第6讲分块矩阵 第6讲分块矩阵 以小块矩阵为元素的矩阵,称为原矩阵的分块矩阵;矩阵分块法是处理大型矩阵常用的 方法.至于如何分块有多种方法,但必须遵循以下规则 分块矩阵的运算规则 (1)设A和B为同型矩阵,采用相同的分法,有 A BI 其中A与B的行数相同,列数相同,则 An+B1…A1r+B1r A+B= A+Bn1¨An+B (2)设λ为数,分块矩阵 All A 则 入A= (3)A为m×l矩阵,B为l×m矩阵,分块成 A BI A B 其中Aa,A 的列数分别等于B1,B2,…,B4的行数,那么 AB= 其中 AaB(i=1,…,s;j=1,…,r) (4)设
线性代数重点难点30讲 「A A AT (5)设A为n阶方阵,若A的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块,其余子块都为零 矩阵,且非零子块都是方阵,即 A 其中A(i=1,2,…,s)都是方阵,那么称A为分块对角方阵 分块对角方阵的行列式具有下述性质 若A,|≠0(i=1,2,…,s),则|A|≠0,并且 A, 二、分块求逆 分块求逆一般比较复杂,但对于分块对角形是很方便的 例1设A 000 求A 0-10 解用水平和铅直虚线将矩阵A中的元素分割成9个小块,即9个子矩阵.按运算规则 可得 2:00:0
第6讲分块矩 例2设A,,B。,均可逆,D A O CB,问D是否可逆?若可逆,试求D D|=LCB=1AB|≠0,故D可逆,设D1=Xz A O W Y 子矩阵X Z,W,Y(其中X,Z,W,Y分别为r×r,r×s,s×r,s×s矩阵)待定.要求 X ZA O W YLC B Es XA+ZC= Er, X=EA=A ZB 解得 WA +YC= O W=-YCA=-B CA B= E Y=EB:=B A 07 B CA B 同理可证 O B 0……0 0 例3设A= 其中a≠0,i=1,2,…,n,求A1 0 0 其中 C=(an)1,B=:
线性代数重点难点30讲 0 0 C 0 C B 0 B-10 例4设三阶方阵A,B满足关系式:ABA=6A+BA,且 0 00 求矩阵B 解由A1BA=6A+BA,得 A- BA-BA=6A, H(A-E)BA=6A 由于A是对角矩阵,所以 0 0 007 0 0() A1-E=030,从A-1-E|≠0知,矩阵A1-E可逆 对()式两边右乘A1,左乘(A-E)1,得 00 B=6(A1-E)1=6030=020 00
