36 线性代数重点难点30讲 第8讲矩阵的秩 矩阵A的秩R(A)=矩阵A行向量组的秩=矩阵A列向量组的秩=矩库A中不为零的子式 的最高阶数如果矩阵A经初等变换变为B,则R(A)=R(B).也就是说初等变换不改变矩阵的秩 因此求矩咋秩的基本方注有:①定义法(即求矩阵A中不为零的子式的最高阶数)(本讲讨论);②初等 变换法即将矩阵A进行行变换变为阶梯形矩阵B则R(A)=R(B)=B中不为零的行数;也可以行 列初等变换用用将A化为其等价标准形B.则R(A)=R(B)=B的对角线上1的个数本讲讨论); ③利用向量组求秩法(将在第10讲中讨论) 按定义求 例1用定义求下列矩阵的秩 30751 02-436 cosa sing 1 (2)00 00049 00000 00009641 002102 (3) 043576 143 解按定义,矩阵A的秩等于A中最高阶非零子行列式的阶数 cosa sIna (1)D2= =co32a+sin2a=1≠0,故该矩阵秩r=2 sing CsQ (2)由于 所以该矩阵秩r=4 (3)因为前4列副对角线上有一个元素为零.因此,取前3列与后3列中某一列使其为 一个三角阵,且副对角线上元素之积不为零,从而有最高阶子式 0022 36/≠0 78-40
第8讲矩阵的秩 故该矩阵秩r=4 11 例2设三阶矩阵A=1x1,试求矩阵A的秩 解由于|A1=1x1=(x-1)(x+2),故当x≠1且x≠-2时,A|≠ 11 0,R(A)=3 当x=1时,1A1=0,且A=11,显然R(A)=1. 21 当x=-2时,A|=0,且A=1-21,此时有二阶式/21=3 ≠0,所以R(A)=2 总之,当x≠1,x≠-2时,R(A)=3;当x=1时,R(A)=1;当x=-2时,R(A) 1k11 例3设矩阵A= 且R(A)=3,则k 1k1 解因为秩R(A)=3,故行列式|A1=0,可解得k=-3,k=1.当k=1时 11 A=111x,秩R(A)=(这时,A的不为零的子式的最高阶数为1,不合题意故 二、初等变换法 例4利用初等变换求下列矩阵的秩 02-4 1-4 (1)A= (2)B 203-13 05-10 解由于矩阵的初等变换不改变矩阵的秩.因此,对一般矩阵常通过初等行变换化为
线性代数重点难点30讲 阶梯形矩阵,进而找出最高阶非零子式(或以阶梯形非零行的个数确定出矩阵的秩)的阶数 即为其秩 1221 11221 203-13r 0-2-1-51 1104-1 0215-1 00000 001 00000 因为有021≠0(显然非零行的个数为3),所以R(A)=3 001 02 0 (2)由 B 0 23 0 0-510 01-2 01-2 000 000 000 知R(B)=2. 注意初等变换求秩,并非需要将矩阵化为阶梯最简形矩阵 例5求向量组a1=(1,-1,2,4)2,a2=(0,3,1,2)2,a3=(3,0,7,14),ax4=(1 2,2,0)T,a3=(2,1,5,10)的秩及一个最大无关组,并用最大无关组线性表示向量组中 的其他向量 解因为不仅仅是求向量组的秩,还要求向量组的最大无关组,因此采用下面的解法 以给定向量组为列向量组构成矩阵A,然后用初等行变换(注意,只是初等行变换)将A化 为阶梯形,则A中与阶梯形矩阵中首非零元所在列的序号相同的列向量组即为所求的一个 最大无关组 103 130-21 a a2 a3 a4 a
第8讲矩阵的秩 rI 2n1+303 3r+ -13 000-10 122 000-40 i#+01101 00000 因为阶梯形矩阵B中非零行的个数为3,故R(A)=3,从而知A的列秩—即向量组a1, a2,a3,a4,a3的秩为3,因此向量组a1,a2,a3,a4,ax3中任何3个线性无关的向量都可作 该向量组的最大无关组特别地,由阶梯形矩阵B中首非零元所在的列为第1、2、4列,知A 的第1、2、4列为A的列向量组的一个最大无关组,即向量组a1,a2,4,为所求的一个最大 无关组事实上,由 初等行变换 010 [a 知向量组a1,.2,a4线性无关,故a1,a2,a,即为所求的一个最大无关组 为了用最大无关组线性表示向量组中的其他向量,用初等行变换进一步将B化成简化 行阶梯形 由此可得 ax3=3a1+a2,a5=2a1+a2 这是因为 初等行变换0101 故方程组x1a1+x2a2+x3a4=a3有唯一解:x1=3,x2=1,x3=0,所以有a3=3a1 +a2同理可说明as=2a1+a12成立的理由
