第12讲向量的内积与向量组交化的一般方法61 第12讲向量的内积与向量组 正交化的一般方法。 内积 设g 0=(,则定义a与B的内积为(,1=aB=(a,4…01 a1b1+a2b2+…+ab,向量的长度为‖l‖=√a+a2+…+a 若内积a,B]=∑ab=0,则称a与B正交,内积具有性质:①a,B]=[p,g];②a =0=[a,a]=0;③a,B+y]=[a,B]+[a,y] 二、施密特( Schmidt)正交化方法 设a1,a,…,a,为R"中一组线性无关的向量,令B1=a, B2 B1; B.=a.-(a B-ll B B.1,B 则B1,B2,…,B相互正交 三、规范正交基 设ax1,a2,…,an为R中一组基,先将其正交化得B1,B2,…,B,再将其单位化得n1= T1,n=TB2T…,n=TB.T,则m,,…,n满足(n,n)=0,≠j,n 1(i,j,=1,2,…,n),称其为R”中的一组规范正交基 例1试求下列向量组的内积,并将每个向量单位化 (1)a1=(2,1,0,2),a2=(1,2,-2,1)2; (2)a=(4,-1,3,0),阝=(3,-1,4,-2) 解由内积定义 (1)[a1,a2]=a1a2=2×1+1×2+0×(-2)+2×1=6
62 线性代数重点难点30讲 1。2 e 1 Ta2T=(√10√10’√10√10 (2)[a,B]=aB=4×3+(-1)×(-1)+3×4+0×(-2)=25, 4 13 Ta=(√26′√26’√26 T1r=(2 例2设3维空间R中的两个向量a1=(1,1,0),a2=(1,-1,2)正交试求向量 3(≠0),使a1,a2,ax3两两正交 解令A= a21-12/a应满足方程组Ax=0即 0-22 0-11 由此可得同解方程组: 从而得出基础解系ξ=(-1,1,1),取a3=5=(-1,1,1),即为所求 例3已知 =()m=(一,)试求一组非零向量 a3,a4,使w1,a2,a3,a4两两正交 解法1∵a1·a2=0∴a1与a2正交 则a3,a4应满足方程组Ax=0.对A进 行初等行变换 00-2-2
第12进向量的内积与向组正交化的二般方法 63· 由此解得三2从而可得基础解系;=(-105-=0,-1)5,42正 x3=-x4 好正交取a3=列1=(-1,1,0,0)2,a4=52=(0,0,-1,1)2.则a1,a2,a3,a4两两正交 解法2因a1,ax2已正交(a1a2=0),故a1,a2线性无关可取两个向量B3=(1,0 0,0),B4=(0,0,1,0),使a1,a2,B3,B4线性无关然后,再将a1,a2,B3,B4正交化.为 此,按施密特正交化方法 111 [a1,B3].[a2,B3 区1,C1 阝3 =(1,0,0,0)-1(1,1.1.1 2’22,2 2,-2,0.0), [a1,B.1a,-{a2,B]a,-[a,pB1 C:, Ba a2-0 =(0,0,1,0)- 2(2号,2)+(2-2) 0,0 显然,解法1比解法2较简便,这是因为恰好方程组Ax=0的基础解系中两个解向量相 互正交.但解法2是一种普遍适用的方法 例4已知∝1=(1,1,-1),试求一组非零向量a2,a3,使a1,a2,a3两两正交 解a2,a3应满足方程组a1x=0,即 它有基础解系与1=(-1,1,0),2=(1,0,1)2,显然1,2不正交故仍要正交化,令a2= 51,52 [51,51] 51=5 2(-1,20=(22-1) 则a1,a2,a3两两正交
线性代数重点难点30讲 若在求方程组x1+x2-x3=0的基础解系时,自由未知量x1,x3选取适当,如取x2= 1,x3=1,则51=(0,1,1)7,取x2=1,x3=-1,则52=(-2,1,-1),51,52已正交 a2=51=(0,1,1),a3=52=(-2,1,-1),则a1,a2,a3已两两正交,可省去正交化 过程 例5设a1=(1,0,-1,1),a2=(1,-1,0,1),ax3=(-1,1,1,0),试将该向量 组正交单位化 0-1 0 n-4001 000 则R(A)=3,即a1,a2,x3线性无关,利用施密特正交化方法 令 PI =-1,1=-(1=号-321 注意到B,1=-2,B1,B2]=3,[B;=3,B2,B1]=3,则易得 阝3=ax3 B1,B1][P2,阝2 阝2 a3-532a1+353B2 =(-1,1,1,0)+(,0, (-1,3,3,4)1 再将阝1,B2,阝3单位化,得 T B, (1,0,-1,1), T2‖ =(1,-3,2,1)7, T阝3T-√