5a3+b1-b2+5b3=0 即(a1,a2,a3)+(b1,b2,b3)∈W1,又因 λ(a1,a2,a3)=(Aa1,a2,Aa3), Aa1-a2+5ay=A(a1-a2+5a3)=0, 即 因此,W1对R中的线性运算封闭,即W1构成R3的子空间 设(a1,a2,a3),(b1,b2,b3)∈W2,A∈R(A≠1),则 a1,a2,a3)+(b1,b2,b3)=(a1+b1,a2+b2,a3+b3), 而a;+b1-(a2+b2)+5(a3+b)=a1-a2+5a3+b1-b2+5b3=2≠1, b1,b2,b3)∈W2 又因 A(a1,a2,a3)=(ia1,Aa2,ka3)(A≠1) 而 ka1-ka2+5Aa3=(a1-a2+5a3)=k≠1, A(a1,a2,a3)∈W2 因此,W2对R3中的线性运算不封闭,故W2不能构成R3的子空间 二、线性空间的维数、基与坐标、基变换与坐标变换 例3实数域R上的二阶方阵对矩阵的加法及数与矩阵的乘法构成线性空间R2,试
线性代数重点难点30讲 求R2的一个基及其维数 a11a12 解由于对R22中的任一元素a= 根据矩阵线性运算性质可表示 001r00 0 01+al1 00 01 01 00 e 则上式说明,任一元素a∈R22都可以由R22中的元素e1,e,e2,en线性表示,只要能证 明eu1,e12,en,en线性无关,则en,e1,en,e2就是R2的一个基(一般称为自然基) 设有一组数A1,A2,A3,A4,使 λ1eu+λ 0 即 a3 a4 从而得出A1=A2=A3=A4=0,故e1,en,e,ea是线性无关的.由此可知en,ea,ea e2是R22的一个基,且R2是4维线性空间 注意线性空间的基不是唯一的,上述R22中,任何4个线性无关的二阶方阵都可以 为R2x2的一个基.一般已知线性空间的一个基,任找一个与线性空间维数相等且可逆的 阵,如本题,任找一个4阶可逆方阵 pul p1 p13 p p3 p3 p3 p34 p41 P42 pa p 使 或(a1,a2,a,a2)=(en,e,e21,e2)P,则an,a12,an,a2是线性空间R2的另 个基,显然P就是由基e,e1,e2n,e2到基a1,a1,a21,2的过渡矩阵 例4设V的一个基是n维线性空间V的一个子空间,1,a2,…,ax是V的一个基 试证V中存在着元素an1,…,an,使a1,ax2,…,,a,1,…,an成为V的一个基 证因a1,a2,…,a,是V的一个基,若r=n,则a1,a2,…,an就是V的一个基,老 r<n,则必有an1∈V,使a1,a2,…,an,a,线性无关,否则dmV=r( dim Vna表示V 的维数),这与dmVn=n相矛盾;若r+1=n,则命题已得证,若r+1<n,则继续上
第17讲线性空间与线性变换 步骤,必存在a,1,…,a,∈V,使c1,ax2,…,a,an1…,an线性无关,故a1,a2,…,a, axn+1…,an是Vn的一个基 例5在R3中,设向量a=(1,-1,9),试求a在下列基下的坐标 (1) (1,0,0) (0,1,0) (2)ax1=(1,0,0),a2=(1,1,0),a3=(1,1,1) 解(1)因为a=-1=0+(-1)1+90=c-2+9,故a在基e,e2,e 下的坐标为(1,-1,9) (2)设a在基a1,a2,a3下的坐标为(x1,x2,x3)2,则有 由此得出方程组: 解得:x3=9,x2=-10,x1=2即a1,a2,a3下的坐标为(2,-10,9) 例6在R"中有一个基为 (0,0,…,1) 试求a=(a1,a2,…,an)在上述基下的坐标 解设a在a1,a2,…,an下的坐标为(x1,x2,…,xn),则有 TIa,+t?a IIt 由此得出方程组 x1+x2+…· 解出 即a在基 下的坐标为
100 线性代数重点难点30讲 例7设R3中的两个基依次为 a1=(1,1,1)2,a2=(1,0,-1),a3=(1,0,1)2; B1=(1,2,1)2,B2=(2,3,4)2,B3=(3,4,3). (Ⅱl 试求:(1)由基(I)到基(Ⅱ)的过渡矩阵P; (2)坐标变换公式; (3)β=B1+2B2-3B3在基(I)下的坐标 解(1)由过渡矩阵的定义和基变换公式 (B1B2B3)=(a1a2a3)P B=(B1B2B3),A=(a1a2a3), 则P A 3)=100 可求出A1=2 又B=234,所以 234 B (2)设a在1,a2,a3下的坐标为(x1,x2,x3)2,在B,B2,B3下的坐标为(x'1,x2 x3),由(1)题(*)式可得坐标变换公式,即 0-10 22 2=Pr 10 (3)解法1利用基变换公式 B=B1+2月2-3B3=(B1B2B1)2
