线性代数重点难点30讲 第25讲线性相关性概念的 进一步讨论(1) 在第9讲中,我们讨论了判断向量组是否线性相关的基本方法.线性相关与线性无关的 概念既是整个线性代数课程中的重点,更由于其抽象性而成为课程的难点之一.下面结合典 型例题就线性相关性概念进行较为全面的讨论 向量组的线性相关性的定义是:设向量组ax1,2,…,a1(s≥1),如果存在一组不全为 的数k1,k2,…,k,使得 k1a1+k2(2+…十ka1=0, 则称向量组是线性相关的;否则称向量组线性无关,即只有当k1=k2=…=k,=0时,才 能使k1+k2a2+…+kan=0,或者说,任意一组不全为0的数k1,k2…k,都不能使k1a1 k2ax2+…+k,=0成立 该定义是讨论向量组的线性相关性的最根本的依据 例1设A是n×m矩阵,B是m×n矩阵,其中,n<m,E是n阶单位矩阵,若AB E,试证:B的列向量组线性无关 证设B=(B1,月2,…,Bn),其中B(i=1,2,…,n)是B的第i个列向量.一定有 组数x1,x2,…,xn,使 x1B1+x2B2+…+x,.=0 (B1,B1,…,Bn) 0.其中x=(x 上式两边左乘A,则得ABx=0,即Ex=0.即 )=0, x1=x2=…=xn=0,所以由定义知β1,B2,…,B线性无关,即B的列向量组线 性无关 注意本例将向量组B1,B2,…,B的线性相关性问题转化为齐次线性方程组Bx=0有 无非零解来讨论,这是一种常用的方法 由此定义,易推出如下的命题 命题1单个非零向量线性无关
第25讲线性相关性概念的进一步讨论(1) 145 命题2含有零向量的向量组一定线性相关(条件不是必要的) 命题3基本单位向量组一定线性无关 命题4两个向量线性相关的充要条件是对应元素成比例 1 b abs b a,b abs 2 bm ,a1b,≠0(i=1,2,…,n),求R(A) a,b a, bz a b 解由于矩阵的秩等于矩阵的行(或列)向量组的秩,A的列向量组为 a1=b1 可见,1,a2,…,an中任意两个向量对应元素成比例由命题4知:任意两个列向量线性相 关,故R(A)=R(ax1,2,…an)<2.又因为a;≠0,b≠0(i=1,2,…,n),即为非零向 量,由命题1知R(A)=R(a1,a2,…,an)≥1,从而R(A)=1 命题5三个或三个以上向量组成的向量组线性相关的充要条件是向量组中至少有 个向量(注意:不是任一个向量)可由其余向量线性表出 命题6若向量阝可用向量ax1,a2,…,a,线性表示,则表示法唯一的充要条件是a1 2,…,a,线性无关 证必要性:设B用a1,…,a唯一表示为:B=k1a1+k2a2+…+ka,假设a1, a,线性相关,则存在不全为0的数A1,A2,…,,使A1a1+2a2+…+Aa=0.从而B= 阝+0=(k1+A1)a1+(k2+A2)a2+…+(k,+,),即B用a1,m2,…,a,的表示法不 唯一,矛盾. 充分性:设a1,a2,…,,线性无关,若表示法不唯一,即阝=k1a1+k2a2+…+k,a 及阝=A102+A2ax2+…+入x,其中至少有一个对应系数k,≠λ,两式相减得 0=(k1-A1)a1+(k2-A2)a2+…+(k,-λ,)a, 而k1-A1,k2-2,…,k;-,…,k,-A,不全为0,故a1,…a,线性相关,这与已知矛盾 所以表示法唯 例3已知阝=(1,2,1,1),1=(1,1,1,1),a2=(1,1,-1,-1),a3=(1,-1,1 (1,-1,-1,1) 问:(1)B是否可用a1,a2,ax3,巛1线性表示?(2)向量组a1,a2,a3,a1是否线性无关? 解(1)设有4个常数k1,k2,k3,k4,满足
线性代数重点难点30讲 阝=k11+k2(2+k3a3+k4a4, (1,2,1,1)=k1(1,1,1,1)+k2(1,1,-1,-1)+k3(1,-1,1,-1)+ 即得方程组 k1+k2+k;+k4=1 k1-k2+k3-k4=1, k1-k2-k3+k4=1 由于(*)式系数行列式D≠0,所以依克莱姆法则得唯一解 1 故B可唯一由a1,a2,a3,a4表示为 (2)由命题6知:1,a2,a3,a,线性无米a, +2 4 注意若(*)式所示的方程组无解,则说明B不能表示为a1,a2,3,a4的线性组合;若 (*)式有多组解,则说明B可以表为a1,a2,a,a4的线性组合,但表示法不唯一,从而由命 题6知向量组a1,ax2,a3,a4线性相关 命题7若向量组的一个部分组线性相关,则整个向量组也线性相关;若整个向量组线 性无关,则它的任何一个部分组也线性无关 命题8若向量组a1,a2,…,a,线性无关,而向量组ax1,…,2,阝线性相关,则阝可由 1,ax2,…,a1线性表出 例4若向量组a,B,线性无关,a,B,线性相关,则() (A)a必可由B,y,5线性表示; (B)β必不可由a,y,线性表示 (C)必可由a,B,"线性表示; (D)5必不可由a,y,B线性表示 解因为a,B,y线性无关,由命题7知a,B线性无关;又因为ax,阝,5线性相关,由命题 8知5可由a,B线性表示:5=k1a+k2,从而有5=k1a+k2+07,即可由a,阝, 线性表示,故应选(C) 例5设向量组(1):a1,a2,a3线性无关,而向量组(Ⅱ):a2,ax3,(4线性相关试问: (1)a4能否由向量组(I)线性表示?为什么? (2)ax1能否由向量组(Ⅱ)线性表示?为什么? 解(1)a4能由(I)线性表示 证法1由于ax2,a3,a4线性相关,故a1,a2,a3,ax4线性相关(由命题7知部分相关,则 整体相关),即有不全为0的一组数k1,k2,k3,k4,使得
