习题2.1 1.设mn是不同的正整数,A是m×n矩阵,B是n×m矩阵,下列运算式中有定义的有 哪几个? A+B, AB, BA, AB, A-BT 答只有AB和A-B有定义 2.计算 ①1-231-2 ②1-231 570八23 570八2 ③0231 (2 ⑤023)3-23 ⑥0101-23 ⑦(x1x2x3)a21a2a a3a2a3人x3 171 解①1-231-2|=714 570人23 431Y3 570 802381|=0) 246 ⑤0233-23|=03181) 70
习题 2.1 1. 设 m,n 是不同的正整数，A 是 m×n 矩阵，B 是 n×m 矩阵，下列运算式中有定义的有 哪几个？ A+B，AB，BA，AB T，A-B T 答 只有 AB 和 A-B T有定义． 2. 计算 ① 2 3 1 2 3 1 5 7 0 1 2 3 4 3 1 ② 2 1 3 5 7 0 1 2 3 4 3 1 ③ 2 1 3 1 2 3 ④ 1 2 3 2 1 3 ⑤ 1 7 0 3 2 3 4 1 5 1 2 3 ⑥ a b c 1 2 3 2 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 5 ⑦ 3 2 1 31 32 33 21 22 23 11 12 13 1 2 3 x x x a a a a a a a a a x x x 解① 2 3 1 2 3 1 5 7 0 1 2 3 4 3 1 = 22 9 7 14 17 1 ② 2 1 3 5 7 0 1 2 3 4 3 1 = 22 7 17 ③ 2 1 3 1 2 3 = 11 ④ 1 2 3 2 1 3 = 2 4 6 1 2 3 3 6 9 ⑤ 1 7 0 3 2 3 4 1 5 1 2 3 = 13 18 11
105-210(5a-21+5b5c ⑥0101-23 00 1 a b c b ⑦ a1r1 +a1x,+a13xx3+a2rx2x +a22x2ta23x2x3 + a3rx3x, +a32x3x2 + a33 设A 计算: ①(A+B)(A-B) ②A2-B2 ③(AB) ④AB 解①(A+B)(-B= 3(932) 26人00)(04 2Y12)(1010 8 ②A2-B2= 3-(1313 - 4111(49 1210 ③(AB) ④AB 13)(13 23八03)(211 4.求所有的与A= 可交换的矩阵 解设矩阵B与A可交换,则B必是2×2矩阵,设Bq0,令AB=BA,即 d a+c b+d 从而有 cc+d a+c=a b+d=a+b 由此得 d=c+d
⑥ a b c 1 2 3 2 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 5 = a b c a b c 1 2 3 5 2 1 5 5 ⑦ 3 2 1 31 32 33 21 22 23 11 12 13 1 2 3 x x x a a a a a a a a a x x x = 2 23 2 3 31 3 1 32 3 2 33 3 2 12 1 2 13 1 3 21 2 1 22 2 2 11 1 a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x 3. 设 A= 1 3 1 2 ，B= 1 3 1 0 ，计算： ① (A+B)(A-B) ② A 2-B 2 ③ (AB) T ④ A TB T 解 ① (A+B)(A-B)= 0 4 0 4 0 0 0 2 2 6 2 2 1 3 1 0 1 3 1 2 1 3 1 0 1 3 1 2 ② A 2-B 2= 0 2 2 8 4 9 1 0 4 11 3 8 1 3 1 0 1 3 1 0 1 3 1 2 1 3 1 2 ③ (AB) T = 6 9 3 4 4 9 3 6 1 3 1 0 1 3 1 2 T T ④ A TB T = 2 11 1 4 0 3 1 1 2 3 1 1 1 3 1 0 1 3 1 2 T T 4. 求所有的与 A= 0 1 1 1 可交换的矩阵． 解 设矩阵 B 与 A 可交换，则 B 必是 2×2 矩阵，设 B= c d a b ，令 AB=BA，即 0 1 1 1 0 1 1 1 c d a b c d a b 从而有 c c d a a b c d a c b d 由此得 d c d c c b d a b a c a
