1讲行列式的定义 第1讲行列式的定义 行列式的定义有三种:是逆归”定义,二是“逆序”定义,三是公理化定义.如果用“逆 序”定义行列式,那么“逆归”定义就成为行列式“按一行展开”的性质行列式的性质将在下 讲中讲到,本讲重点在于对“逆序”定义的理解 要理解“逆序”定义,首先要理解排列及其逆序数的概念,其次要熟悉关于对换的主要 结论.与逆序数密切相关的行列式的定义是计算行列式的依据 排列和逆序 例1确定下列排列的逆序数,并确定是偶排列还是奇排列 (1)24531876 (2)246…(2n)(2n-1)(2n-3)…31. 解(1)解法1计算出排列中每个数排在其前面大于该数的数字个数即该数的逆序 数:2排在首位,逆序数总是0;4前面比4大的数有0个,故4的逆序数为0;同理,5的逆序数 也为0;3前面鄙3大的数有两个,所以3的逆序数为2;同理可知1的逆序数为4;8是最大数, 逆序数总是0;7与6的逆序数分别为1,2,按表计算如下: 排列 24531876 逆序数 00024012 故该排列的逆序数z=0+0+0+2+4+0+1+2=9,从而知该排列为奇排列 解法2计算出每个数排在其后而小于该数的数字个数也是该数的逆序数,按表计算 排列 24531876 逆序数 12210210 则该排列的逆序数r=1+2+2+1+0+2+1+0=9,故该排列为奇排列 (2)按上述解法2: 排列246…(2n)(2n-1)(2n-3) 逆序数123…n 10 则此排列的逆序数r=1+2+3+…+n+(n-1)+(n-2)+…+1 n(n+1),(n-1)n 本题也可按例1所叙述的解法1求逆序数但稍复杂一些,按表计算如下:
线性代毅重点难点30讲 列246-02(m-2)2(-1)2(2-1)(2n-3)(2-5)-31 逆序数000 0 3 (2n-3)(2n-1) 则排列的逆序数为 r=0+0+…+0+1+3+5+…+(2n-3)+(2n-1) (注意:Sn=1+3+5+…+(2n-3)+(2n-1)是公差为2的等差数列前n项的和.) 由于排列的逆序数r=n2,故n为奇数时,排列为奇排列,n为偶数时,排列为偶排列 由此可见:求n级排列逆序数问题的基本方法,就是按逆序定义,对排列中每一个数顺 序地确定其逆序数.按例1的求解方法1,2,可以求出排列的逆序数 例2在数1,2,…,n的任一排列中,逆序数和顺序数的和等于多少?(顺序数是任一排 列中两个元素的先后次序是自然次序时,就说有1个顺序数,所有顺序数的总数叫这个排列 的顺序数) 解设a1a2…an是数1,2,…,n的任一排列,且此排列的逆序数为S.于是,对排列中 任一元素a1,若其逆序数为k,就是a,比其后面的个数大,也可以说是,a1比其后面除k 个数外的其他n--k,个数都小,即a,后面的n-i-k,个数与a,是顺序的,所以,此排 列的逆序数为 则顺序数为 ∑(n-}-k,)=∑(n-1)-∑k=(n-1)+(n-2)+ 2+1-}= (n-1) 因此,逆序数与顺序数的和是 k+8(n-1-k)=S+(n-1)-s=n(n,1 二、排列与对换 例3选择r,s,t使排列1r46s97t3为偶排列 解由于排列是9级排列,所以可供r,s,t选择的元素有2,5,8.不妨设r=2,s=5, t=8,则r(124659783)=9(奇数).由于对换改变排列的奇偶性,由此可知,当 或 时,此排列为偶排列
第1讲行列式的定义 三、n阶行列式的定义 例4计算 0300 解这是一个四阶行列式,在展开式中应有4!=24项.但是由于出现很多0,故不为0 的项数就大大减少了.项的一般形式是 (-1) a;.a2a3;.a 其中力1j2j34是一个四元排列 j1可取1,2,3,4,但若j取1,2,3时,a1=0,从而不管后面的数怎样取,这些项都等于 0,故只考虑j1=4的那些项: t42a142i2 j2可取1,2,3(注意不可取4).但若2=1,2时,a2,=0,故只须考虑j2=3的那些项: (-1)245分 41423a3,《4i j3可取1,2(注意不可取3,4),但若j3=1时,a,=an=0,故只须考虑方=2的那 些项: (-1) (432)4) 14a2na4;. 这时j只能取1,所以 D=(-1))a1a23a3a4=1·2·3.4=24. 例5写出四阶行列式中含有因子a1a23的项 解从行列式定义出发,行列式中的项是来自不同行不同列的n个元素的乘积,再在其 前面冠以正号或负号.因此,四阶行列式中含有a1a23因子的项,还应取3,4行2,4列上的元 素,即是含有a3a4或a34aa因子,对于a1a23axa4前面的符号,由 r(1234)+r(1324)=1(奇数) 确定为-ana2axa*,对于a1a23a3a前面的符号,由 r(1234)+r(1342)=2(偶数 确定该项为a1a2a3aa,所以,含有a1a2因子的四阶行列式中的项是-a1a23a3a4和 a11 434442 例6设a1a3asa2as为5阶行列式的一项,取负号,试确定 解因为项a1 an as4 a2as行标构成的逆序数为r(13524)=3(奇数),所以,由题知,该
线性代数重点难点30讲 项列标构成的排列的逆序数应为偶数又i,只能取1,3,当i=1,=3时,则(12435)= 1(奇数)不符合要求,于是,应调换为i=3,j=1 例7按定义计算下面n阶行列式的值 n000 0 00 0003 0 D 0000 0 解按行列式定义该行列式中不含零的项只有a1an2a2axan1,这一项,而这n个 元素列标为自然顺序排列,而行标排列为1n23…n-1,故r(1n23…n-1)=n-2.又 因为a1=n,an2=1,a2=2,ax=3,…an,=n-1所以,D,=(-1)”2n! 般地对于含零较多的行列式,或上、下三角行列式通常用定义计算比较方便 例8在函数 f(x) 112 中,x3的系数是 解根据行列式的定义仅当a12a21a3a4四个元素相乘才能出现x3项,这时该项排列 的逆序数为r(2134)=1,(-1)21)a1a21a3a4=-x3,故含x3的项的系数为-1,因 此,应填-1
