第26讲线性相关性概念的进一步讨论(2) 151 第26讲线性相关性概念的 进一步讨论(2) 命题1向量组中向量的个数大于向量的维数,则此向量组线性相关 例1(是非题)下面结论是否正确?n维的向量组a1,…,ax线性无关的充分条件是a1 ,a,中任意两个向量的分量不成比例 解当s=2时,由上一讲命题4知:结论正确;当s≥3时,结论一般来说是不对的.比 如a1=(1,1),a2=(1,2),a3=(2,1).其中任意两个向量不成比例,但由命题1知a1,a2 a3线性相关,总之,就整体考虑而言,所给结论不正确 命题2两个等价的线性无关组所含向量的个数相等 命题3两个等价向量组的秩相等 例2设向量组(I):a1,a2,…,axn的秩为r(r>1),求向量组(Ⅱ):阝1,B2,…,B的 秩,其中B1=a2+a3+…+am,B2=a1+a3+…+am,…,Bm=a1+a2+…+am1 分析证明两个向量组的秩相同,只要证明这两个向量组等价,即他们可互相线性表 出,由已知B1,B2,…,Bn可由a1,a2,…,am线性表出,只要设法把a1,a2,…,am中的各向 量用B1,B2,…,B。线性表出就可以了 解显然,向量组(Ⅱ)可由向量组(I)线性表示.另一方面,向量组(I)也可由向量组 (Ⅱ)线性表示事实上,将1,B2,…,B的表示式相加,得 B1+阝2+…+Bn=(m-1)(a1+a2+…+an), 从而有 a1+a2+…+an=m-1(B1+B2+…+B) 进而知 阝1+阝2+…+Bn)-B1 a2=m1(B+B+…+.)-具 (B1+B2+…+Bn)-B 所以两向量组等价由命题3知:向量组(Ⅱ)的秩也为r, 例3证明下列两个向量组(I)与(Ⅱ)是等价的: (I):a1=(1,2,3,4),a2=(-1,0,1,8),a3=(2,1,0,-10); (Ⅱ):B1=(2,0,-2,-16),B2=(1,1,1,-2)
152 线性代数重点难点30讲 证法1按定义,就是要证明向量a,可由向量组(Ⅱ)线性表示(i=1,2,3),并且向 月可由向量组(I)线性表示(j=1,2),这就要解一些线性方程组首先来求a由向量组 (Ⅱ)线性表出的式子,即求解方程组x1阡+x2B=a(i=1,2,3).为此,用初等行变换 矩阵 「BBaa2a3 化成简化行阶梯形: 211-12 「211-12 01201+01201 21310 02402 16-248 (-2)r2+ 3)n2+01201(-1)n2+ 20-1-117 10-2 01201 01201 100000 L00000 0 0 于是得 a=-B+2,a=-}B,a 或 a1=-1+21,a2=1 B1+阝2 这是因为 [BI Bian] 初等行变换 00:0 即方程组x1B+x1=叫有唯一解x=m2=2所以有a=时+(20 1)式中另外2式的理由同样.于是由(26.2)式知(I)可由(Ⅱ)线性表示用同样方法(或由 (26.2式)可得B1=-2a2,B2=a2+a3,即(Ⅱ)可由(I)线性表示,因此(I)与(Ⅱ) 价 证法2注意到矩阵初等行变换前的行向量组与变换后的行向量组是等价的,所以下
第26讲线性相关性概念的进一步讨论(2) 153 面用向量组(I)作为行向量组构造矩阵A,用向量组(Ⅱ)作为行向量组构造矩阵B,然后 证明矩阵A与B的行向量组等价,即(I)与(Ⅱ)等价 1018 210-10 1018 0-1-18 02412 (Dn→0126A 0126 B120 111-2 10 81(-1)n1+r2.「10-1-81记为 由上面的初等行变换知矩阵A与A1为行等价矩阵,矩阵B与B1为行等价矩阵,显然 A1与B1的行向量组等价,于是由等价的对称性和传递性知A与B的行向量组等价 命题4设a1,a2,…,a,为向量组T的极大线性无关组,则a1,a2,…,ax,与向量组T 等价 命题5设有两个向量组A:a1,…,a,;B:B1,B2,…,B,若向量组A可由B组线性表 示,且向量组A:a1…,a,线性无关,则向量组A所含向量个数r不大于向量组B所含向量 个数s,即r≤s 例4设A、B为两个n阶矩阵,证明 R(A+B)≤R(A)+R(B) 证法1见第10讲例5 证法2见第24讲例5 证法3只要证明A+B的列向量组可以由A和B的列向量组线性表示即可设A (a1,a2,…,an),B=(B1,B2,…,B),则A+B=(y1,y2,…,n)=(a1+B1,a2+ …,an+Bn),其中a1,…,an;B1,…,B2;"1,…,y.