解得,c=0,a=d,b为任意数.即与A可交换的矩阵B可写成B= 5.设A,B是n×n矩阵,并且A是对称矩阵,证明:BIAB也是对称矩阵 证已知A是对称矩阵,即A=A,从而(BAB)=BA(B1)=BAB,所以BAB也是对称 矩阵 6.设A ,求A2,A3,…,Ak 解心 0)b0)(b20 b人ab丿(2abb A(2mbb2人ab)(3ab2b3 0b0 b 0 7.设B是2×2矩阵.由B2=02x2能推出B=0吗?试举反例.(提示:参见上题.) 解不能.例如令a0,当a≠0时,B≠0,但B0x 8.设A,B是n×n矩阵,证明:(A+2BA-5B)=A2-3AB-10B2的充分必要条件是A与B可 交换 证充分性:若A与B可交换,即AB=BA,则 (A+2B)(A-5B=A2-5AB+2BA-10B2=A2-5AB+2AB-10B2=A2-3AB-1OB 必要性:若(A+2B(A-5B)=A2-3AB-10B2 BJ A2-5AB+2BA-10B2=A-3AB-10B 比较两边相同的项得-2AB+2BA=0 9.设A,B是n×n对称矩阵,证明:AB是对称矩阵的充分必要条件是A与B可交换 证因A,B是n×n对称矩阵,即A=A,BI=B. 必要性:若AB是对称矩阵,则(AB)=AB,有因(AB)T=BIA=BA,从而AB=BA,即A 与B可交换 充分性:若A与B可交换,由必要性证明过程反图推,知AB是对称矩阵 习题22 1.设A,B,C是矩阵,且满足AB=AC,证明:如果A是可逆的,则B=C 证已知AB=AC,两边左乘矩阵A,有A(AB)=A(AC),根据结合律得(AA)B=(AA)C, 从而有EB=EC,故B=C 2.设P是可逆矩阵,证明:线性方程组AX=B与线性方程组PAX=Pβ同解 证设X是AX=B的任一解解,即有AX0=B成立,两边左乘矩阵P,得PAX①=Pβ,说
解得，c=0，a=d，b 为任意数．即与 A 可交换的矩阵 B 可写成 B= a a b 0 ． 5. 设 A，B 是 n×n 矩阵，并且 A 是对称矩阵，证明：B TAB 也是对称矩阵． 证 已知 A 是对称矩阵，即 AT=A，从而 (B TAB)T=B TAT (B T ) T=B TAB，所以 B TAB 也是对称 矩阵． 6. 设 A= a b b 0 ，求 A2，A3，…，Ak． 解 A2= 2 2 2 0 0 0 ab b b a b b a b b A3= 2 3 3 2 2 3 0 0 2 0 ab b b a b b ab b b … Ak= k k k k k k kab b b a b b k ab b b 2 1 1 1 0 0 ( 1) 0 7.设 B 是 2×2 矩阵．由 B 2=02×2能推出 B=0 吗？试举反例．（提示：参见上题．） 解 不能．例如令 B= 0 0 0 a ，当 a≠0 时，B≠0，但 B 2=02×2． 8. 设 A，B 是 n×n 矩阵，证明：(A+2B)(A-5B)=A2-3AB-10B 2的充分必要条件是 A 与 B 可 交换． 证 充分性：若 A 与 B 可交换，即 AB=BA，则 (A+2B)(A-5B)=A2-5AB+2BA-10B2= A2-5AB+2AB-10B2= A2-3AB-10B2 必要性：若(A+2B)(A-5B)=A2-3AB-10B 2 即 A2-5AB+2BA-10B 2= A2-3AB-10B 2 比较两边相同的项得 -2AB+2BA=0 故 AB=BA 9. 设 A，B 是 n×n 对称矩阵，证明：AB 是对称矩阵的充分必要条件是 A 与 B 可交换． 证 因 A，B 是 n×n 对称矩阵，即 AT=A，BT=B． 必要性：若 AB 是对称矩阵，则(AB)T=AB，有因 (AB)T =B TAT=BA，从而 AB= BA，即 A 与 B 可交换． 充分性：若 A 与 B 可交换，由必要性证明过程反图推，知 AB 是对称矩阵． 习题 2.2 1.设 A，B，C 是矩阵，且满足 AB=AC，证明：如果 A 是可逆的，则 B=C． 证 已知 AB=AC，两边左乘矩阵 A -1，有 A -1(AB)= A -1(AC)，根据结合律得(A -1A)B=( A -1A)C， 从而有 EB=EC，故 B=C． 2.设 P 是可逆矩阵，证明：线性方程组 AX=β与线性方程组 PAX=Pβ同解． 证 设 X (1)是 AX=β的任一解解，即有 AX (1)=β成立，两边左乘矩阵 P，得 PAX (1)=Pβ，说
