西安石油大学理学院：《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第9讲 可逆矩阵

线性代数电子课件 西安石油大学理学院 工程数学教研室制作

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第九讲可逆矩阵 可逆矩阵的定义 矩阵可逆的条件 可逆矩阵的性质 逆矩阵的应用 小结

第九讲 可逆矩阵 • 可逆矩阵的定义 • 矩阵可逆的条件 • 可逆矩阵的性质 • 逆矩阵的应用 • 小结

、可逆矩阵的定义 在数的运算中,当数a≠0时,有 a=a=1, 其中a=1为a的倒数,(或称a的逆) 在矩阵的运算中,单位阵E相当于数的乘法运算中 的1,那么,对于矩阵A,如果存在一个矩阵A-1 使得AA4-1=A+hA=E, 则矩阵A称为A的可逆矩阵或逆阵

1, 1 1     aa a a , 1 1 AA  A A  E   则矩阵 称为A 的可逆矩阵或逆阵. 1 A 一 、可逆矩阵的定义 在数的运算中，当数a  0时，有 a a 1 1  其中  为a 的倒数，（或称 a 的逆）； 在矩阵的运算中，单位阵E相当于数的乘法运算中 的1， 那么，对于矩阵A ， 1 如果存在一个矩阵A , 使得

定义对于n阶矩阵A,如果有一个n阶矩阵B 使得 AB=BA=E, 则说矩阵是可逆的,并把矩阵B称为A的逆矩阵 A的逆矩阵记作A-1 1/21/2 例设A B 1/21 AB=BA=E,∴B是A的一个逆矩阵

定义 对于 阶矩阵 ，如果有一个 阶矩阵 则说矩阵 是可逆的，并把矩阵 称为 的逆矩阵. n A B AB  BA E, B A n A ,使得 . 1 A的逆矩阵记作 A 例 设 , 1 2 1 2 1 2 1 2 , 1 1 1 1                A  B  AB  BA  E,  B是A的一个逆矩阵

说明若A是可逆矩阵,则A的逆矩阵是唯一的 若设B和C是A的可逆矩阵,则有 AB= BA=E ACECA=E 可得B=EB=(CA)B=C(4B)=CE=C 所以A的逆矩阵是唯一的,即 B=C=4

说明 若 A是可逆矩阵，则 A 的逆矩阵是唯一的. 若设 B 和 C 是A 的可逆矩阵，则有 AB  BA  E, AC  CA  E, 可得 B  EB  CAB  CAB  CE  C. 所以 A 的逆矩阵是唯一的,即 . 1 B  C  A

例设A 10)求4的逆阵 解训用待定系数法是A的逆矩阵 则AB= 2 b)(10 2a+c2b+d)(10 b

例 设 , 1 0 2 1        A  求A的逆阵. 解 设  是 的逆矩阵,       c d a b B A 则               c d a b AB 1 0 2 1        0 1 1 0                   0 1 2 2 1 0 a b a c b d 利用待定系数法

2a+c=1 2b+d=0, b=-1 C b=1 d=2. 又因为 A B BA 21(0 0 21 0 所以 0-1

             1, 0, 2 0, 2 1, b a b d a c           2. 1, 1, 0, d c b a 又因为        1 0 2 1        1 2 0 1        1 0 2 1         1 2 0 1 , 0 1 1 0        所以 . 1 2 0 1 1          A AB BA

二、矩阵可逆的条件 定理1矩阵A可逆的充要条件是A≠0,且 其中A*为矩阵A的伴随矩阵 证明若A可逆,即有A使AA1=E 故AA=E=1,所以A≠0 当A≠0时

定理1 矩阵 可逆的充要条件是 ，且 , 1 1   A A A A A  0 证明 若 A 可逆， A AA  E. 即有 1使 1 1, 1     故 A A E 所以 A  0. 其中A 为矩阵A的伴随矩阵.  当 A  0时, 二、矩阵可逆的条件

当A≠0时, 1①12 a1A1+a12412+…+an4n=4 anAn+a,A,+…+anAn=A n nn n O

当 A  0时,               n n nn n n n n nn n n A A A A A A A A A a a a a a a a a a AA               1 2 12 22 2 11 21 1 1 2 21 22 2 11 12 1 a11A11  a12A12  a1nA1n  A an1An1  an2An2  annAnn  A ,        A A A A O O 

AA=AA=AE→A A=E 按逆矩阵的定义得 证毕 奇异矩阵与非奇异矩阵的定义 当4=0时,A称为奇异矩阵当A≠0时,A称为 非奇异矩阵 由此可得A是可逆阵的充要条件是A为非奇异矩阵

AA  A A  AE   A E, A A A A  A     . 1 A A A    按逆矩阵的定义得 证毕 . 0 , , 0 , 非奇异矩阵 当A  时 A称为奇异矩阵 当A  时 A称为 奇异矩阵与非奇异矩阵的定义 由此可得A是可逆阵的充要条件是 A为非奇异矩阵