分别是矩阵A、B和A+B的列向量组 不妨设a1,…,a,(r≤n);阝1,…,B(s≤n);y1,…,y(t≤n)分别是a1,…,axn;p1 B;1,…,yn的最大线性无关组,由命题4知:y1,…,"可用y1,…,线性表示;显然 1,…,"。可由a1,…,an,B1,…,B线性表示;同理有a1,…,an,阝1,…,,可由a1,…,a, 阝1,…,B线性表示,由传递性知:y1,…,",可由a1,…,x,B1,…,B线性表示,且y1,…,y 线性无关故由命题5知:t≤r+s,即R(A+B)≤R(A)+R(B) 例5设a1,a2,…,a1和阝,B2,…,B为两个n维向量组,且R(a1,2,…,a)= R(B1,B2,…,B)=r,则()
154 线性代数重点难点30讲 (A)两个向量组等价,即可相互线性表示 (B)R(a1,ax2,…,a1,B1,B2,…,B)=r; (C)当a1,…,a,可由向量组B1,…,月线性表示时,B1,B2,…,B也可由ax1,a2,…, 线性表示; (D)当s=t时,两向量组等价 解法1由命题4容易证明:当两向量组有相同的秩,且其中之一可被另一个线性表 时则这两个向量组等价.事实上,不妨设a1…,a,是a1,…,a的一个最大线性无关组 月1,…,B.是B1,…,B的一个最大线性无关组,又设a1;…,x,可由B1,…,B线性表示, ax1,…,a,可由B1,…,B,线性表示 B1+a12B2 即 2=a2B1+a2B2+…+a2B,, I p B B 阝 B2 或 注意到上述矩阵A=(an),,可逆,故有 阝1 阝n 即B1,…,B,可由a1,…,a,线性表示,从而知月,…,月可由ax1,…,a,线性表示,所 1,…,α1与月,…,,等价,故选(C). 解法2举特例排除不正确者若令a1=(1,0),阝1=(0,1),则(A),(B),(D)显然 成立,只有(C)为正确答案 命题6若n维向量∝x1,a2,…,,是一组两两正交的非零向量,则a1,a2,…,a,线 无关 证显然r≤n,设有一组数k1,k2,…,k,使k1(1+k2ax2+…+k,ax=0,取内积 (k1a1+k2a2+…+k,a,a1)=(0,a1)=0 即 k1(a1,a1)+k2(a2,1)+…+k,(a1,ax1)=0. 由正交性知 (a2,a1)=(a3,a1)=…=(ax,a1)=0
第26讲线性相关性概念的进一步讨论(2) 155 所以k1(a1,a1)=0,但(a1,a1)≠0,只有k1=0.同理可得k2=…=k,=0,故a ax2,…,a线性无关 例6已知(1)a1,a2线性无关,(Ⅱ)B1,B2线性无关,且a与B相互正交(i=1.2 1,2).试证a1,∝2,B1,B2线性无关 k1(1+k2a2+A1B1+A2B2= 对上式两边和a1,a2作内积,且利用ax,月的正交性,得 k2(a2,ax1)+k2(a2,a2)=0 上述方程组的系数行列式为 (a1,a1)(a1,a2) (a2,ax1)(a2,a2) 由柯西不等式(a,B)≤aB1(当且仅当a,B线性相关时,等式才成立)及a1,a 线性无关性知 (a1,1)(a2,2)-(ax1,a2)2>0. 故上述方程组只有唯一零解,从而得k1=k2=0 同理可证 故得证a1,2,阝1,阝2线性无关 例7已知向量组(1)a1,a2,a3;(Ⅱ)a1,a2,a3,a1:(Ⅲ)a1,a2,a3,a5,如果各向量 组的秩分别为R(1)=R(Ⅱ)=3,R(Ⅲ)=4,试证:向量组a1,a2,3,a5-a1的秩为4 证要证a1,a2,a3,a5-a4的秩为4,只要证明a1,a2,a3,a5-a4线性无关即可 R(1)=R(Ⅱ)=3,所以a1,a2,3线性无关而a1,a2,a3,a4线性相关由第25讲命是 8:存在数λ1,2,A3,使 设有数k,k2,k3,k4,使得 k11+k2m2+k33+k(a:a:) (26.4 将(26.3)式代入(26.4)式得 (k1-21k4)a1+(k2-A2k4)a2+(k3-3k4)a3+k 由R(Ⅲ)=4知a1,2,3,a5线性无关,所以 故a1,2,a3,a5-g:线性无关,即其秩为4