明X"也是PAX=PB的解 反之,设X是PAX=PB的任一解,即有PAX°=PB成立,两边左乘矩阵P,得P(PAX)= P(Pβ),根据结合律得(PP)AX=(PP)β,从而有AX=β,这说明X也是AX=B的解 综合以上可知,线性方程组AX=B与线性方程组PAX=PB同解 3.设P是n×n可逆矩阵,C是n×m矩阵.证明:矩阵方程PX=C有唯一解. 证令X'=PC,代入PX=C中验证知X是矩阵方程的一个解.反之,设X是矩阵方程PX=C 的任一解,即有PX=C成立,两边左乘P得,X=PC=x,所以矩阵方程PX=C有唯 4.设A是n×n可逆矩阵,且存在一个整数m使得A"=0.证明:(E-A)是可逆的,并且 (E-A)=E+A+…+A 证由于(E-A)(E+A+…+Am)=E+A+…+A-A-A2-…-A"=E-A"=E-0=E 显然交换(E-A)和(E+A+…+A)的次序后相乘结果仍成立,根据逆阵的定义知 (E-A)=E+A+…+A 设P,A都是n×n矩阵,其中P是可逆的,m是正整数.证明:(PAP)PA"P 证(PAP)=(PAP)(PAP)(PAP)…(PAP) =PA(PP)APP)…AP= PAEAE…AP=PAP 6.设A,B都是n×n可逆矩阵,(A+B)一定是可逆的吗?如果(A+B)是可逆的,是否有 (A+B)=A-+B?若不是,试举出反例 解如果A,B都是n×n可逆矩阵,(A+B)不一定是可逆的例如A ,B= 都是可逆的,但A+B= 是不可逆的 如果(A+B)是可逆的,也不能说(A+B)=A2+B.例如A 可逆,A+B=/20 1/20 可逆,且(A+B) 01/2 但AB=/10 然(A+B)≠A+B 7∵.设A,B都是n×n矩阵,满足ABA=A,β是n×1矩阵.证明:当且仅当ABB=B时,线 性方程组AX=B有解. 证当ABB=B时,记X=BB,即X是AX=B的一个解. 反之,若线性方程组AX=B有解,设X是它的一个解,即有AX=B,两边左乘(AB)得 (ABA)X =AB B 用已知条件ABA=A代到上式左边得 AX=AB B 由于X是AX=B的一个解,即AX=B,所以ABB=B 习题2.3 1.用行和列的初等变换将矩阵A化成 的形式
明 X (1)也是 PAX=Pβ的解． 反之，设 X (2)是 PAX=Pβ的任一解，即有 PAX (2)=Pβ成立，两边左乘矩阵 P -1，得 P -1 (PAX (2))= P -1 (Pβ)，根据结合律得(P -1 P)AX (2)=(P -1 P)β，从而有 AX (2)=β，这说明 X (2)也是 AX=β的解． 综合以上可知，线性方程组 AX=β与线性方程组 PAX=Pβ同解． 3.设 P 是 n×n 可逆矩阵，C 是 n×m 矩阵．证明：矩阵方程 PX=C 有唯一解． 证 令 X *=P -1C，代入 PX=C 中验证知 X *是矩阵方程的一个解．反之，设 X (1)是矩阵方程 PX=C 的任一解，即有 PX (1)=C 成立，两边左乘 P -1得，X (1)=P -1C=X *，所以矩阵方程 PX=C 有唯一解． 4. 设 A 是 n×n 可逆矩阵，且存在一个整数 m 使得 A m=0．证明：(E-A)是可逆的，并且 (E-A) -1=E+A+…+A m-1． 证 由于(E-A)(E+A+…+A m-1)=E+A+…+A m-1-A-A 2-…-A m=E-A m=E-0=E 显然交换(E-A)和(E+A+…+A m-1)的次序后相乘结果仍成立，根据逆阵的定义知 (E-A) -1=E+A+…+A m-1． 5.设 P，A 都是 n×n 矩阵，其中 P 是可逆的，m 是正整数．证明：(P -1AP) m=P -1A mP． 证 (P -1AP) m=(P -1AP)(P -1AP)(P -1AP)…(P -1AP) =P -1A(PP -1)A(PP -1)…AP=P -1AEAE…AP=P -1A mP 6. 设 A，B 都是 n×n 可逆矩阵，(A+B)一定是可逆的吗?如果(A+B)是可逆的，是否有 (A+B) -1=A -1+B -1？若不是，试举出反例． 解 如果 A，B 都是 n×n 可逆矩阵，(A+B)不一定是可逆的．例如 A= 0 1 1 0 ，B= 0 1 1 0 都是可逆的，但 A+B= 0 0 0 0 是不可逆的． 如果(A+B)是可逆的，也不能说(A+B) -1=A -1+B -1．例如 A= 0 1 1 0 ，B= 0 1 1 0 ，则 A，B 可逆，A+B= 0 2 2 0 可逆，且(A+B) -1= 0 1/ 2 1/ 2 0 ，但 A -1+B -1= 0 1 1 0 + 0 1 1 0 = 0 2 2 0 ．显 然(A+B) -1≠A -1+B -1． 7 *.设 A，B 都是 n×n 矩阵，满足 ABA=A，β是 n×1 矩阵．证明：当且仅当 ABβ=β时，线 性方程组 AX=β有解． 证 当 ABβ=β时，记 X *=Bβ，即 X *是 AX=β的一个解． 反之，若线性方程组 AX=β有解，设 X (1)是它的一个解，即有 AX (1)=β，两边左乘(AB)得 (ABA)X (1)=ABβ 用已知条件 ABA=A 代到上式左边得 AX (1)=ABβ 由于 X (1)是 AX=β的一个解，即 AX (1)=β，所以 ABβ=β． 习题 2.3 1.用行和列的初等变换将矩阵 A 化成 0 0 E 0 的形式：