笫17讲线性空间与线性变换 101 234 -10-1L-3 =(a1a2a3)-2|=-4a1-2a2+2a3, 则B在基(1)下的坐标为(-4,-2,2) 解法2由阝=阝1+2B2-3B3=(-4,-4,0).通过解线性方程组 x1a1+x2a2+x33=B, 亦可由定义求出阝在基(I)下的坐标(x1,x2,x3)=(-4,-2,2)2 例8在R中,取两个基依次为 1=(1,2,1)7,a2=(2,3,3),a3=(3,7,); (I) B1=(3,1,4)2,B2=(5,2,1),B3=(1,1,-6) (Ⅱ) (1)求由基(I)到基(Ⅱ)的过渡矩阵; (2)设向量a在基(Ⅱ)下的坐标为(0,-1,1),求a在基(I)下的坐标(x1,x2,x3)2 解(1)由基变换公式及过渡矩阵定义可知,设过渡矩阵为P,则有 (B1B2B3)=(a1a2a3)P 令A=(a1a2a3),B=(阝B2B1),A,B都是已知矩阵,且都可逆上述基变换式可写成 B= AP 即 利用初等行变换求逆矩阵的方法即(AB)~(EA1B),可求出AB,即求出P 23:351 23 (AB)=23712 13141-6 01-21-4-7 r+2r2 0-1 8-1 0-10:-9-20-9 00-1:-4-12-8 00-1 100:-27-71-41 r2x(-1) 001 8 27-71-41 故 P=A B 12 8 (2)由坐标变换公式,可得
102 线性代数重点难点30讲 注意向量空间的维数与向量的维数不是一回事.向量空间v的维数是指V的基中所 含向量的个数,而向量的维数是指它的分量个数.例如集合 V=(x,2x,y)1x,y∈R 中的向量都是3维向量,但V却是2维向量空间事实上,由于V中任一向量都可写成 (x,2x,y)=(x,2x,0)2+(0,0,y)=x(1,2,0)+y(0,0,1)2,x,y∈R. 可见V是由两个向量 a1=(1,2,0)1,a2=(0,0,1) 生成的向量空间,a1与a2线性无关,由基的定义即知a1,ax2是V的基,V的基中含2个向 量,因此V是2维向量空间,可见v的维数与V中向量的维数不是一回事 三、线性变换概念及性质 例9已知n阶对称矩阵的全体v对于矩阵的线性运算构成一个n(n+1)维的线性 空间,给出n阶矩阵P,以A表示V中的任一元素,变换 T(A)=P AP 称为合同变换,试证:合同变换T是V中的线性变换 证由V中线性变换定义证明.因为 (1)设任给定对称矩阵A,B∈V,则A+B∈V.而 T(A+B)=P(A+B)P= P AP + PBP T(A)+T(B), (2)任给A∈V,k∈R,则kA∈V.而 T(RA)= P(RA)P= kP AP= kT(A) 故合同变换T是V中的线性变换 例10.以C[a,b]表示闭区间a,b]上全体连续函数构成的线性空间,在此空间中 证明变换 T[f(x)]= f(t)dt (f(x)E Cla,b]) 是一个线性变换(f(x)∈[a,b]意即:函数f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数) 证仍按线性变换定义证明,设∫(x),g(x)∈C[a,b].则f(x)+g(x)∈C[a,b rtf(x)+g(x)1=(()+g()t=Jr)+g(n)d =T[f(x)]+T[g(x)], k∈R,则kf(x)∈C[a,b]
第17讲线性空间与线性变换 103 rIRf(x)]=kf(r)dr=k f(r)dt=kTI/() 所以变换Tf(x)]=f(t)dt是一个线性变换 例11将R中任一向量正投影到xy平面上,这也是一种变换,称为投影变换,记为 Tn.试证:投影变换T。也是一个线性变换 证任取向量a=(a1,a2,a3)∈R3,B=(b1,b2,b3)∈R,则 T(a)=(a1,a2,0),T()=(b1,b2,0) β=(a1+b b3)∈R3,ka=(ka1,ka2,ka3)∈R3 T(a+B)=(a1+b1,a2+b2,0) =(a1,a2,0)+(b1,b2,0) T (a)+T,(p) Tn(ka)=(ka1,ka2,0)=k(a1,a2,0) kT (a). 故T也是一个线性变换 例12在n+1维线性空间P[x],中,取定基为 ao=e,a,=xe,a,=xe,",a,=xe 试求线性变换D[p(x)]=p(x)在取定基下的矩阵 解 D(a)=e+xe D(a,)=2xe'+xe=2a,+a D(an1)=(n-1)x"2e'+x"le2=(n-1)an D(a,)= nx"e+xe=na, 故线性变换Dp(x)]=p(x)在给定基下的矩阵为 01 00 例13在R中,取一个基为 a1=(2,3,5)1,a2=(0,1,2),a3=(1,0,0)2, T是R3中的一个线性变换,已知 1,1,1)",T(a2)=(1,1,-1),T(a3)=(2,1,2)
104 线性代数重点难点30讲 试求线性变换T在基下的矩阵 解设所求变换T在给定基下的矩阵为A,则由定义知 T(a1a2a3)=[T(ax1)T(a2)T(a3)]=(a1a2a3)A, 2352 20 0 30 520 121 I-12 例14设在R3中,线性变换T在自然基e1,e2,e3下的矩阵为 201 设a1,a2,a3为R3的另一个基,且已知 agg e2, 3=e1+e2+e3 试求线性变换T在基a1,a2,a3下的矩阵B 解根据线性变换在不同基下的矩阵间的关系定理可知,只要求出由基e1,e2,e3到 C1,a2,a3的过渡矩阵P,则B=PA 由基e1,e2,e3到基ax1,a2,a3的过渡矩阵为 110 则线性变换T在基∝1,2,a3下的矩阵B为 B= P AP=0 I 215001 1-101「1231「11 001L215L001 688 由矩阵相似概念可知,两基之间的过渡矩阵P就是把A变换到B的相似变换矩阵 例15二阶对称矩阵的全体
