166 线性代数重点难点30讲 第28讲含有参数的线性 方程组解的讨论 有关含有参数的线性方程组解的讨论要综合地利用行列式与矩阵运算及变换的各种 法和线性相关性的概念及性质.讨论这类问题的一般思维程序是: (1)含参数的n个未知数n个方程的线性方程组,当n≤3时,通常利用系数行列式三 行分析讨论:当系数行列式不为零时,方程组有唯一解,用克莱姆法则求之(如下面的例 当系数行列式为零时(此时参数一般已确定)利用增广矩阵行的初等变换化为阶梯形矩 判别有无解,有解时,求出通解 (2)当方程的个数≠未知数的个数,或(1)中的n>3时,通常是对方程组的增广矩 施以行的初等变换化为阶梯形矩阵,然后再对参数讨论方程组有无解,有解时求出解,变 的系数中不含参数的方程组也用此法 br t ay 例1已知有唯一解的方程组cy+b=a,(其中a,b,c是不全为零的 Cx十 数),试证abc≠0,并求方程组的解 解系数行列式D=0cb=2abc 由已知方程组有唯一解,故系数行列式不为零,即有abc≠0,又 0 +b b 0 b D=0 a b=a2b422b-6'-b(a2+22-6 c b D.=0ca=b2c+a2c-c3=c(a2+b2-c2), 0 b 由克莱姆法则知 D
第28讲含有参数的线性方程组解的讨沦 167 例2设线性方程组 2x1-x2+Ax3=0, 的系数矩阵为A,三阶矩阵B≠O,且AB=O,试求λ的值 解设B=(阝1,B2,B3),其中B(i=1,2,3)为三维列向量,由于B≠O,所以至少有 个非零的列向量,不妨设阝1≠0,由于 AB=A(B1,B2,B3)=(AB1,A2,AB3)=(0.0.0) 可得A1=0,即B1为齐次线性方程组Ax=0的非零解,于是系数矩阵的行列式必为零,即 A|=2-1x=5(-1)=0 解得A=1 x1+x2+kx3=4 例3k为何值时,线性方程组 有唯一解,无解,有无穷多组解?若有解时,求出其全部解 解A|=-1k1=-(k2-3k-4)=-(k-4)(k+1), 当|A1≠0,即k≠-1,4时,方程组有唯一解用克莱姆法则求之, k2+2k k2+2k+4 x1k+1 x1+x2-x3=4, 当k=-1时,方程组为 -x1-x2+x=1 +2x3=-4 005 因为R(A)=2,R(A)=3,所以方程组无解 十4 当k=4时,方程组为 x1+4r2+xs=16
l68 线性代数重点难点30讲 16→05520011 R(A)=R(A)=2,可知方程组有无穷多解,于是 令x3=c,则得通 解为 即 其中c为任意常数 例4设有向量组a1=(1,4,0,2),a2=(2,7,1,3),a3=(0,1,-1,a),B=(3, 10,b,4,).问 (1)a、b取何值时,阝不能由a1,a2,ax3线性表示? (2)a、b取何值时,B可由a1,a2,ax3唯一线性表示?并求出此表示式 (3)a、b取何值时,B可由ax1,a2,a3线性表示,但表示式不唯一,并求出此表示式 解设有一组数x1,x2,x3,使得 +x33 即得线性方程组 3 4x1+7x2+ 10 2x1+3.x2+ax3=4 对该方程组的增广矩阵作初等行变换: 120:3 A=[Ab]] 01-1 01 0b40110 00 0 所以
第28讲含有参数的线性方程组解的讨论 l69 (1)当b≠2时,方程组无解,此时β不能由ax1,a2,a3线性表示; (2)当b=2且a≠1时,R(A)=R(A)=3(未知量个数)方程组有唯一解.为求解, 将阶梯形矩阵D再进一步化成简化行阶梯形: 20:3 100:-1 1000 110 0 000 200 于是得方程组的唯一解为x1=-1,x2=2,x3=0.