第25讲线性相关性概念的进一步讨论(1) 147 k1a1+k2(2+k3a3+k4 且其中必有k4≠0(否则k4=0,则k1,k2,k3不全为0,且使()式成为k11+k2ax2+ k3a3=0,这与已知的a1,a2,ax3线性无关发生矛盾),于是从(*)式可得 k k2 k k 这表示a4可由向量组(I)线性表示 证法2由于a1,a2,a3线性无关,故a2,3线性无关(由命题7知整体无关,则部分 无关),而a2,a3,a4线性相关,故由命题6,知a4可由a2,a3线性表示,即存在常数l2,l3, 使得a4=l2a2+l3a3=0a1+l2a2+l3a3,故a4可由向量组(I)线性表示 (2)a1不能由向量组(Ⅱ)线性表示 证法1用反证法如果a1可由(Ⅱ)线性表示:1=A202+3以3+A4a4,将(1)中证 法2的结果a4=l2ax2+l3a3代入上式,得 ax1=A2a2+3a3+A4(l202+l303)=(A2+A4l2)a2+(A3+4l3)a3 这表示ax1可由a2,ax3线性表示,从而与a1,a2,a3线性无关矛盾,因此a1不能由()线性 表示 证法2仍用反证法,如果a1可由(Ⅱ)线性表示,则(1)中每个向量都可由(Ⅱ)线性 表示,即(I)可由(Ⅱ)线性表示,再利用(1)已证的结果知(Ⅱ)也可由(I)线性表示,故 (I)与(Ⅱ)可以互相线性表示,即(I)与(Ⅱ)等价,所以(I)与(Ⅱ)有相同的秩;而(1) 线性无关,故(I)的秩为3,从而(Ⅱ)的秩也为3,(Ⅱ)只含3个向量,故(Ⅱ)线性无关,这 与(Ⅱ)线性相关矛盾 命题9n个n维向量线性无关的充要条件是由向量组所构成的矩阵对应的行列式≠ 例6判断下列向量组是否线性相关 (1) 4 B2 5 解命题9也可以这样叙述:n个n维列向量a1,…,an线性相关的充要条件是行列式1 (a1,a2,…,an)|=0;a1,…,an线性无关的充要条件是行列式|(a1,c2,…,an)1≠0. 由于
第25讲线性相关性概念的进一步讨论(1) B1+x2B2+x3B3 有解,对其增广矩阵施行初等行变换: 139 [B1B2B3a3]=2061 .01216(2b-1) 由非齐次线性方程组有解的条件知-3=0,由此得b=5同解法1一样,可说明向量组 a1,a2,ax3的秩为2,故有 21|=0 解之得a=15 例8试证明n维列向量a1,a2,…,an线性无关的充分必要条件是 C:C:双 2G1a2 a2 a a.at a a2 ata 其中a表示列向量a,的转置,i=1,2,…,n 分析此题主要考查线性无关的概念、分块矩阵的运算及矩阵行列式的性质令矩阵A (a1,∝(2,…,∝n),则此题的关键步骤是 1A12=|AA|=D 解记A=(a1,a2,…,an),则向量组a1,a2,…,an线性无关的充分必要条件是 A|≠0. 111C2 (a1a…,a,)=aaa2 区,1【,C a 故 从而,A|≠0与D≠0等价,由此可见D≠0是向量组a1,a2,…,an线性无关的充分必 要条件 命题10若向量组a1,2,…,,线性无关,则无论如何扩充向量组各向量的分量,所
150 线性代数重点难点30讲 得向量组仍线性无关 例9设a1,a2,…,a,(r<n)是互不相同的数问向量组 是否线性相关? 解注意向量组a1,a2,…,,是,个n维向量,是r维向量组 ,阝2 的延长向量组,由于 1(B1,B2,…,B)1=aiaa (a1-a)≠0 l≤<i≤r 依命题9知β1,B2,…,阝,线性无关,进而依命题10知a1,…,axn线性无关 例10设矩阵Anxn的秩等于它的行数m,证明:对任意m维列向量b,方程组Ax= 都有解 证由方程组Ax=b有解的判定定理,就是要证明R[Ab]=R(A)=m,注意矩 阵[Ab]的行向量组线性无关而由已知的R(An)=m,知A的行向量组线性无关 们来看矩阵A与Ab]的向量组之间的关系,设A=(an)m,b=(b1,b2,…,bn) A的第i个行向量为 [Ab]的第i个行向量为 B=[ b],=1,2 可见[Ab]的行向量组可看作是由A的行向量组中每个向量在末尾位置添加分量所 到,于是由向量组ax1,a2,…,am线性无关,可知向量组B1,阝2,…,Bn线性无关,即知矩P Ab]的行向量组线性无关,本题得证
