第10讲向量组的秩与向量空间 47· 第10讲向量组的秩与向量空间 在上一讲我们已看到,判断一个向量组的线性相关性时,它所构成的矩阵的秩起着十分 重要的作用.它不仅提供了判断线性相关性的一种简便方法,而且使抽象概念变得直观具 体.在这一部分要熟悉最大线性无关向量组(简称最大无关组)、向量组的秩及向量空间的 基本概念,并熟悉由矩阵秩的定义及向量组线性无关的充要条件推出“矩阵的秩等于它的列 (或行)向量组的秩”的有关定理,熟悉这些内容,将使得求向量组的秩及其最大无关组变 得简便 关于向量组的秩及最大无关组的求法 求向量组的最大线性无关组的常用方法有两种:方法一:录选法.其步骤是①在向量 组中任取一个非零向量作为a,;②取一个与a,的对应分量不成比例的作为a1;③取一个 不能由a,,a,表示的向量作为a,继续下去便可求出向量组的最大无关组.该法适用于 向量组中向量个数较少的情形 方法二:行初等变换法.其步骤为①将向量组中各向量作为矩阵的列;②对上述矩阵 作行初等变换;③变成阶梯形矩阵后,每一阶梯上取一列,则对应的向量所构成的向量组即 为最大线性无关组 例1设向量组为:a1=(2,1,4,3),a2=(-1,2,-6,6),a3=(-1,-2,2,-9), a:=(1,1,-2,7),a5=(2,4,4,9),试求向量组的秩及一个最大无关组 解以a1,a2,a3,a4,a5为列构成一矩阵,然后对其作初等行变换,则 0-104 2-2 变辍 01-103 A=(a1,a2,a3,a4,a5)= 4-62-24 0002-6 6-979 000-00 由上述行阶梯形有三个非零行可知,R(A)=3,即向量组的秩为3.而向量组的一个最大无 关组是a1,a2,a4(或a1,a2,a5等) 注:向量组的最大无关组不唯一,即任何含有R(A)个线性无关的向量组都可以作 为该向量组的一个最大无关组 例2试求矩阵 25311743 759453132 759454134 25322048 的列向量的秩及一个最大无关组 解对A施行初等行变换(注意:只能用行的初等变换!)
线性代数重点难点30讲 25311743 25311743 25311743 759453132 0123 759454134"4-n0135 25322048 0135 0000 由行阶梯形矩阵有三个非零行可知,R(A)=3,而一个最大无关组是a1,a2,a3 例3判定下列向量组的线性相关性,并求出其一个最大无关组 a1=(2,1,3,-1),a2=(3,-1,2,0),a3=(1,3,4,-2),a;=(4,-3,1,1) 解与例1、例2类似,仍是把向量组写成矩阵的形式,对其进行初等行变换化为阶梯 形,则矩阵的秩就是这个向量组的秩,非零行对应的向量便组成一个最大线性无关组 设向量组构成的矩阵为A,则 31 A=(a1,a2,a3,a:)= 2131 24 2 13-3 000 551 510 10-2 0-11 74-n05-510 0000 000 0000 由此可知R(A)=2<4,则对应的列向量组a1,a2,a3,a4的秩为2.因此该向量组线性相 关,且a1,a2,为其一个最大无关组 注意当a1,a2,a3,a4为行向量时,这时应构造A为A=(a1,a2,a3,a),仍只能用 行初等变换这一点必须特别注意 例4设向量组A:a1,a2,…,an的秩为n1,向量组B:b1,b2,…,b的秩为r2,向量组 C:a1,a2…,a,b1,b2,…,b1的秩为r3,证明:mn1,n2}≤n≤n+r2 证显然,向量组A、B都能由向量组C线性表示,故有1≤,≤,因面有 设向量组A的最大无关组为A0:a,a4,…,an,向量组B的最大无关组为Bo:b b2…,b2·则向量组C能由向量组An与向量组B构成的向量组(A,Bn)线性表示,故 r3≤R(A0,B1)≤n1+n2 (10.2) 由(10.1),(10.2)式可得:mxr,r2≤r≤r1+r2 例5设A与B都是m×n矩阵,证明:R(A+B)≤R(A)+R(B) 证显然 R(A+B)≤R(A+B,B), (10.3)