因此,此时β可由a1,a2,a3唯一地线 性表示为β=-a1+2a2; (3)当b=2且a=1时,R(A)=R(A)=2<3(未知量个数),方程组有无穷多解 为求解,将D再化成简化行阶梯形: 100 01-1 200 000 于是得方程组的通解为 1=-1-2c,x2=2+c,x3=c(c为任意常数) 故此时阝可由a1,a2,a3线性表示为 阝=(-1-2c)a1+(2+c)a2+ca3(c为任意常数) x1+a2x2+a2x3=a3 例5设线性方程组 t agr?ta aI+a42+ a4.r (1)试证:若a1,a2,a3,a4两两不相等,则方程组无解; (2)设a1=a3=k,a2=a4=-k(k≠0)且已知B1,B2是该方程组的两个解,其中 B2=(-1,1,1)2,B1=(1,1,-1)2,写出方程组的通解 分析只要证明系数矩阵与增广矩阵的秩不相等,就可得到方程组无解.反之,要说明 方程组有解,只需说明系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等 解(1)注意到增广矩阵A对应的行列式是范德蒙行列式 1111
170 线性代数重点难点30讲 其值不为零:A|=Ⅱ(a1=a3)≠0,因此方程组增广矩阵A的秩为4,即R(A)= 而显然系数矩阵 的秩为3,即R(A)=3,故此线性方组无解. (2)当a1=a3=k及a2=a4=-k时,原方程组化为 k xy=k' kr, + k k3 系数矩阵与增广矩阵的秩均为2,阝2-B1=(-2,0,2)是对应导出组的非零解,即为其基 解系,从而上述非齐次组的通解为 2 x=c(B2-)+B=c0+1(c为任意常数) 2 例6设a1=(,-2,一2),=(-2,a,2,a=(-2,-2),同当 取何值时,向量组ax1,a2,a3线性相关?取何值时,向量组a1,ax2,a3线性无关? 分析利用待定系数法列出方程组,则此问题转化为:当a取何值时,方程组有非零危 取何值时,方程组无非零解即只有零解.利用克莱姆法则可以解决这一问题 解设x1a1+x2a2+x3a3=0,则由向量相等的定义列出(含有参数a的)方程组 a1-22-2x3 [tt ar 212x2+ax3=0. 其系数行列式为
第28讲含有参数的线性方程组解的讨论 171 2 la)+}·(-1)(a+}+}+a) =a(a+)(a-2)-(a+)=(+12--2) =(a+y)(2a2-a-1)=(a+2)(a-1)(2a+1) =(a+3)2(a-1 故当a=1或a=-1时,系数行列式D=0,由克莱姆法则,方程组的解不唯一,即存 在非零解,也就是存在不全为零的数x1,x2,x3,使得x1a1+x22+x3x3=0成立,所以向 量组a1a2,a3线性相关;当a≠1,a≠-2(a∈R)时,系数行列式D≠0,由克莱姆法则 知方程组的解唯一,即只有零解x1=x2=x3=0,所以向量组a1,ax2,a3线性无关 例7下面的方程组在什么情况下有唯一解?无穷多解或无解? (b+1)x+y+(ab+ a)z=cb+c (b+1)2x+y+a2(b+1)2z=c2(b+1 解观察所给方程组可见:b=-1时有无穷多解设方程组变成 下设b≠-1,并对方程组的增广矩阵施以初等行变换 b+11a(b+1)c(b+1) (b+1)21a2(b+1)2c2(b+1)2 12 a-1c-1 (b+12a2
线性代数重点难点30讲 b+1 00 (a-1)(ab+a-1)(c-1)(cb+ (1)当c=1时,方程组的增广矩阵A与系数矩阵A的秩相等则方程组肯定有解:若b ≠0,≠1,a≠b+1同时成立,这时R(A)=R(A)=3,方程组有唯一解在其他情况 时,方程组有无穷多解. (2)当c≠1时,分两种情况讨论 若c≠a,方程组无解(a=1,R(A)=1,R(A)=2;a≠1,R(A)=2,R(A)=3); 若c=a,这时,R(A)=R(A)≤2,方程有无穷多解 ②b≠0 (1)a≠1,a≠,1,同时成立,方程组有唯一解 (n)a=1与a=b+1至少有一等式成立;若c≠b+1,有R(A)=2,R(A)=3, 则方程组无解;若c=b+,有R(A)=R(A)≤2,则方程组有无穷多解 小结求含参数的非齐次线性方程组的解的一般方法是:对增广矩阵A做初等行变换 把其化为阶梯形矩阵,确定出使得R(A)≠R(A),R(A)=R(A)=n及R(A)=R(A) r<n的参数值,可知非齐次线性方程组无解,有唯一解还是有无穷多解对于有无穷多 解的情况再按照非齐次线性方程组求通解的方法(参考第11讲)求出通解