230 24-20 1210 -1210 20000-40030-41 解 306-11030-4103001 03001)(03001)(000-40 1-1210 0)(10000 030-4110300001000 0004010004000100 00000)(00000丿(00000 2用初等变换判定下列矩阵是否可逆,如可逆,求出它们的逆矩阵 3-45 ①2-1 ②2-31 3-5-1 1-1010 00-2-110|→ 43-1001)(011201 101/21/20 011201|-0103/21/21 00-2-110)(0011/2-1/20 200211)(10011/21/2 0103/21/21-0103/21/21 0011/2-1/20)(0011/2-1/20 1/21/2 所给矩阵可逆,其逆阵为3/21/21 1/2-1/20 3-45100(3-45 100 ②2-31010-0-1/3-7/3-2/310 001)(0-1 6 0172-30-010-518-7 0011-31)(001
A= 0 3 0 0 1 3 0 6 1 1 2 2 4 2 0 1 1 2 1 0 解 0 3 0 0 1 3 0 6 1 1 2 2 4 2 0 1 1 2 1 0 → 0 3 0 0 1 0 3 0 4 1 0 0 0 4 0 1 1 2 1 0 → 0 0 0 4 0 0 3 0 0 1 0 3 0 4 1 1 1 2 1 0 → 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 3 0 4 1 1 1 2 1 0 → 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 3 0 0 0 1 0 0 0 0 → 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 2.用初等变换判定下列矩阵是否可逆，如可逆，求出它们的逆矩阵： ① 4 3 1 2 1 1 2 1 1 ② 3 5 1 2 3 1 3 4 5 解 ① 4 3 1 0 0 1 2 1 1 0 1 0 2 1 1 1 0 0 → 0 1 1 2 0 1 0 0 2 1 1 0 2 1 1 1 0 0 → → 0 0 2 1 1 0 0 1 1 2 0 1 2 1 1 1 0 0 → 0 0 1 1/ 2 1/ 2 0 0 1 0 3/ 2 1/ 2 1 2 1 0 1/ 2 1/ 2 0 → → 0 0 1 1/ 2 1/ 2 0 0 1 0 3/ 2 1/ 2 1 2 0 0 2 1 1 → 0 0 1 1/ 2 1/ 2 0 0 1 0 3/ 2 1/ 2 1 1 0 0 1 1/ 2 1/ 2 所给矩阵可逆，其逆阵为 1/ 2 1/ 2 0 3/ 2 1/ 2 1 1 1/ 2 1/ 2 ② 3 5 1 0 0 1 2 3 1 0 1 0 3 4 5 1 0 0 → 0 1 6 1 0 1 0 1/ 3 7 / 3 2 / 3 1 0 3 4 5 1 0 0 → 0 0 1 1 3 1 0 1 7 2 3 0 3 4 5 1 0 0 → 0 0 1 1 3 1 0 1 0 5 18 7 3 4 0 4 15 5
300-2487-33 00-829-11 010-518-7-010-518-7 0011-31 0011-31 所给矩阵可逆,其逆阵为-518-7 2.解下列矩阵方程: 120 101 Ⅺ210 0-4/7-4/7 013/73/7 4/7-4/7 由此得X 3/73/7 101102)(101102 -120101(021203 101 02 00-1/31/32/3 02-2-21-1-0101/31/65/6 0034-1 0014/3-1/34/3 1/31/32/3 由此得X=1/31/65/6 4/3-1/34/3 ③对等式两端分别转置得
