10 线性代数重点难点30讲 第3讲克莱姆法则 克菜姆法则是这样叙述的:含有n个未知量n个方程的非齐次线性方程组: an CI alI +alst, b1 a2[1+ a222+.+ aimIn b2 a,I1+?I2+.+ant= b 当它的系数行列式 时,方程组(3.1)有唯一解:x1=,x2=D…,x=D (3.2) 其中DG=1,2,,n)是把系数行列式中第j列换成常数列b1,…,bn后得到的行列式 注意法则中包含着三个结论:①方程组有解;②解是唯一的;③这唯一的解由(3.2) 式给出.它指出了解与系数的明显关系,这一点在以后许多问题的讨论中是重要的;此外, 由法则可推知:如果齐次方程组 a2x1+a2x2+…+a2nxn=0, antI+am222+.+aT=0 的系数行列式D≠0,则它仅有零解:x1=x2=…=xn=0.换句话说,如果齐次方程组 (3.3)有非零解,则必有D=0.总之一句话:n元齐次线性方程组(3.3),当系数行列式D≠ 0时,有唯一零解;当D=0时有非零解还应特别注意,n元非齐次方程组(3.1),当系数行 列式D=0时,克莱姆法则失效,方程组解的情况不能确定 例1解线性方程组 5x1+6x2 x1+5.x2+6x x2+5r3+6x4 +5x4+6
3讲克菜姆法則 解首先计算行列式D,D1,D2,D3,D4,D3的值 56000 按第一列展开 1560|1560 D=01560 00156 00015 56 52|156-5156-6156 560 (52-6)156-5×6 15 015 1600 6000 01560 按第一列展开 15605600 00150156 10015 =5156-156+6=5(53-2×30)-6 +64 =54-300-6×19+6=1507, 同理可得D2=-1145,D3=703,D4=-395,D5=212 由克莱姆法则得解为 1145 D665 D 例2设三元线性方程组 a 问a1,a2,a3(a∈R,i=1,2,3)应满足什么条件,方程组有非零解? 解因为齐次线性方程组的系数行列式
线性代数重点难点30讲 111 D=1a2a=a1a2a3=(a3-a2)(ay-a1)(a2-a1) 由克莱姆法则知:若齐次线性方程组有非零解,则系数行列式D=0.因此,a1,a2,a3中至 少有两个元素相等时,原方程组有非零解 例3设方程组 +b+ bcx t cay +haz 3abc 试问a,b,c满足什么条件时,方程组有唯一解,并求出唯一解 解系数行列式 0 bc c(a-b a(b-c) (b-a)(c-b)a11|=(c-a)(c-b)(b-a) bc 由克莱姆法则知:当a,b,c互不相等时,D≠0,故方程组有唯一解 a+ b+c 1 1 -(a+b)c2-c3 3abc Ix ac(b-a) a(c-b)ba (a-b)(b-c) a 1 c=(a-b)(b-c) a(a-b(b-c)(c-a), 同理得 +b+ D-a a'+b2+2 c=b(a-b)(b-c)(c-a), bc 11 a+b+c D.=aba2+b2+2|=c(a-b)(b-c)(c-a)
第3讲克菜姆法则 13 因此解为: D -Di- 例4求通过三点(1,1,1),(2,3,-1),(3,-1,-1)的平面方程 平面方程为 Ax t By+ ce+D=0 代人三点(12 1),(3,-1,-1)和平面上任意一点(x,y,x)得 A+B+C+D=0, 2A+3B-C+D=0, 3A-B-C+D=0 rA yB+2C+ D=0. 则关于A,B,C,D的四元齐次线性方程组有非零解.因此,根据齐次线性方程组有非零解 的充要条件知,其系数行列式D=0,将 展开,得4x+y+3z-8=0为所求平面方程 1 例5设A=a:a2a3 B n-L( 其中a,≠a,i≠j(i,j=1,2,…,n),则线性方程组Ax=B的解是 a (a1-a,)≠ 41 A2x=B有唯一解:x1=D=D D =0.故应填 (1,0,…,0) 注意这里D=1A"1=D1,而D2,…,D因为有两列元素对应相等,所以全为零
