戋性代数重点难点30讲 第9讲向量组的线性相关性 这一讲所涉及的n维向量及向量组的线性相关性都是向量代数中3维向量及其线性运 算的推广.由于n>3时,n维向量已没有相应的几何直观形象,因此,相应的概念都比较抽 象,学习中要把3维向量及其线性运算性质搞清楚,则n维向量及其线性运算的性质(即线 性相关性)就不难理解 维向量及其线性运算 例1设a1=(4,1,3,-2),a2=(1,2,-3,2),a3=(16,9,1,-3),求3a1+5a2 解根据向量的线性运算性质可得 3a1+5a2-a3=3(4,1,3,-2)+5(1,2,-3,2)-(16,9,1,-3) =(12,3,9,-6)+(5,10,-15,10)-(16,9,1,-3) =(12+5-16,3+10-9,9-15-1,-6+10+3) (1,4,-7,7) 例2设a=(2,1,-4,7),试求b,使a-b=3(a+b). 解 b=3(a+b)=3a+3b,即4b=-2a 例3设3(a1+a)+5(a2-a)=2(a3+a),其中,a1=(4,-1,3,2),a2=(2,1, 1,0)2,a3=(1,0,1,1,),求a 解已知 ),即 3 由此可得 (3a1+5a2-2a3) [3(4,-1,3,2)+5(2,1,-1,0)1-2(1,0,1,1)2] =a[(12,-3,9,6)+(10,5,-5,0)1-(2,0,2,2)] (20,2,2,4)=(5 二、向量组的线性相关性 例4已知a1=(1,1,1,1),a2=(1,1,-1,-1)2,a3=(1,-1,1,-1)T a4=(1,-1,-1,1)2,b=(1,2,1,1).试将b表示成a1,a2,a3,a4的线性组合
第9讲向量组的线性相关性 41 解法1根据定义,是否能找到一组数k1,k2,k3,k4,使b=k1a1+k2a2+k3a3+ k,a4,关键是要求出k,(i=1,2,3,4).将上式写成: (1,2,1,1y=k1(1,1,1,1)+k2(1,1,-1,-1)2+k2(1,-1,1,-1)+k2(1,-1,-1,1) =(k1+k2+k3十k,k1+k2一k3一k,k1一k2+k3一k,k1一k2一k3+k), 则由对应分量相等,可得到方程组 k1+k2+起3+k4=1 k1-k2+k3-k4= k1-k2-k3+k4=1. 解此方程组得:=,k2=,=-,k=1,则 解法2向量a1,a2,a3,a4构成矩阵A=(a1,a2,a3,a,),向量a1,a2,a3,a4,b构成 矩阵B=(a1,a2,a3,a4,b),对B施行初等行变换,化为行最简形 11-1-12 a1,a2,a3,a4 I 1-1-111 00 21 0 1=2,3,401010 0-2-200 0011 010-1 010-1 0 00-110 r1+r3 01004 00-10 十 0001 0001
42 线性代数重点难点30讲 由此可知R(A)=R(B)=4.则由b能由a1,a2,…,am线性表示的充要条件是矩阵A= (a1,a2,…,an)的秩等于矩阵B=(a1,a2,…,an,b)的秩可知,b能由a1,a2,a3,a4线性 表示,且由矩阵B经初等行变换后的行最简形式知其可表示为: b 例5下列向量b2(i=1,2,3)能否由a1,a2,a3,a4线性表示?若能,试写出表示式.其 中 a1=(1,0,0,0),a2=(1,1,0,0),a3=(1,1,1,0),a4=(1,1,1,1); b1=(-2,1,1),b2=(2,1,-1,3),b3=(2,1,-1,0,0) 解因b是3维向量,b是5维向量,它们不能由4维向量a1,a2,a3,a4线性表示(维 数不同则不能进行线性运算).又因a1,a2,a3,a4线性无关(可由定义证明),故任一4维向 量都可以由它们线性表示,即b2可以由它们线性表示 设b2=k1a1+k2a2+ka3+ka4,由此可得方程组 k, k 解之得:k4=3,k3=-4,k2=2,k1=1.则 b2=a1+2a2-4a3+3a4(也可用类似例4解法2处理) 例6判断下列向量组的线性相关性: (1)a1=(1,2,3),a2=(1,-4,1),a3=(1,14,7); (2)b1=(2,2,7,-1),b2=(3,-1,2,4),b,=(1,1,3,1) 解(1)解法1利用线性相关与线性无关的定义,设有一组数k1,k2,k3,使k1a1+ k2a2+k3a3=0,即 k12+k2-4+ 7 由对应分量相等,得方程组: 2k1-4k2+14k3=0 3k1+k2+7k3 解此方程组得:k1=3,k2=-2,k3=-1.即存在一组不全为零的数k1,k2,k3,使k1a1+ k2a2+k3a3=0.由线性相关的定义可知,a1,a2,a3线性相关
第9讲向量组的线性相关性 43 解法2利用向量组a1,a2,…,an线性相关的充要条件是矩阵A=(a1,a2,…,an)的 秩R(A)<m(向量的个数)及向量组a1,a2,…,a线性无关的充要条件是R(A)=m,即 把线性相关性的判定转化为向量组构成的矩阵A的求秩问题.由于用初等变换求矩阵的秩 是我们已熟悉的方法,且避免了解上述方程组,所以这里可以用求矩阵秩的方法来判断向量 组的线性相关性.本题向量组构成的矩阵A=(a1,a2,a3),对A进行初等行变换: a1,a2, 17 nx(-) 01-2 000 即R(A)=2<3(向量个数),故a1,a2,a3线性相关 (2)解法1按线性相关与线性无关的定义,设有一组数k1,k2,k3,使k1a1+k2a2+ k3a3=0.由此得方程组: 2k1+3k2+k3=0 2k1-k2+k3=0 7kt+2k2+3k3=0 解此方程组得k3=0,k2=0,k1=0.即只有k1=k2=k3=0,才能使k1a1+k2a2+k3a1 =0成立,由线性无关的定义知,b1,b2,b3线性无关 解法2所给向量组的矩阵A=(b1,b2,b3).对A进行初等行变换 31 4 723 141 3n×0 03010 031 r4+2r1 0113 011 3 413 03 000
