一大 本科课程考试参考答案与评分标准 200/200学年第学期 课程名称:高等代数(1) 考试性质:考试试卷类型 考试班级 考试方法:闭卷命题教师: (12分,每小题6分)计算行列式 b (2)D2n= d d 解:(1)D4=40 (2)D=(ad-bc)n 、(12分)求矩阵X使其满足AXB=C,其中 B 11-1 分) [ (6分) 三、(12分)讨论ab取什么值时下面的线性方程组无解,有惟一解,有无穷多解? 1x1+bx2+x3=3 x1+2bx2+x3=4 第1页共3页
第 1 页 共 3 页 本科课程考试参考答案与评分标准 200/200 学年第 学期 课程名称：高等代数(1) 考试性质：考试 试卷类型： 考试班级： 考试方法：闭卷 命题教师： 一、（12 分，每小题 6 分）计算行列式 (1) D4=| 3 1 -1 2 -5 1 3 -4 2 0 1 -1 1 -5 3 -3| a b a b a b c d c d c d 解：（1）D4=40 （2）Dn=(ad-bc) n 二、（12 分）求矩阵 X 使其满足 AXB=C，其中 A= 1 2 3 2 2 1 3 4 3 B= 2 1 5 3 C= 1 3 2 0 3 1 解：A-1= 1 3 -2 -3/2 -3 5/2 1 1 -1 B-1= 3 -1 -5 2 (6 分) X= -2 1 10 -4 -10 4 (6 分) 三、（12 分）讨论 a,b 取什么值时下面的线性方程组无解，有惟一解，有无穷多解？ ax1+x2+x3=4 x1+bx2+x3=3 x1+2bx2+x3=4 (2) D2n= 0 0 0 0
解:D:=1b1=b(a-1) 当a≠1且b≠0时,方程组有唯一解 (4分) 当a=1时,增广矩阵为 0b-10 -10-2 001-2b 显然当a=1.b=1/2时方程组有无穷多解 (4分) 当a=1,b≠1/2时方程组无解 当b=0时, -10-2 01 00-1 001-2b 方程组也无解 (4分) 四、(12分)把向量α表示成向量组β1,β2,B3,B4的线性组合,这里a (0,0,0,1),B1=(1,10,1),B2=(2,1,3,1),β3=(1,0,0),B4=(0,1,-1). 解:令a=x1B1+x2B2+x3B3+x4B4即解方程组 x1+2x2+x=0 kx1+x2+x3+x=0 3x2-x=0 (6分 X1+x2X=1 解得 a=1B1+0B2+1B3+0B4 (6分) 五、(12分)判别下列方程组是否有解,若有解,求出其通解 解增广矩阵为 心333]:3) (4分) 对应的同解方程为 X1-X3-X2-X4 1+x3=x2+3x4+1 (2分) 令x2=x:=0得x1=x3=12得特解,再求相应的齐次方程组的解,最后得非齐次方程 组的通解为 X (cc2为任意实数) (6分) 第2页共3页
第 2 页 共 3 页 解：D3= | a 1 1 1 b 1 1 2b 1| =-b( a-1) 当 a≠1 且 b≠0 时，方程组有唯一解 ． （4 分） 当 a=1 时，增广矩阵为 B= 1 1 1 4 1 b 1 3 1 2b 1 4 ~ 1 1 1 4 0 b-1 0 -1 0 b 0 1 ~ 1 1 1 4 0 -1 0 -2 0 0 0 1-2b 显然当 a=1,b=1/2 时方程组有无穷多解． （4 分） 当 a=1,b≠1/2 时方程组无解 当 b=0 时， B= a 1 1 4 1 0 1 3 1 0 1 4 ~ a 1 1 4 1 0 1 3 0 0 0 -1 ~ 1 0 1 3 0 -1 0 -2 0 0 0 1-2b 方程组也无解． （4 分） 四、（12 分）把向量α表示成向量组β1, β2, β3，β4 的线性组合，这里α =(0,0,0,1),β1=(1,1,0,1),β2=(2,1,3,1)，β3=(1,1,0,0)，β4=(0,1,-1,-1)． 解：令α=x1β1+x2β2+ x3β3+x4β4 即解方程组 x1+2x2+x3=0 x1+x2+x3+x4=0 3x2-x4=0 x1+x2-x4=1 （6 分） 解得 x1=-1，x2=0，x3=1，x4=0，即 α=1β1+0β2+ 1β3+0β4 （6 分） 五、（12 分）判别下列方程组是否有解，若有解，求出其通解． x1-x2-x3+x4=0 x1-x2+x3-3x4=1 x1- x2-2x3+3x4=-1 2 解 增广矩阵为 B= 1 -1 -1 1 0 1 -1 1 -3 1 1 -1 -2 3 -1/2 ~ 1 -1 -1 1 0 0 0 2 -4 1 0 0 -1 2 -1/2 ~ 1 -1 -1 1 0 0 0 2 -4 1 0 0 0 0 0 （4 分） 对应的同解方程为 x1-x3=x2-x4 x1+x3=x2+3x4+1 （2 分） 令 x2=x4=0 得 x1=x3=1/2 得特解，再求相应的齐次方程组的解，最后得非齐次方程 组的通解为 x1 x2 x3 x4 = 1/2 0 1/2 0 +c1 1 1 0 0 c2 1 0 2 1 （c1,c2为任意实数） （6 分）