→ 0 0 1 1 3 1 0 1 0 5 18 7 3 0 0 24 87 33 → 0 0 1 1 3 1 0 1 0 5 18 7 1 0 0 8 29 11 所给矩阵可逆，其逆阵为 1 3 1 5 18 7 8 29 11 2.解下列矩阵方程： ① 1 1 1 1 1 1 2 5 X ② 1 0 1 1 1 1 1 0 2 1 2 0 1 2 1 1 0 1 X ③ 4 3 2 1 1 3 1 1 1 2 1 0 2 1 1 X 解 ① 1 1 1 1 2 5 1 1 → 2 5 1 1 1 1 1 1 → 0 7 3 3 1 1 1 1 → 0 1 3/ 7 3/ 7 1 0 4 / 7 4 / 7 由此得 3/ 7 3/ 7 4 / 7 4 / 7 X ② 1 2 0 1 0 1 1 2 1 1 1 1 1 0 1 1 0 2 → 0 2 1 2 0 3 0 2 2 2 1 1 1 0 1 1 0 2 → 0 0 3 4 1 4 0 2 2 2 1 1 1 0 1 1 0 2 → 0 0 1 4 / 3 1/ 3 4 / 3 0 1 0 1/ 3 1/ 6 5 / 6 1 0 0 1/ 3 1/ 3 2 / 3 由此得 4 / 3 1/ 3 4 / 3 1/ 3 1/ 6 5 / 6 1/ 3 1/ 3 2 / 3 X ③对等式两端分别转置得 3 2 1 3 1 4 1 0 1 1 1 1 2 2 1 T X
221 因为 22114→0033-2 -10132)-10132)(01025 1-1-13)(11007/3 2-8/3 01025 01025 2 0033-2)(0011-2/3)(0 2-8/3 所以X=25 1-2/3 -8/35-2/3 20 4设A=011,B=0-20,又X是可逆矩阵,并且满足矩阵方程Ax=XB, 求矩阵X. 201100(201100 解(B,E)=0-20010→0100-1/20 01100 01100 00)(2001-1/2-1 0100-1/20→0100-1/20 00101/21)(00101/21 001/2-1/4-1/2 0100-1/20 00 01/2 从以上看出B可逆,对AXB=XB两边右乘B得AX2= 已知X可逆,对AKX2=X两边右乘B得AX=E.又 100100)(100100)(100100 (A,E)=011010→011010→00111-1 110001)(010-101)(010-10 00100 010-101 00
因为 1 0 1 3 2 1 1 1 1 3 2 2 1 1 4 → 1 0 1 3 2 2 2 1 1 4 1 1 1 1 3 → 0 1 0 2 5 0 0 3 3 2 1 1 1 1 3 → 0 0 3 3 2 0 1 0 2 5 1 1 1 1 3 → 0 0 1 1 2 / 3 0 1 0 2 5 1 1 0 0 7 / 3 → 0 0 1 1 2 / 3 0 1 0 2 5 1 0 0 2 8 / 3 所以 1 2 / 3 2 5 2 8 / 3 T X 8 / 3 5 2 / 3 2 2 1 X 4.设 1 1 0 0 1 1 1 0 0 A ， 0 1 1 0 2 0 2 0 1 B ，又 X 是可逆矩阵，并且满足矩阵方程 AX 2B=XB， 求矩阵 X． 解 (B,E)= 0 1 1 0 0 1 0 2 0 0 1 0 2 0 1 1 0 0 → 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1/ 2 0 2 0 1 1 0 0 → 0 0 1 0 1/ 2 1 0 1 0 0 1/ 2 0 2 0 1 1 0 0 → 0 0 1 0 1/ 2 1 0 1 0 0 1/ 2 0 2 0 0 1 1/ 2 1 → 0 0 1 0 1/ 2 1 0 1 0 0 1/ 2 0 1 0 0 1/ 2 1/ 4 1/ 2 从以上看出 B 可逆，对 AX 2B=XB 两边右乘 B -1得 AX 2=X． 已知 X 可逆，对 AX 2=X 两边右乘 B -1得 AX=E．又 (A,E)= 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 → 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 → 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 → 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0