第1讲向红的秋与向量空间 49 又因(A+B,B)初等列变换→(A,B),而初等列(行)变换不改变矩阵的秩故R(A+B,B) =R(A,B)设A,B0分别为A,B列向量组的最大无关组构成的矩阵,则R(A0)=r, R(B0)=s.由例4可知 R(A,B)≤R(A0,B0)≤r+s=R(A)+R(B), (10.4) 由(10.3),(10.4)式可知R(A+B)≤R(A)+R(B) 例6已知向量组:(I)a1,a2,a3,;(Ⅱ)a1,a2,a3,ax4;(Ⅲ)a1,a2,3,a3,如果各向 量组的秩分别为R(I)=R(Ⅱ)=3,R(Ⅲ) 明向量组a1,ax2,a3,ax3-a4的秩为 证由R(I)=R(Ⅱ)=3,知a1,a2,a3线性无关,而a1,ax2,a3,a4线性相关,故a 可以由a1,a2,a3唯一线性表示,即存在数A1,k2,3,使 a4=A1a+A2a2+ A3 a3 以a1,a2,3,a3-a为行向量构成矩阵A,即 因为初等变换不改变矩阵的秩,故 R(A)=R(B)=R(Ⅲ)=4, 即向量组a1,a2,a3,a5-a4的秩为4 二、向量空间的有关例题 例7设由向量组a1=(0,1,2)2,a2=(1,3,5),a3=(2,1,0)生成的向量空间记 作V1,由向量组b1=(1,2,3),b2=(-1,0,1)生成的向量空间记作V2证明: 证由于向量空间是相应的向量的一个非空集合(要求对加法及数乘运算封闭),故要 证明V1=V2,应按集合相等方法证明 VI=lx=A,ar+A2a2+a3a3 I Au,A2,A3ERI, V2=ix=Ab,+pab: IA1 A2). 显然,要证明V1=V2,即设x∈V1,因x可由a1,a2,a3线性表示,若能证明a1,a2, a3能由b1,b2线性表示,则x∈V2,即可证明V1cV2;同理,若设x∈V2,同样必须证明 b1,b2能由a1,a2,a3线性表示,即可证v2CV;由此证出V1=V2证出结论的关键在 证a1,a2,a3与b1,b2两个向量组等价 证明两个向量组等价的方法很多.现利用下述方法 设A=(a1,a2,a3),B=(b1,b2), 「012:1-1 131:2 则(A,B)=13120 012:1-1
50· 线性代数重点难点30讲 0 000:00 y.0121-1 (A,B)=2 由此可知a1,a2及b1,b2都是向量组{A,B}的最大无关组,故a1,a2与b1,b2等价.又a3 可由a1,a2线性表示,所以a1,a2,a3可由a1,a2线性表示,而a1,a2也能由a1,a2,a3线性 表示,故a1,a2,a3与a1,a2,等价,由等价的传递性可知a1,a2,a3与b1,b2等价 例8验证a1=(1,-1,0),a2=(2,1,3),a3=(3,1,2)为R的一个基.并求向 量b=(5,0,7)在此基下的坐标 解R3为3维向量空间所以R3中任何3个线性无关的向量都可以作为R2的一个基 因 (a 111 23 034 00-2 故 R(A)=3 因此,a1,a2,a3线性无关,由此可知a1,a2,a3是R3的一个基 b是一个3维向量.它可由R的基a1,a2,a3线性表示为b=Ax,其中x=(x1,x2, x3).即解方程组 032:7 032 12315x(2 →0309 0103 010 001-1 001-1 由此可得唯一解x1=2,x2=3,x3=-1.则b在给定基下的坐标为(2,3,-1)2,且 b=2a1+3