4 线性代数重点难点30讲 -411 r3X4 00 1000 由此可得R(A)=3(向量个数).故b1,b2,b3线性无关 例7判定向量组 a1=(1,a,a2,a3),a2=(1,b,b2,b3),a3=(1,c,c2,c3)",a4=(1,d,d2,d3) 的线性相关性,其中a,b,c,d互不相同 解法1利用定义设一组数k1,k2,k,k:,使ka1+k2a2+k3a3=0.由此得到方程 组 k k,+ k k4=0 ak, bk,t ck3+ dk 4 =0 a2k+b2k2+c2k3+d2k4=0, a3k1+b3k2+c3k3+d3k4=0 由于此方程组的系数行列式D是四阶范德蒙行列式,且a,b,c,d各不相同,则 1111 d D=ab'c/=(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)#0 因此方程组只有零解:k1=k2=k3=k4=0.即只有k1=k2=k3=k4=0,才能使k1a1 +k2a2+k3a3=0成立,由线性无关的定义知,a1,a2,a3,a4线性无关 解法2向量组构成的矩阵为 b d 因a,b,c,d各不相同,故各阶子式均不为零,最高阶不为零的子式1A为四阶范德蒙行列 式,A1≠0.即R(A)=4与向量个数相等因而由线性无关的充要条件可知,a1,a2,a3 a4线性无关 注:本题若用初等变换求R(A),则求秩过程稍繁琐一些.因此,对不同的题应采用相 的简便方法 例8讨论向量组a1=(1,1,0),a2=(1,3,-1)2,a3=(5,3,t)的线性相关性.线 性相关时,写出其线性表示式 解法1利用线性相关与无关的定义.设一组数k1,k2,k3,使k1a1+k2a2+k3a3=0
第9讲向量组的线性相关性 由此得出方程组: k1+k2+5k3=0 k1+3k2+3k3=0, k2+块k3=0. 115||115 其系数行列式D=133=02-2|=2(4-1) 当t≠1,D≠0,方程组只有零解:k1=k2=k3=0,即a1,a2,a3线性无关 当t=1时,D=0,方程组有非零解.解此方程组得:k2=1,k3=1,k1=-6,则有 0,即a3=6 解法2利用例6解法2所叙述的线性相关与线性无关的充要条件,对向量组构成的矩 阵A施行初等变换: A=(a1,a2,a3)= 33 02-2 511 00 当t≠1时,R(A)=3与向量个数相等,故a1,a2,a3线性无关 当t=1时,R(A)=2<3,故a1,a2,a3线性相关.此时 6 A-01 000 由此可得:a3=6a1-a2(即-6a1+a2+a3=0) 例9证明下列命题: (1)设b1=a1+a2,b2=a2+a3,b3=a3+a4,b,=a4+a1,则b1,b2,b3,b4线性 相关; (2)设b1=a,b2=a1+a2,…,b=a1+a2+…+a,且a1,a2,…a,线性无关, 则b,b2,…,b,也线性无关 证(1)由于向量组a1,a2;a3,a4的线性相关性不明确且没有给出分量,故不能直接 用定义判别相关性,但由所给出的线性表达式可以看出b1,b2,b3,b之间的线性关系 (b3-a3)+a1=b-(b2 b3-b2+(b1-a1)+a1=b3-b2+b 即b1-b2+b3-b4=0,故b1,b2,b3,b4线性相关 (2)因a1,a2,…,a,线性无关已知,故可用定义证明设有一组数k1,k2,…,k,使 k,b1 + k2b k,b,=0
46 线性代数重点难点30讲 即 k1a1+k2(a1+a2)+…+k,(a1+a2)+…+an)=0, 整理后得(k1+k2+…+k)a1+(k2十…十k,)a2+…+k,a,=0, 但因a1,a2,…,a,线性无关要上式成立,只有k=0,…,k2+k+…+k=0,k1+k2+… k,=0,由此可知,只有k1=k2=…=k,=0,才能使(*)式成立,故b1,b2,…,b,线性无关 小结由上述例4至例9可以归纳出判定向量组的线性相关性的一般方法 (1)基本方法:利用线性相关与无关的定义判定,其特点是向量组a1,a2,…,an中的每 个向量a都给出分量,即a=(a1,a3,…,an),=1,2,…,m.判定相关性时利用定 义,设一组数k,i=1,2,…,m,使 k1a1+k2a2+…+knam=0, 0 k +…+k +k,a1+ Jkan+k2a2+…+k2m=0 karL +k2an2 +.+kma, m=0 按解齐次线性方程组的方法,若只有解k1=k2=…=km=0,则由线性无关定义知, 所给向量组线性无关;若解得k(i=1,2,…,m)不全为零,则由线性相关定义知,所给向量 组线性相关 (2)利用向量组所构成的矩阵的秩,判定相关性 ①b能由向量组a1,a2,…,am线性表示的充要条件是向量组构成的矩阵A=(a1,a2, an)的秩等于矩阵B=(a1,a2,…,an,b)的秩; ②向量组a1,a2,…,an线性相关的充要条件是它所构成的矩阵A=(a1,a2,…,am) 的秩R(A)<m(即向量的个数),向量组线性无关的充要条件是R(A)=m