100 所以x=--101 5.①证明:B与A行等价台存在可逆矩阵P,使B=PA. ②证明:B与A等价存在可逆矩阵P与Q,使B=PAQ 证若B与A行等价,即A可经有限次初等行变换得到B,而对矩阵A每做一次初等行 变换,相当于对它左乘一个初等方阵,假设对A依次左乘初等方阵P,P2,…,P,使 P…P2PA=B 令P=P…P2P1,则P是可逆矩阵,且B=PA 反之,若存在可逆矩阵P,使B=PA,因为可逆矩阵P可以写成一系列初等方阵P1,P2,…,P 的乘积,即P=PP2…P,从而有B=PP2…PA,说明A可经有限次初等行变换得到B,即B与A 行等价 ②若B与A等价,即对A经过有限次初等变换得到B.而对矩阵A每做一次初等行变 换,相当于对它左乘一个初等方阵:对矩阵A每做一次初等列变换,相当于对它右乘一个初 等方阵.假设对A左乘的初等方阵依次为P,P2,…,P,对A右乘的初等方阵依次为Q1, Q,使 P∴…P2P1AQ2Q2…Q=B 令P=P…PP1,Q=Q2Q2…Q,则P,Q都是可逆矩阵,且B=PAQ 反之,若存在可逆矩阵P和Q,使B=PAQ,因为可逆矩阵P和Q均可以写成一系列初等 方阵的乘积,设P=PP2…P,Q=QQ2…Q,这里P,Q都是初等方阵,从而有B=PP2…PAQQ2…Q, 说明A可经有限次初等行变换和初等列变换得到B,即B与A等价 6:设A是s×n矩阵,B是s×m矩阵,B的第i列构成的s×1矩阵是β;(j=1,2,…,m).证 明:矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是:AX=B;(j=1,2,…,m)都有解 证先证必要性.如果矩阵方程AX=B有解,设X是它的解,则X是n×m矩阵,记X的 第j列为X',根据矩阵先相乘的规则知,A与X相乘的结果是β,即X是AX=β的解 (j=1,2,…,m) 再证充分性.若AX=B;(j=1,2,…,m)都有解,设x是AX=B的解,这里X是n×1 矩阵,令X=(X,X2,…,X),则X是n×m矩阵,且X是矩阵方程AX=B的解 7.设A=(a1)是n×n矩阵 ①证明:如果P(h(2)A=AP(h(2),则a=0,j=1,2,…,h-1,h+1,…,n;并且 =0,i=1,2,…,h-1,h+1 ②设B=diag(b1,b2,…,b)是一个对角矩阵,设1≠k.证明:如果Pn(1,k)B=BP(1 b =b ③证明:如果矩阵A与所有的n×n矩阵都可交换,则A是一个数量矩阵 证①如果Pn(h(2)A=APn(h(2),则A是n×n矩阵,等式左边的P(h(2)A表示将矩阵 A的第h行每个元素乘以2得到的矩阵;等式右端的APn(h(2)表示将A的第h列每个元素 乘以2得到的矩阵,从等式可知2a1=a31(j=1,2,…,h-1,h+1,…,n),a1=2a1 (i=1,2,…,h-1,ht1,…,n),从而得a=0,j=1,2,…,h-1,h+1,…,n:并且 ai=0,i=1,2,…,h-1,h+1,…,n ②如果P(1,k)B=BP(1,k),则B是n×n矩阵,等式左边的Pn(1,k)B表示将矩阵B的第 1行和第k行交换位置:等式右端的BP。(1,k)表示将矩阵B的第1列和第k列交换位置.由 于B=diag(b,b2,…,b)是一个对角矩阵,且1≠k,不妨设1<k,则有
所以 X= 1 1 1 1 0 1 1 0 0 5.①证明：B 与 A 行等价存在可逆矩阵 P，使 B=PA． ②证明：B 与 A 等价存在可逆矩阵 P 与 Q，使 B=PAQ． 证 若 B 与 A 行等价，即 A 可经有限次初等行变换得到 B，而对矩阵 A 每做一次初等行 变换，相当于对它左乘一个初等方阵，假设对 A 依次左乘初等方阵 P1，P2，…，PK，使 Pk…P2P1A=B 令 P=Pk…P2P1，则 P 是可逆矩阵，且 B=PA． 反之，若存在可逆矩阵 P，使 B=PA，因为可逆矩阵 P 可以写成一系列初等方阵 P1,P2, …,Pk 的乘积，即 P=P1P2…Pk，从而有 B=P1P2…PkA，说明 A 可经有限次初等行变换得到 B，即 B 与 A 行等价． ② 若 B 与 A 等价，即对 A 经过有限次初等变换得到 B．而对矩阵 A 每做一次初等行变 换，相当于对它左乘一个初等方阵；对矩阵 A 每做一次初等列变换，相当于对它右乘一个初 等方阵．假设对 A 左乘的初等方阵依次为 P1，P2，…，Ps，对 A 右乘的初等方阵依次为 Q1， Q2，…，Qt，使 Ps…P2P1AQ1Q2…Qt=B 令 P=Ps…P2P1，Q=Q1Q2…Qt，则 P，Q 都是可逆矩阵，且 B=PAQ． 反之，若存在可逆矩阵 P 和 Q，使 B=PAQ，因为可逆矩阵 P 和 Q 均可以写成一系列初等 方阵的乘积，设 P=P1P2 …Ps，Q=Q1Q2…Qt，这里 Pi,Qi都是初等方阵，从而有 B=P1P2…PkA Q1Q2…Qt， 说明 A 可经有限次初等行变换和初等列变换得到 B，即 B 与 A 等价． 