六、(12分)试用配方法寻求可逆线性变换Ⅹ=CY,把下面二次型化为标准形. f(x1,x2,x3)=x12 7x2 解f(x1-x2-2x)2-8x2x-1x2=(x1-X2-2x3)2+16/11lx2-11(4x/+x)2(6分) xI=y1+3/11y2+2y3 (4分) 3=4x2/11+x3 X3=4/1ly2+y3 得f=y12+16/l2-lly2 七、(14分,每小题7分) (1)设A是n×n正定矩阵,证明A6也是正定的 (2)设α1,a2,an是一组n维向量,已知单位向量ε1,ε2,…,εn, 可被它们线性表示,证明a1,a2,an线性无关 证(1)因nⅪn矩阵A是正定的,所以A是可逆的,对于任意不为零的n维向量X AX≠0,A2X=A(AX)≠0,A3X≠0,XAX=(A3X)(A3X)≠0,所以A6是正定 的 证(2)因为ε1,e2,,en能由a1,a2,,an线性表示,所以ε1,e2,… En的秩小于等于a,a2,an的秩,但ε1,ε2,,εn的秩等于n,所以q 1,a2,,an的秩只能是n,说明a1,a2,,an是自身的最大无关组,从而知 a1,a2,,an线性无关 八、(14分,每小题7分) (1)设A是一个n×n实矩阵,证明A是反对称的充分必要条件是:对任意 ∈R,都有aAa=0 (2)设向量组B,B2,,B能由{,a2,…线性表示,试证:向量组{a, s,B1,B2,,B1}与{a,a,…,.as}有相同的秩 证:(1)根据二次型与矩阵的关系知aAa=a[(A+A)]a,如果A是反 对称的,则(A+A)=0,从而对任意a∈R,aAa=0 反之,若对任意a∈R,都有aMAa=0,记B=(A+A),将二次型aBa通过 非退化线性变换化为标准型后显然每个平方项的系数为零,即二次型的秩为0,从 而B的秩为0,即(A+A)=0,说明A=-A,A是反对称的 证(2)首先显然{a1,a2,…,as}可由{1,a2,…as,BB2,,B1}线性表示,又因为 β1,B2,Bm}能由{a,a2…,as线性表示,所以{a1,∞2,,asB1,B2…B1}能由{a1, a2,…,s线性表示,而等价的向量组秩相同,所以{a1,a2…,a3B1,B2B}与{1, a2,…,a}有相同的秩 第3页共3页
第 3 页 共 3 页 六、（12 分）试用配方法寻求可逆线性变换 X=CY，把下面二次型化为标准形． f(x1, x2,x3)= x1 2-2x1 x2-4 x1x3+ x2 2-4 x2 x3-7x3 2 解 f=( x1-x2-2x3) 2-8 x2 x3-11 x3 2=-( x1-x2-2x3) 2+16/11 x2 2-11(4x2/11+x3) 2 （6 分） 令 y1=x1-x2-2x3 y2=x2 y3=4x2/11+x3 即 x1=y1+3/11y2+2y3 x2= y2 x3= 4/11y2+y3 （4 分） 得 f=-y1 2+16/11y2 2-11y3 2 （2 分） 七、（14 分，每小题 7 分） （1） 设 A 是 n×n 正定矩阵，证明 A6也是正定的． （2） 设α1, α2,…，αn是一组 n 维向量，已知单位向量ε1，ε2，…，εn， 可被它们线性表示，证明α1, α2,…，αn线性无关． 证（1）因 nn 矩阵 A 是正定的，所以 A 是可逆的，对于任意不为零的 n 维向量 X， AX≠0，A2X=A（AX）≠0，A3X≠0，XA6X= (A3X)T (A3X) ≠0，所以 A6 是正定 的． 证(2) 因为ε1，ε2，…，εn能由α1, α2,…，αn线性表示，所以ε1，ε2，…， εn的秩小于等于α1, α2,…，αn的秩，但ε1，ε2，…，εn的秩等于 n，所以α 1, α2,…，αn的秩只能是 n，说明α1, α2,…，αn是自身的最大无关组，从而知 α1, α2,…，αn线性无关． 八、（14 分，每小题 7 分） (1)设 A 是一个 n×n 实矩阵，证明 A 是反对称的充分必要条件是：对任意α Rn，都有αTAα=0． (2)设向量组{β1, β2,…,βt}能由 {α1, α2, …,αs}线性表示，试证:向量组{α1, α2, …,αs, β1,β2,…,βt }与{α1, α2, …,αs}有相同的秩． 证：（1）根据二次型与矩阵的关系知α TAα=α T [ 1 2 (A T+A)]α，如果 A 是反 对称的，则(A T+A)=0，从而对任意αRn，α TAα=0． 反之，若对任意αR n，都有α TAα=0，记 B= 1 2 (A T+A)，将二次型α TBα通过 非退化线性变换化为标准型后显然每个平方项的系数为零，即二次型的秩为 0，从 而 B 的秩为 0，即(A T+A)=0，说明 A=-A T，A 是反对称的． 证（2）首先显然{α1, α2, …,αs}可由{α1, α2, …,αs, β1,β2,…,βt }线性表示，又因为 {β1, β2,…,βn} 能由{α1, α2, …,αs}线性表示，所以{α1, α2, …,αs, β1,β2,…,βt }能由{α1, α2, …,αs}线性表示，而等价的向量组秩相同，所以{α1, α2, …,αs, β1,β2,…,βt }与{α1, α2, …,αs}有相同的秩．