6 *.设 A 是 s×n 矩阵，B 是 s×m 矩阵，B 的第 i 列构成的 s×1 矩阵是βj（j=1,2,…,m）．证 明：矩阵方程 AX=B 有解的充分必要条件是：AX=βj（j=1,2,…,m）都有解． 证 先证必要性．如果矩阵方程 AX=B 有解，设 X *是它的解，则 X *是 n×m 矩阵，记 X *的 第 j 列为 X * j，根据矩阵先相乘的规则知，A 与 X * j相乘的结果是βj，即 X * j是 AX=βj的解 （j=1,2,…,m）． 再证充分性．若 AX=βj（j=1,2,…,m）都有解，设 X * j是 AX=βj的解，这里 X * j是 n×1 矩阵，令 X *=(X * 1, X * 2,…,X * m)，则 X *是 n×m 矩阵，且 X *是矩阵方程 AX=B 的解． 7 *.设 A=(aij)是 n×n 矩阵． ① 证 明 ： 如 果 Pn(h(2))A=APn(h(2)), 则 ahj=0,j=1,2,…,h-1,h+1,…,n ； 并 且 aih=0,i=1,2,…,h-1,h+1,…,n． ②设 B=diag(b1, b2,…, bn)是一个对角矩阵，设 l≠k．证明：如果 Pn(l,k)B=BPn(l,k)， bl=bk． ③证明：如果矩阵 A 与所有的 n×n 矩阵都可交换，则 A 是一个数量矩阵． 证 ①如果 Pn(h(2))A=APn(h(2)),则 A 是 n×n 矩阵，等式左边的 Pn(h(2))A 表示将矩阵 A 的第 h 行每个元素乘以 2 得到的矩阵；等式右端的 APn(h(2))表示将 A 的第 h 列每个元素 乘 以 2 得 到 的 矩 阵 ． 从 等 式 可 知 2ahj= ahj （ j=1,2,…,h-1,h+1,…,n ）， aih=2aih （ i=1,2,…,h-1,h+1,…,n ） ， 从 而 得 ahj=0,j=1,2,…,h-1,h+1,…,n ； 并 且 aih=0,i=1,2,…,h-1,h+1,…,n． ②如果 Pn(l,k)B=BPn(l,k),则 B 是 n×n 矩阵，等式左边的 Pn(l,k)B 表示将矩阵 B 的第 l 行和第 k 行交换位置；等式右端的 BPn(l,k) 表示将矩阵 B 的第 l 列和第 k 列交换位置．由 于 B=diag(b1, b2,…, bn)是一个对角矩阵，且 l≠k，不妨设 l<k，则有
P, (1, k)B= =BP(1,k) b bn 比较对应元素,可知b1=b ③如果矩阵A与所有的n×n矩阵都可交换,在①中分别令h=1,2,…,n,可知A除对角 线上元素以外其它元素都是零,即A可写成diag(b1,b2n…,b);在②可令1=1,分别令 k=2,…,n,可知A的对角线上元素都相等 习题2.4 1.设A= 其中A1是s×s矩阵,A2是s×t矩阵,A是t×t矩阵.求A 解A44)(44)(4244+14 A 4 0 A A 4 A(44)f44+4414+4+4 04八(0 A 0 2.①设G 是m×n矩阵,证明:存在矩阵B,使得GBG ②设A是m×n矩阵,证明:存在矩阵B,使得ABA=A 证①构造nXm矩阵B为B/E,0.m),则 E 0 E,0, GBG= x(n-r) rx(m-r) E rx(n-r) E x(n-r) (m-r)xi (m-r)x(n-r) ②设矩阵A的秩为r,则可经过有限次初等变换使A变为 的形式 即存在可逆的n×n矩阵P和可逆的mXm矩阵Q使PE 0 m-r)xr
Pn(l,k)B= n l k b b b b 0 0 1 =BPn(l,k)= n k l b b b b 0 0 1 比较对应元素，可知 bl=bk． ③如果矩阵 A 与所有的 n×n 矩阵都可交换，在①中分别令 h=1,2,…,n，可知 A 除对角 线上元素以外其它元素都是零，即 A 可写成 diag(b1, b2,…, bn)；在②可令 l=1，分别令 k=2,…,n，可知 A 的对角线上元素都相等．习题 2.4 1.设 A= 4 1 2 0 A A A ，其中 A1是 s×s 矩阵，A2是 s×t 矩阵，A4是 t×t 矩阵．求 A 3． 解 A 2= 4 1 2 0 A A A 4 1 2 0 A A A = 2 4 1 2 2 4 2 1 0 A A A A A A A 3= 4 1 2 0 A A A 2 4 1 2 2 4 2 1 0 A A A A A A = 3 4 2 2 1 2 4 2 4 2 1 3 1 0 A A A A A A A A A 2.①设 G= 0 0 0 Er 是 m×n 矩阵，证明：存在矩阵 B，使得 GBG=G． ②设 A 是 m×n 矩阵，证明：存在矩阵 B，使得 ABA=A． 证 ①构造 n×m 矩阵 B 为 B= ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 n r r n r m r Er r m r ，则 GBG= ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 m r r m r n r Er r n r ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 n r r n r m r Er r m r ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 m r r m r n r Er r n r = ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 m r r m r n r Er r n r =G ②设矩阵A的秩为r，则可经过有限次初等变换使A变为 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 m r r m r n r Er r n r 的形式， 即存在可逆的 n×n 矩阵 P 和可逆的 m×m 矩阵 Q 使 PAQ= ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 m r r m r n r Er r n r =D，即 A=
pg.定义nxm矩阵B如下:BCP,其中c/E,0mn 则有 )x(-r) ABA=(P DQ )(QCP)(P DQ)=P DCDQ 0 EPO,mrkxr Om-rix(n-n Om-rxrn-rxtm-n Oqm-rkr 0 (n-r rx(n-r E E,0 m-r)×(n-r) E 0 m-r)x(n-r) x:设A(44 0A,其中A是sxs矩阵,A是sxt矩阵,A是txt矩阵.证明:如果A, A都是可逆的,则A也是可逆的,进一步,求A的逆矩阵 如果A1,A都是可逆的,令 Ar B, 440,其中A”,A分别是A,A的逆阵,B是 s×t矩阵.令AB=,即有 AB2)(E,AB2+A2)(E,0 0A八(04 从而AB+A=0,由此得B=A7A.说明A也是可逆的,且A2/4 A1A24 0
P -1DQ -1．定义 n×m 矩阵 B 如下：B=QCP，其中 C= ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 n r r n r m r Er r m r ．则有 ABA=(P -1DQ -1)(QCP)(P -1DQ -1)= P -1DCDQ -1 =P -1 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 m r r m r n r Er r n r ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 n r r n r m r Er r m r ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 m r r m r n r Er r n r Q -1 = P -1 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 m r r m r n r Er r n r Q -1=A 3 *.设 A= 4 1 2 0 A A A ，其中 A1是 s×s 矩阵，A2是 s×t 矩阵，A4是 t×t 矩阵．证明：如果 A1， A4都是可逆的，则 A 也是可逆的，进一步，求 A 的逆矩阵． 证 如果 A1，A4都是可逆的，令 B= 1 4 2 1 1 0 A A B ，其中 A1 -1，A4 -1分别是 A1，A4的逆阵，B2是 s×t 矩阵．令 AB=E，即有 4 1 2 0 A A A 1 4 2 1 1 0 A A B = t s E E A B A A 0 1 1 2 2 4 = t s E E 0 0 ， 从而 A1B2+ A2A4 -1=0，由此得 B2=-A1 -1A2A4 -1．说明 A 也是可逆的，且 A -1= 1 4 1 2 4 1 1 1 1 0 A A A A A
